Theorem hgmapvs 36566

Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 6. Also line 15 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapvs.h	|- H = ( LHyp ` K )
hgmapvs.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
hgmapvs.v	|- V = ( Base ` U )
hgmapvs.t	|- .x. = ( .s ` U )
hgmapvs.r	|- R = (Scalar ` U )
hgmapvs.b	|- B = ( Base ` R )
hgmapvs.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
hgmapvs.e	|- .xb = ( .s ` C )
hgmapvs.s	|- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
hgmapvs.g	|- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
hgmapvs.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
hgmapvs.x	|- ( ph -> X e. V )
hgmapvs.f	|- ( ph -> F e. B )

Assertion

Ref	Expression
hgmapvs	|- ( ph -> ( S ` ( F .x. X ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) )

Proof of Theorem hgmapvs

Dummy variables g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapvs.x	. 2 |- ( ph -> X e. V )
2		hgmapvs.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
3		hgmapvs.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
4		hgmapvs.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` U )
5		hgmapvs.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` U )
6		hgmapvs.r	. . . . 5 |- R = (Scalar ` U )
7		hgmapvs.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
8		hgmapvs.c	. . . . 5 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
9		hgmapvs.e	. . . . 5 |- .xb = ( .s ` C )
10		hgmapvs.s	. . . . 5 |- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
11		hgmapvs.g	. . . . 5 |- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
12		hgmapvs.k	. . . . 5 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13		hgmapvs.f	. . . . 5 |- ( ph -> F e. B )
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	hgmapval 36562	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` F ) = ( iota_ g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) )
15	14	eqcomd 2468	. . 3 |- ( ph -> ( iota_ g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) = ( G ` F ) )
16	2, 3, 6, 7, 11, 12, 13	hgmapcl 36564	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` F ) e. B )
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13	hdmap14lem15 36557	. . . 4 |- ( ph -> E! g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) )
18		oveq1 6282	. . . . . . 7 |- ( g = ( G ` F ) -> ( g .xb ( S ` x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) )
19	18	eqeq2d 2474	. . . . . 6 |- ( g = ( G ` F ) -> ( ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) <-> ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) ) )
20	19	ralbidv 2896	. . . . 5 |- ( g = ( G ` F ) -> ( A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) <-> A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) ) )
21	20	riota2 6259	. . . 4 |- ( ( ( G ` F ) e. B /\ E! g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) -> ( A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) <-> ( iota_ g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) = ( G ` F ) ) )
22	16, 17, 21	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) <-> ( iota_ g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) = ( G ` F ) ) )
23	15, 22	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) )
24		oveq2 6283	. . . . 5 |- ( x = X -> ( F .x. x ) = ( F .x. X ) )
25	24	fveq2d 5861	. . . 4 |- ( x = X -> ( S ` ( F .x. x ) ) = ( S ` ( F .x. X ) ) )
26		fveq2 5857	. . . . 5 |- ( x = X -> ( S ` x ) = ( S ` X ) )
27	26	oveq2d 6291	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) )
28	25, 27	eqeq12d 2482	. . 3 |- ( x = X -> ( ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) <-> ( S ` ( F .x. X ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) ) )
29	28	rspcva 3205	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) ) -> ( S ` ( F .x. X ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) )
30	1, 23, 29	syl2anc 661	1 |- ( ph -> ( S ` ( F .x. X ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   E!wreu 2809   ` cfv 5579   iota_crio 6235  (class class class)co 6275   Basecbs 14479  Scalarcsca 14547   .scvsca 14548   HLchlt 34022   LHypclh 34655   DVecHcdvh 35750  LCDualclcd 36258  HDMapchdma 36465  HGMapchg 36558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 33631

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-ot 4029  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-undef 6992  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-0g 14686  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-cntz 16143  df-oppg 16169  df-lsm 16445  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-drng 17174  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-lvec 17525  df-lsatoms 33648  df-lshyp 33649  df-lcv 33691  df-lfl 33730  df-lkr 33758  df-ldual 33796  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171  df-lines 34172  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776  df-trl 34830  df-tgrp 35414  df-tendo 35426  df-edring 35428  df-dveca 35674  df-disoa 35701  df-dvech 35751  df-dib 35811  df-dic 35845  df-dih 35901  df-doch 36020  df-djh 36067  df-lcdual 36259  df-mapd 36297  df-hvmap 36429  df-hdmap1 36466  df-hdmap 36467  df-hgmap 36559

This theorem is referenced by:  hgmapval0  36567  hgmapval1  36568  hgmapadd  36569  hgmapmul  36570  hgmaprnlem1N  36571  hgmap11  36577  hdmapglnm2  36586