Theorem hhip 10677

Description: The inner product operation of Hilbert space.

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.

Assertion

Ref	Expression
hhip	|- .ih = (.i` U)

Proof of Theorem hhip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 10579	. . . 4 |- .ih :(~H X. ~H)-->CC
2		ffn 4562	. . . 4 |- ( .ih :(~H X. ~H)-->CC -> .ih Fn (~H X. ~H))
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- .ih Fn (~H X. ~H)
4		oprex 4907	. . . 4 |- (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((normh` (z +h ((_i^k) .h w)))^2)) / 4) e. _V
5		hhnv.1	. . . . . 6 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
6	5	hhnv 10665	. . . . 5 |- U e. NrmCVec
7	5	hhba 10667	. . . . . 6 |- ~H = (BaseSet` U)
8	5	hhva 10666	. . . . . 6 |- +h = (+v` U)
9	5	hhsm 10669	. . . . . 6 |- .h = (.s` U)
10	5	hhnm 10671	. . . . . 6 |- normh = (norm` U)
11		eqid 1884	. . . . . 6 |- (.i` U) = (.i` U)
12	7, 8, 9, 10, 11	ipfval 9691	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> (.i` U) = {<.<.z, w>., v>. | ((z e. ~H /\ w e. ~H) /\ v = (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((normh` (z +h ((_i^k) .h w)))^2)) / 4))})
13	6, 12	ax-mp 7	. . . 4 |- (.i` U) = {<.<.z, w>., v>. | ((z e. ~H /\ w e. ~H) /\ v = (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((normh` (z +h ((_i^k) .h w)))^2)) / 4))}
14	4, 13	fnoprab2 5064	. . 3 |- (.i` U) Fn (~H X. ~H)
15		eqfnoprv 4945	. . 3 |- (( .ih Fn (~H X. ~H) /\ (.i` U) Fn (~H X. ~H)) -> ( .ih = (.i` U) <-> ((~H X. ~H) = (~H X. ~H) /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih y) = (x(.i` U)y))))
16	3, 14, 15	mp2an 761	. 2 |- ( .ih = (.i` U) <-> ((~H X. ~H) = (~H X. ~H) /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih y) = (x(.i` U)y)))
17		eqid 1884	. 2 |- (~H X. ~H) = (~H X. ~H)
18		polid 10659	. . . 4 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (x .ih y) = (((((normh` (x +h y))^2) - ((normh` (x -h y))^2)) + (_i x. (((normh` (x +h (_i .h y)))^2) - ((normh` (x -h (_i .h y)))^2)))) / 4))
19	5	hhvs 10670	. . . . . 6 |- -h = (-v` U)
20	7, 8, 9, 10, 11, 19	ipval3 9698	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. ~H /\ y e. ~H) -> (x(.i` U)y) = (((((normh` (x +h y))^2) - ((normh` (x -h y))^2)) + (_i x. (((normh` (x +h (_i .h y)))^2) - ((normh` (x -h (_i .h y)))^2)))) / 4))
21	6, 20	mp3an1 1178	. . . 4 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (x(.i` U)y) = (((((normh` (x +h y))^2) - ((normh` (x -h y))^2)) + (_i x. (((normh` (x +h (_i .h y)))^2) - ((normh` (x -h (_i .h y)))^2)))) / 4))
22	18, 21	eqtr4d 1928	. . 3 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (x .ih y) = (x(.i` U)y))
23	22	rgen2a 2160	. 2 |- A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih y) = (x(.i` U)y)
24	16, 17, 23	mpbir2an 800	1 |- .ih = (.i` U)

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  <.cop 3046   X. cxp 3984   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885  CCcc 6384  1c1 6387  _ici 6388   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447  2c2 7145  4c4 7147  ...cfz 7637  ^cexp 7811  sum_csu 8239  NrmCVeccnv 9535  .icip 9688  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422   -h cmv 10424   .ih csp 10425  normhcno 10426

This theorem is referenced by:  bcsiHIL 10680  hmopbdopiHIL 11549

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-sum 8240  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ip 9689  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472

Copyright terms: Public domain