HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhcnf Structured version   Unicode version

Theorem hhcnf 25309
Description: The continuous functionals of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhcn.1  |-  D  =  ( normh  o.  -h  )
hhcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
hhcn.4  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
hhcnf  |-  ConFn  =  ( J  Cn  K )

Proof of Theorem hhcnf
Dummy variables  x  w  y  z  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2724 . 2  |-  { t  e.  ( CC  ^m  ~H )  |  A. x  e.  ~H  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( t `  w
)  -  ( t `
 x ) ) )  <  y ) }  =  { t  |  ( t  e.  ( CC  ^m  ~H )  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( t `  w
)  -  ( t `
 x ) ) )  <  y ) ) }
2 df-cnfn 25251 . 2  |-  ConFn  =  {
t  e.  ( CC 
^m  ~H )  |  A. x  e.  ~H  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( t `  w
)  -  ( t `
 x ) ) )  <  y ) }
3 hhcn.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  =  ( normh  o.  -h  )
43hilmetdval 24598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x D w )  =  ( normh `  ( x  -h  w
) ) )
5 normsub 24545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( x  -h  w ) )  =  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )
64, 5eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x D w )  =  ( normh `  ( w  -h  x
) ) )
76adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t : ~H --> CC  /\  x  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x D w )  =  (
normh `  ( w  -h  x ) ) )
87breq1d 4302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( t : ~H --> CC  /\  x  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x D w )  < 
z  <->  ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  z ) )
9 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t : ~H --> CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( t `  x
)  e.  CC )
10 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t : ~H --> CC  /\  w  e.  ~H )  ->  ( t `  w
)  e.  CC )
119, 10anim12dan 833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t : ~H --> CC  /\  ( x  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( (
t `  x )  e.  CC  /\  ( t `
 w )  e.  CC ) )
12 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
1312cnmetdval 20350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t `  x
)  e.  CC  /\  ( t `  w
)  e.  CC )  ->  ( ( t `
 x ) ( abs  o.  -  )
( t `  w
) )  =  ( abs `  ( ( t `  x )  -  ( t `  w ) ) ) )
14 abssub 12814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t `  x
)  e.  CC  /\  ( t `  w
)  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( t `  x
)  -  ( t `
 w ) ) )  =  ( abs `  ( ( t `  w )  -  (
t `  x )
) ) )
1513, 14eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( t `  x
)  e.  CC  /\  ( t `  w
)  e.  CC )  ->  ( ( t `
 x ) ( abs  o.  -  )
( t `  w
) )  =  ( abs `  ( ( t `  w )  -  ( t `  x ) ) ) )
1611, 15syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t : ~H --> CC  /\  ( x  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( (
t `  x )
( abs  o.  -  )
( t `  w
) )  =  ( abs `  ( ( t `  w )  -  ( t `  x ) ) ) )
1716anassrs 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t : ~H --> CC  /\  x  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( t `
 x ) ( abs  o.  -  )
( t `  w
) )  =  ( abs `  ( ( t `  w )  -  ( t `  x ) ) ) )
1817breq1d 4302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( t : ~H --> CC  /\  x  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( t `  x ) ( abs  o.  -  ) ( t `  w ) )  < 
y  <->  ( abs `  (
( t `  w
)  -  ( t `
 x ) ) )  <  y ) )
198, 18imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( t : ~H --> CC  /\  x  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( x D w )  <  z  ->  (
( t `  x
) ( abs  o.  -  ) ( t `
 w ) )  <  y )  <->  ( ( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( t `  w )  -  (
t `  x )
) )  <  y
) ) )
2019ralbidva 2731 . . . . . . . 8  |-  ( ( t : ~H --> CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( ( x D w )  < 
z  ->  ( (
t `  x )
( abs  o.  -  )
( t `  w
) )  <  y
)  <->  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( t `  w
)  -  ( t `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2120rexbidv 2736 . . . . . . 7  |-  ( ( t : ~H --> CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( x D w )  <  z  ->  ( ( t `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
t `  w )
)  <  y )  <->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( t `  w
)  -  ( t `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2221ralbidv 2735 . . . . . 6  |-  ( ( t : ~H --> CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ~H  (
( x D w )  <  z  -> 
( ( t `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
t `  w )
)  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e. 
