HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhip Structured version   Unicode version

Theorem hhip 25756
Description: The inner product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
Assertion
Ref Expression
hhip  |-  .ih  =  ( .iOLD `  U
)

Proof of Theorem hhip
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 polid 25738 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  y
)  =  ( ( ( ( ( normh `  ( x  +h  y
) ) ^ 2 )  -  ( (
normh `  ( x  -h  y ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( normh `  (
x  +h  ( _i  .h  y ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( normh `  ( x  -h  (
_i  .h  y )
) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
2 hhnv.1 . . . . . 6  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
32hhnv 25744 . . . . 5  |-  U  e.  NrmCVec
42hhba 25746 . . . . . 6  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
52hhva 25745 . . . . . 6  |-  +h  =  ( +v `  U )
62hhsm 25748 . . . . . 6  |-  .h  =  ( .sOLD `  U
)
72hhnm 25750 . . . . . 6  |-  normh  =  (
normCV
`  U )
8 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( .iOLD `  U )  =  ( .iOLD `  U )
92hhvs 25749 . . . . . 6  |-  -h  =  ( -v `  U )
104, 5, 6, 7, 8, 9ipval3 25281 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
x ( .iOLD `  U ) y )  =  ( ( ( ( ( normh `  (
x  +h  y ) ) ^ 2 )  -  ( ( normh `  ( x  -h  y
) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( normh `  ( x  +h  ( _i  .h  y
) ) ) ^
2 )  -  (
( normh `  ( x  -h  ( _i  .h  y
) ) ) ^
2 ) ) ) )  /  4 ) )
113, 10mp3an1 1306 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x ( .iOLD `  U ) y )  =  ( ( ( ( (
normh `  ( x  +h  y ) ) ^
2 )  -  (
( normh `  ( x  -h  y ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( normh `  (
x  +h  ( _i  .h  y ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( normh `  ( x  -h  (
_i  .h  y )
) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
121, 11eqtr4d 2504 . . 3  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  y
)  =  ( x ( .iOLD `  U ) y ) )
1312rgen2a 2884 . 2  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  y )  =  ( x ( .iOLD `  U ) y )
14 ax-hfi 25658 . . 3  |-  .ih  :
( ~H  X.  ~H )
--> CC
154, 8ipf 25288 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( .iOLD `  U ) : ( ~H  X.  ~H ) --> CC )
163, 15ax-mp 5 . . 3  |-  ( .iOLD `  U ) : ( ~H  X.  ~H ) --> CC
17 ffn 5722 . . . 4  |-  (  .ih  : ( ~H  X.  ~H )
--> CC  ->  .ih  Fn  ( ~H  X.  ~H ) )
18 ffn 5722 . . . 4  |-  ( ( .iOLD `  U
) : ( ~H 
X.  ~H ) --> CC  ->  ( .iOLD `  U
)  Fn  ( ~H 
X.  ~H ) )
19 eqfnov2 6384 . . . 4  |-  ( ( 
.ih  Fn  ( ~H  X.  ~H )  /\  ( .iOLD `  U )  Fn  ( ~H  X.  ~H ) )  ->  (  .ih  =  ( .iOLD `  U )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  y )  =  ( x ( .iOLD `  U ) y ) ) )
2017, 18, 19syl2an 477 . . 3  |-  ( ( 
.ih  : ( ~H  X.  ~H ) --> CC  /\  ( .iOLD `  U ) : ( ~H  X.  ~H ) --> CC )  -> 
(  .ih  =  ( .iOLD `  U )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  y )  =  ( x ( .iOLD `  U
) y ) ) )
2114, 16, 20mp2an 672 . 2  |-  (  .ih  =  ( .iOLD `  U )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  y )  =  ( x ( .iOLD `  U ) y ) )
2213, 21mpbir 209 1  |-  .ih  =  ( .iOLD `  U
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   <.cop 4026    X. cxp 4990    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9794    / cdiv 10195   2c2 10574   4c4 10576   ^cexp 12122   NrmCVeccnv 25139   .iOLDcdip 25272   ~Hchil 25498    +h cva 25499    .h csm 25500    .ih csp 25501   normhcno 25502    -h cmv 25504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-hilex 25578  ax-hfvadd 25579  ax-hvcom 25580  ax-hvass 25581  ax-hv0cl 25582  ax-hvaddid 25583  ax-hfvmul 25584  ax-hvmulid 25585  ax-hvmulass 25586  ax-hvdistr1 25587  ax-hvdistr2 25588  ax-hvmul0 25589  ax-hfi 25658  ax-his1 25661  ax-his2 25662  ax-his3 25663  ax-his4 25664
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-grpo 24855  df-gid 24856  df-ginv 24857  df-gdiv 24858  df-ablo 24946  df-vc 25101  df-nv 25147  df-va 25150  df-ba 25151  df-sm 25152  df-0v 25153  df-vs 25154  df-nmcv 25155  df-dip 25273  df-hnorm 25547  df-hvsub 25550
This theorem is referenced by:  bcsiHIL  25759  occllem  25883  hmopbdoptHIL  26569
  Copyright terms: Public domain W3C validator