Theorem hhcms 10705

Description: The Hilbert space induced metric determines a complete metric space.

Hypotheses

Ref	Expression
hhcms.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
hhcms.2	|- D = (IndMet` U)

Assertion

Ref	Expression
hhcms	|- D e. CMet

Proof of Theorem hhcms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhcms.1	. . 3 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
2		hhcms.2	. . 3 |- D = (IndMet` U)
3	1, 2	hhmetba 10675	. 2 |- ~H = dom dom D
4	1, 2	hhmet 10674	. 2 |- D e. Met
5		simpr 350	. . 3 |- ((f e. (Cau` D) /\ f:NN-->~H) -> f:NN-->~H)
6		1z 7368	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
7		nnuz 7608	. . . . . . . 8 |- NN = (ZZ>=` 1)
8	3, 6, 7	iscauf 9217	. . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ f:NN-->~H) -> (f e. (Cau` D) <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)D(f` k)) < y))))
9	4, 8	mpan 759	. . . . . 6 |- (f:NN-->~H -> (f e. (Cau` D) <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)D(f` k)) < y))))
10		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((f:NN-->~H /\ j e. NN) -> (f` j) e. ~H)
11	10	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- (((f:NN-->~H /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (f` j) e. ~H)
12		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((f:NN-->~H /\ k e. NN) -> (f` k) e. ~H)
13	12	adantlr 429	. . . . . . . . . . . 12 |- (((f:NN-->~H /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (f` k) e. ~H)
14	1, 2	hhmetdval 10676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((f` j) e. ~H /\ (f` k) e. ~H) -> ((f` j)D(f` k)) = (normh` ((f` j) -h (f` k))))
15		normsub 10643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((f` j) e. ~H /\ (f` k) e. ~H) -> (normh` ((f` j) -h (f` k))) = (normh` ((f` k) -h (f` j))))
16	14, 15	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((f` j) e. ~H /\ (f` k) e. ~H) -> ((f` j)D(f` k)) = (normh` ((f` k) -h (f` j))))
17	16	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . 12 |- (((f` j) e. ~H /\ (f` k) e. ~H) -> (((f` j)D(f` k)) < y <-> (normh` ((f` k) -h (f` j))) < y))
18	11, 13, 17	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- (((f:NN-->~H /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (((f` j)D(f` k)) < y <-> (normh` ((f` k) -h (f` j))) < y))
19	18	imbi2d 674	. . . . . . . . . 10 |- (((f:NN-->~H /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> ((j <_ k -> ((f` j)D(f` k)) < y) <-> (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h (f` j))) < y)))
20	19	ralbidva 2119	. . . . . . . . 9 |- ((f:NN-->~H /\ j e. NN) -> (A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)D(f` k)) < y) <-> A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h (f` j))) < y)))
21	20	rexbidva 2120	. . . . . . . 8 |- (f:NN-->~H -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)D(f` k)) < y) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h (f` j))) < y)))
22	21	imbi2d 674	. . . . . . 7 |- (f:NN-->~H -> ((0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)D(f` k)) < y)) <-> (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h (f` j))) < y))))
23	22	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (f:NN-->~H -> (A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)D(f` k)) < y)) <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h (f` j))) < y))))
24	9, 23	bitrd 587	. . . . 5 |- (f:NN-->~H -> (f e. (Cau` D) <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h (f` j))) < y))))
25	24	biimpac 462	. . . 4 |- ((f e. (Cau` D) /\ f:NN-->~H) -> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h (f` j))) < y)))
26		hcau2 10688	. . . . 5 |- (f e. Cauchy <-> (f:NN-->~H /\ A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h (f` j))) < y))))
27		ax-hcompl 10704	. . . . 5 |- (f e. Cauchy -> E.x e. ~H f ~~>v x)
28	26, 27	sylbir 218	. . . 4 |- ((f:NN-->~H /\ A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h (f` j))) < y))) -> E.x e. ~H f ~~>v x)
29	5, 25, 28	syl11anc 524	. . 3 |- ((f e. (Cau` D) /\ f:NN-->~H) -> E.x e. ~H f ~~>v x)
30	3, 6, 7	lmbrf2 9209	. . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ x e. ~H /\ f:NN-->~H) -> (f(~~>m` D)x <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)Dx) < y))))
31	4, 30	mp3an1 1178	. . . . . 6 |- ((x e. ~H /\ f:NN-->~H) -> (f(~~>m` D)x <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)Dx) < y))))
32	31	ancoms 484	. . . . 5 |- ((f:NN-->~H /\ x e. ~H) -> (f(~~>m` D)x <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)Dx) < y))))
33		visset 2295	. . . . . . 7 |- f e. _V
34		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
35	33, 34	hlimconvi 10692	. . . . . 6 |- (f ~~>v x -> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h x)) < y)))
36	33, 34	hlimseqi 10690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (f ~~>v x -> f:NN-->~H)
37	12, 36	sylan 497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((f ~~>v x /\ k e. NN) -> (f` k) e. ~H)
38	33, 34	hlimveci 10691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (f ~~>v x -> x e. ~H)
39	38	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((f ~~>v x /\ k e. NN) -> x e. ~H)
40	1, 2	hhmetdval 10676	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((f` k) e. ~H /\ x e. ~H) -> ((f` k)Dx) = (normh` ((f` k) -h x)))
41	37, 39, 40	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . 12 |- ((f ~~>v x /\ k e. NN) -> ((f` k)Dx) = (normh` ((f` k) -h x)))
42	41	breq1d 3348	. . . . . . . . . . 11 |- ((f ~~>v x /\ k e. NN) -> (((f` k)Dx) < y <-> (normh` ((f` k) -h x)) < y))
43	42	imbi2d 674	. . . . . . . . . 10 |- ((f ~~>v x /\ k e. NN) -> ((j <_ k -> ((f` k)Dx) < y) <-> (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h x)) < y)))
44	43	ralbidva 2119	. . . . . . . . 9 |- (f ~~>v x -> (A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)Dx) < y) <-> A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h x)) < y)))
45	44	rexbidv 2124	. . . . . . . 8 |- (f ~~>v x -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)Dx) < y) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h x)) < y)))
46	45	imbi2d 674	. . . . . . 7 |- (f ~~>v x -> ((0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)Dx) < y)) <-> (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h x)) < y))))
47	46	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (f ~~>v x -> (A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)Dx) < y)) <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h x)) < y))))
48	35, 47	mpbird 213	. . . . 5 |- (f ~~>v x -> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)Dx) < y)))
49	32, 48	syl5bir 227	. . . 4 |- ((f:NN-->~H /\ x e. ~H) -> (f ~~>v x -> f(~~>m` D)x))
50	49	reximdva 2203	. . 3 |- (f:NN-->~H -> (E.x e. ~H f ~~>v x -> E.x e. ~H f(~~>m` D)x))
51	5, 29, 50	sylc 83	. 2 |- ((f e. (Cau` D) /\ f:NN-->~H) -> E.x e. ~H f(~~>m` D)x)
52	3, 4, 51	iscms2i 9273	1 |- D e. CMet

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  <.cop 3046   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  Metcme 9066  ~~>mclm 9197  Caucca 9198  CMetcms 9199  IndMetcims 9542  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422   -h cmv 10424  normhcno 10426  Cauchyccau 10427   ~~>v chli 10428

This theorem is referenced by:  hhhl 10706  hilcms 10707

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-met 9070  df-lm 9200  df-cau 9201  df-cmet 9202  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474

Copyright terms: Public domain