~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( t `  w
)  -  ( t `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2322ralbidva 2731 . . . . 5  |-  ( t : ~H --> CC  ->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e. 
~H  ( ( x D w )  < 
z  ->  ( (
t `  x )
( abs  o.  -  )
( t `  w
) )  <  y
)  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e. 
~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( t `  w
)  -  ( t `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2423pm5.32i 637 . . . 4  |-  ( ( t : ~H --> CC  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e. 
~H  ( ( x D w )  < 
z  ->  ( (
t `  x )
( abs  o.  -  )
( t `  w
) )  <  y
) )  <->  ( t : ~H --> CC  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( t `  w
)  -  ( t `
 x ) ) )  <  y ) ) )
253hilxmet 24597 . . . . 5  |-  D  e.  ( *Met `  ~H )
26 cnxmet 20352 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
27 hhcn.2 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
28 hhcn.4 . . . . . . 7  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
2928cnfldtopn 20361 . . . . . 6  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
3027, 29metcn 20118 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  ~H )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )  ->  ( t  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( t : ~H --> CC  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( x D w )  <  z  ->  ( ( t `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
t `  w )
)  <  y )
) ) )
3125, 26, 30mp2an 672 . . . 4  |-  ( t  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( t : ~H --> CC  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( x D w )  <  z  ->  ( ( t `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
t `  w )
)  <  y )
) )
32 cnex 9363 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
33 ax-hilex 24401 . . . . . 6  |-  ~H  e.  _V
3432, 33elmap 7241 . . . . 5  |-  ( t  e.  ( CC  ^m  ~H )  <->  t : ~H --> CC )
3534anbi1i 695 . . . 4  |-  ( ( t  e.  ( CC 
^m  ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( t `  w
)  -  ( t `
 x ) ) )  <  y ) )  <->  ( t : ~H --> CC  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( t `  w
)  -  ( t `
 x ) ) )  <  y ) ) )
3624, 31, 353bitr4i 277 . . 3  |-  ( t  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( t  e.  ( CC  ^m  ~H )  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( t `  w
)  -  ( t `
 x ) ) )  <  y ) ) )
3736abbi2i 2554 . 2  |-  ( J  Cn  K )  =  { t  |  ( t  e.  ( CC 
^m  ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( t `  w
)  -  ( t `
 x ) ) )  <  y ) ) }
381, 2, 373eqtr4i 2473 1  |-  ConFn  =  ( J  Cn  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   class class class wbr 4292    o. ccom 4844   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214   CCcc 9280    < clt 9418    - cmin 9595   RR+crp 10991   abscabs 12723   TopOpenctopn 14360   *Metcxmt 17801   MetOpencmopn 17806  ℂfldccnfld 17818    Cn ccn 18828   ~Hchil 24321   normhcno 24325    -h cmv 24327   ConFnccnfn 24355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362  ax-hilex 24401  ax-hfvadd 24402  ax-hvcom 24403  ax-hvass 24404  ax-hv0cl 24405  ax-hvaddid 24406  ax-hfvmul 24407  ax-hvmulid 24408  ax-hvmulass 24409  ax-hvdistr1 24410  ax-hvdistr2 24411  ax-hvmul0 24412  ax-hfi 24481  ax-his1 24484  ax-his2 24485  ax-his3 24486  ax-his4 24487
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-fz 11438  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-rest 14361  df-topn 14362  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-grpo 23678  df-gid 23679  df-ginv 23680  df-gdiv 23681  df-ablo 23769  df-vc 23924  df-nv 23970  df-va 23973  df-ba 23974  df-sm 23975  df-0v 23976  df-vs 23977  df-nmcv 23978  df-ims 23979  df-hnorm 24370  df-hvsub 24373  df-cnfn 25251
This theorem is referenced by:  nlelchi  25465
  Copyright terms: Public domain W3C validator