Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmapvs Structured version   Unicode version

Theorem hgmapvs 36566
Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 6. Also line 15 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmapvs.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hgmapvs.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hgmapvs.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hgmapvs.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
hgmapvs.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hgmapvs.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hgmapvs.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hgmapvs.e  |-  .xb  =  ( .s `  C )
hgmapvs.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hgmapvs.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hgmapvs.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hgmapvs.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hgmapvs.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
Assertion
Ref Expression
hgmapvs  |-  ( ph  ->  ( S `  ( F  .x.  X ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  X ) ) )

Proof of Theorem hgmapvs
Dummy variables  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgmapvs.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2 hgmapvs.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 hgmapvs.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 hgmapvs.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 hgmapvs.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  U )
6 hgmapvs.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  U )
7 hgmapvs.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
8 hgmapvs.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
9 hgmapvs.e . . . . 5  |-  .xb  =  ( .s `  C )
10 hgmapvs.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
11 hgmapvs.g . . . . 5  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
12 hgmapvs.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 hgmapvs.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13hgmapval 36562 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  F
)  =  ( iota_ g  e.  B  A. x  e.  V  ( S `  ( F  .x.  x
) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) ) )
1514eqcomd 2468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( iota_ g  e.  B  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) )  =  ( G `  F ) )
162, 3, 6, 7, 11, 12, 13hgmapcl 36564 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  F
)  e.  B )
172, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13hdmap14lem15 36557 . . . 4  |-  ( ph  ->  E! g  e.  B  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) )
18 oveq1 6282 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( G `  F )  ->  (
g  .xb  ( S `  x ) )  =  ( ( G `  F )  .xb  ( S `  x )
) )
1918eqeq2d 2474 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( G `  F )  ->  (
( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) )  <->  ( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( ( G `  F ) 
.xb  ( S `  x ) ) ) )
2019ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( g  =  ( G `  F )  ->  ( A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) )  <->  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  x ) ) ) )
2120riota2 6259 . . . 4  |-  ( ( ( G `  F
)  e.  B  /\  E! g  e.  B  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) )  ->  ( A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  x ) )  <->  ( iota_ g  e.  B  A. x  e.  V  ( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( g 
.xb  ( S `  x ) ) )  =  ( G `  F ) ) )
2216, 17, 21syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  V  ( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( ( G `  F ) 
.xb  ( S `  x ) )  <->  ( iota_ g  e.  B  A. x  e.  V  ( S `  ( F  .x.  x
) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) )  =  ( G `  F ) ) )
2315, 22mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  x ) ) )
24 oveq2 6283 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( F  .x.  x )  =  ( F  .x.  X
) )
2524fveq2d 5861 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( S `  ( F  .x.  X ) ) )
26 fveq2 5857 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( S `  x )  =  ( S `  X ) )
2726oveq2d 6291 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( G `  F
)  .xb  ( S `  x ) )  =  ( ( G `  F )  .xb  ( S `  X )
) )
2825, 27eqeq12d 2482 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  x ) )  <->  ( S `  ( F  .x.  X ) )  =  ( ( G `  F ) 
.xb  ( S `  X ) ) ) )
2928rspcva 3205 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  x ) ) )  ->  ( S `  ( F  .x.  X ) )  =  ( ( G `  F )  .xb  ( S `  X )
) )
301, 23, 29syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( S `  ( F  .x.  X ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E!wreu 2809   ` cfv 5579   iota_crio 6235  (class class class)co 6275   Basecbs 14479  Scalarcsca 14547   .scvsca 14548   HLchlt 34022   LHypclh 34655   DVecHcdvh 35750  LCDualclcd 36258  HDMapchdma 36465  HGMapchg 36558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 33631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-ot 4029  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-undef 6992  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-0g 14686  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-cntz 16143  df-oppg 16169  df-lsm 16445  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-drng 17174  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-lvec 17525  df-lsatoms 33648  df-lshyp 33649  df-lcv 33691  df-lfl 33730  df-lkr 33758  df-ldual 33796  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171  df-lines 34172  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776  df-trl 34830  df-tgrp 35414  df-tendo 35426  df-edring 35428  df-dveca 35674  df-disoa 35701  df-dvech 35751  df-dib 35811  df-dic 35845  df-dih 35901  df-doch 36020  df-djh 36067  df-lcdual 36259  df-mapd 36297  df-hvmap 36429  df-hdmap1 36466  df-hdmap 36467  df-hgmap 36559
This theorem is referenced by:  hgmapval0  36567  hgmapval1  36568  hgmapadd  36569  hgmapmul  36570  hgmaprnlem1N  36571  hgmap11  36577  hdmapglnm2  36586
  Copyright terms: Public domain W3C validator