HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhcms Structured version   Unicode version

Theorem hhcms 24610
Description: The Hilbert space induced metric determines a complete metric space. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhcms.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
hhcms.2  |-  D  =  ( IndMet `  U )
Assertion
Ref Expression
hhcms  |-  D  e.  ( CMet `  ~H )

Proof of Theorem hhcms
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . 2  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
2 hhcms.1 . . 3  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
3 hhcms.2 . . 3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
42, 3hhmet 24581 . 2  |-  D  e.  ( Met `  ~H )
52, 3hhcau 24605 . . . . . 6  |-  Cauchy  =  ( ( Cau `  D
)  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )
65eleq2i 2507 . . . . 5  |-  ( f  e.  Cauchy 
<->  f  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) ) )
7 elin 3544 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )  <-> 
( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
8 ax-hilex 24406 . . . . . . . 8  |-  ~H  e.  _V
9 nnex 10333 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
108, 9elmap 7246 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ~H  ^m  NN )  <->  f : NN --> ~H )
1110anbi2i 694 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) )  <->  ( f  e.  ( Cau `  D
)  /\  f : NN
--> ~H ) )
127, 11bitri 249 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )  <-> 
( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H ) )
136, 12bitri 249 . . . 4  |-  ( f  e.  Cauchy 
<->  ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H ) )
14 ax-hcompl 24609 . . . 4  |-  ( f  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x )
1513, 14sylbir 213 . . 3  |-  ( ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H )  ->  E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x )
162, 3, 1hhlm 24606 . . . . . . 7  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
1716breqi 4303 . . . . . 6  |-  ( f 
~~>v  x  <->  f ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  D ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) x )
18 vex 2980 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
1918brres 5122 . . . . . 6  |-  ( f ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  D )
)  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) x  <->  ( f
( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) x  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
2017, 19bitri 249 . . . . 5  |-  ( f 
~~>v  x  <->  ( f ( ~~> t `  ( MetOpen `  D ) ) x  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
21 vex 2980 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
2221, 18breldm 5049 . . . . . 6  |-  ( f ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) x  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) )
2322adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( f ( ~~> t `  ( MetOpen `  D )
) x  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) )  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  D )
) )
2420, 23sylbi 195 . . . 4  |-  ( f 
~~>v  x  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) )
2524rexlimivw 2842 . . 3  |-  ( E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) )
2615, 25syl 16 . 2  |-  ( ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H )  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  D
) ) )
271, 4, 26iscmet3i 20827 1  |-  D  e.  ( CMet `  ~H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2721    i^i cin 3332   <.cop 3888   class class class wbr 4297   dom cdm 4845    |` cres 4847   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   NNcn 10327   MetOpencmopn 17811   ~~> tclm 18835   Caucca 20769   CMetcms 20770   IndMetcims 23974   ~Hchil 24326    +h cva 24327    .h csm 24328   normhcno 24330   Cauchyccau 24333    ~~>v chli 24334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cc 8609  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367  ax-hilex 24406  ax-hfvadd 24407  ax-hvcom 24408  ax-hvass 24409  ax-hv0cl 24410  ax-hvaddid 24411  ax-hfvmul 24412  ax-hvmulid 24413  ax-hvmulass 24414  ax-hvdistr1 24415  ax-hvdistr2 24416  ax-hvmul0 24417  ax-hfi 24486  ax-his1 24489  ax-his2 24490  ax-his3 24491  ax-his4 24492  ax-hcompl 24609
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ico 11311  df-fz 11443  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-rest 14366  df-topgen 14387  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-ntr 18629  df-nei 18707  df-lm 18838  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-cfil 20771  df-cau 20772  df-cmet 20773  df-grpo 23683  df-gid 23684  df-ginv 23685  df-gdiv 23686  df-ablo 23774  df-vc 23929  df-nv 23975  df-va 23978  df-ba 23979  df-sm 23980  df-0v 23981  df-vs 23982  df-nmcv 23983  df-ims 23984  df-hnorm 24375  df-hvsub 24378  df-hlim 24379  df-hcau 24380
This theorem is referenced by:  hhhl  24611  hilcms  24612
  Copyright terms: Public domain W3C validator