HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhba Structured version   Unicode version

Theorem hhba 24581
Description: The base set of Hilbert space. This theorem provides an independent proof of df-hba 24383 (see comments in that definition). (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
Assertion
Ref Expression
hhba  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )

Proof of Theorem hhba
StepHypRef Expression
1 hilablo 24574 . . . 4  |-  +h  e.  AbelOp
2 ablogrpo 23783 . . . 4  |-  (  +h  e.  AbelOp  ->  +h  e.  GrpOp )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  +h  e.  GrpOp
4 ax-hfvadd 24414 . . . 4  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
54fdmi 5576 . . 3  |-  dom  +h  =  ( ~H  X.  ~H )
63, 5grporn 23711 . 2  |-  ~H  =  ran  +h
7 eqid 2443 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
8 hhnv.1 . . . 4  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
98hhva 24580 . . 3  |-  +h  =  ( +v `  U )
107, 9bafval 23994 . 2  |-  ( BaseSet `  U )  =  ran  +h
116, 10eqtr4i 2466 1  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756   <.cop 3895    X. cxp 4850   ran crn 4853   ` cfv 5430   GrpOpcgr 23685   AbelOpcablo 23780   BaseSetcba 23976   ~Hchil 24333    +h cva 24334    .h csm 24335   normhcno 24337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-hilex 24413  ax-hfvadd 24414  ax-hvcom 24415  ax-hvass 24416  ax-hv0cl 24417  ax-hvaddid 24418  ax-hfvmul 24419  ax-hvmulid 24420  ax-hvmulass 24421  ax-hvdistr1 24422  ax-hvdistr2 24423  ax-hvmul0 24424  ax-hfi 24493  ax-his1 24496  ax-his2 24497  ax-his3 24498  ax-his4 24499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-grpo 23690  df-gid 23691  df-ablo 23781  df-vc 23936  df-nv 23982  df-va 23985  df-ba 23986  df-hnorm 24382  df-hvsub 24385
This theorem is referenced by:  hhvs  24584  hhmet  24588  hhmetdval  24590  hhip  24591  hhcau  24612  hhlm  24613  hhhl  24618  hhlnoi  25316  hhnmoi  25317  hh0oi  25319
  Copyright terms: Public domain W3C validator