Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhcno Structured version   Unicode version

Theorem hhcno 27392
 Description: The continuous operators of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhcn.1
hhcn.2
Assertion
Ref Expression
hhcno

Proof of Theorem hhcno
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2791 . 2
2 df-cnop 27328 . 2
3 hhcn.1 . . . . . . . . . . . . . 14
43hilmetdval 26684 . . . . . . . . . . . . 13
5 normsub 26631 . . . . . . . . . . . . 13
64, 5eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12
76adantll 718 . . . . . . . . . . 11
87breq1d 4436 . . . . . . . . . 10
9 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . 14
10 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . 14
119, 10anim12dan 845 . . . . . . . . . . . . 13
123hilmetdval 26684 . . . . . . . . . . . . . 14
13 normsub 26631 . . . . . . . . . . . . . 14
1412, 13eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13
1511, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12
1615anassrs 652 . . . . . . . . . . 11
1716breq1d 4436 . . . . . . . . . 10
188, 17imbi12d 321 . . . . . . . . 9
1918ralbidva 2868 . . . . . . . 8
2019rexbidv 2946 . . . . . . 7
2120ralbidv 2871 . . . . . 6
2221ralbidva 2868 . . . . 5
2322pm5.32i 641 . . . 4
243hilxmet 26683 . . . . 5
25 hhcn.2 . . . . . 6
2625, 25metcn 21489 . . . . 5
2724, 24, 26mp2an 676 . . . 4
28 ax-hilex 26487 . . . . . 6
2928, 28elmap 7508 . . . . 5
3029anbi1i 699 . . . 4
3123, 27, 303bitr4i 280 . . 3
3231abbi2i 2562 . 2
331, 2, 323eqtr4i 2468 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  cab 2414  wral 2782  wrex 2783  crab 2786   class class class wbr 4426   ccom 4858  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmap 7480   clt 9674  crp 11302  cxmt 18890  cmopn 18895   ccn 20171  chil 26407  cno 26411   cmv 26413  ccop 26434 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618  ax-hilex 26487  ax-hfvadd 26488  ax-hvcom 26489  ax-hvass 26490  ax-hv0cl 26491  ax-hvaddid 26492  ax-hfvmul 26493  ax-hvmulid 26494  ax-hvmulass 26495  ax-hvdistr1 26496  ax-hvdistr2 26497  ax-hvmul0 26498  ax-hfi 26567  ax-his1 26570  ax-his2 26571  ax-his3 26572  ax-his4 26573 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-gdiv 25767  df-ablo 25855  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-vs 26063  df-nmcv 26064  df-ims 26065  df-hnorm 26456  df-hvsub 26459  df-cnop 27328 This theorem is referenced by:  hmopidmchi  27639
 Copyright terms: Public domain W3C validator