HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhip Structured version   Unicode version

Theorem hhip 24732
Description: The inner product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
Assertion
Ref Expression
hhip  |-  .ih  =  ( .iOLD `  U
)

Proof of Theorem hhip
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 polid 24714 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  y
)  =  ( ( ( ( ( normh `  ( x  +h  y
) ) ^ 2 )  -  ( (
normh `  ( x  -h  y ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( normh `  (
x  +h  ( _i  .h  y ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( normh `  ( x  -h  (
_i  .h  y )
) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
2 hhnv.1 . . . . . 6  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
32hhnv 24720 . . . . 5  |-  U  e.  NrmCVec
42hhba 24722 . . . . . 6  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
52hhva 24721 . . . . . 6  |-  +h  =  ( +v `  U )
62hhsm 24724 . . . . . 6  |-  .h  =  ( .sOLD `  U
)
72hhnm 24726 . . . . . 6  |-  normh  =  (
normCV
`  U )
8 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( .iOLD `  U )  =  ( .iOLD `  U )
92hhvs 24725 . . . . . 6  |-  -h  =  ( -v `  U )
104, 5, 6, 7, 8, 9ipval3 24257 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
x ( .iOLD `  U ) y )  =  ( ( ( ( ( normh `  (
x  +h  y ) ) ^ 2 )  -  ( ( normh `  ( x  -h  y
) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( normh `  ( x  +h  ( _i  .h  y
) ) ) ^
2 )  -  (
( normh `  ( x  -h  ( _i  .h  y
) ) ) ^
2 ) ) ) )  /  4 ) )
113, 10mp3an1 1302 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x ( .iOLD `  U ) y )  =  ( ( ( ( (
normh `  ( x  +h  y ) ) ^
2 )  -  (
( normh `  ( x  -h  y ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( normh `  (
x  +h  ( _i  .h  y ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( normh `  ( x  -h  (
_i  .h  y )
) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
121, 11eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  y
)  =  ( x ( .iOLD `  U ) y ) )
1312rgen2a 2900 . 2  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  y )  =  ( x ( .iOLD `  U ) y )
14 ax-hfi 24634 . . 3  |-  .ih  :
( ~H  X.  ~H )
--> CC
154, 8ipf 24264 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( .iOLD `  U ) : ( ~H  X.  ~H ) --> CC )
163, 15ax-mp 5 . . 3  |-  ( .iOLD `  U ) : ( ~H  X.  ~H ) --> CC
17 ffn 5668 . . . 4  |-  (  .ih  : ( ~H  X.  ~H )
--> CC  ->  .ih  Fn  ( ~H  X.  ~H ) )
18 ffn 5668 . . . 4  |-  ( ( .iOLD `  U
) : ( ~H 
X.  ~H ) --> CC  ->  ( .iOLD `  U
)  Fn  ( ~H 
X.  ~H ) )
19 eqfnov2 6308 . . . 4  |-  ( ( 
.ih  Fn  ( ~H  X.  ~H )  /\  ( .iOLD `  U )  Fn  ( ~H  X.  ~H ) )  ->  (  .ih  =  ( .iOLD `  U )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  y )  =  ( x ( .iOLD `  U ) y ) ) )
2017, 18, 19syl2an 477 . . 3  |-  ( ( 
.ih  : ( ~H  X.  ~H ) --> CC  /\  ( .iOLD `  U ) : ( ~H  X.  ~H ) --> CC )  -> 
(  .ih  =  ( .iOLD `  U )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  y )  =  ( x ( .iOLD `  U
) y ) ) )
2114, 16, 20mp2an 672 . 2  |-  (  .ih  =  ( .iOLD `  U )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  y )  =  ( x ( .iOLD `  U ) y ) )
2213, 21mpbir 209 1  |-  .ih  =  ( .iOLD `  U
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   <.cop 3992    X. cxp 4947    Fn wfn 5522   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   _ici 9396    + caddc 9397    x. cmul 9399    - cmin 9707    / cdiv 10105   2c2 10483   4c4 10485   ^cexp 11983   NrmCVeccnv 24115   .iOLDcdip 24248   ~Hchil 24474    +h cva 24475    .h csm 24476    .ih csp 24477   normhcno 24478    -h cmv 24480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-hilex 24554  ax-hfvadd 24555  ax-hvcom 24556  ax-hvass 24557  ax-hv0cl 24558  ax-hvaddid 24559  ax-hfvmul 24560  ax-hvmulid 24561  ax-hvmulass 24562  ax-hvdistr1 24563  ax-hvdistr2 24564  ax-hvmul0 24565  ax-hfi 24634  ax-his1 24637  ax-his2 24638  ax-his3 24639  ax-his4 24640
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-clim 13085  df-sum 13283  df-grpo 23831  df-gid 23832  df-ginv 23833  df-gdiv 23834  df-ablo 23922  df-vc 24077  df-nv 24123  df-va 24126  df-ba 24127  df-sm 24128  df-0v 24129  df-vs 24130  df-nmcv 24131  df-dip 24249  df-hnorm 24523  df-hvsub 24526
This theorem is referenced by:  bcsiHIL  24735  occllem  24859  hmopbdoptHIL  25545
  Copyright terms: Public domain W3C validator