Theorem hgmapvs 34895

Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 6. Also line 15 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapvs.h	|- H = ( LHyp ` K )
hgmapvs.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
hgmapvs.v	|- V = ( Base ` U )
hgmapvs.t	|- .x. = ( .s ` U )
hgmapvs.r	|- R = (Scalar ` U )
hgmapvs.b	|- B = ( Base ` R )
hgmapvs.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
hgmapvs.e	|- .xb = ( .s ` C )
hgmapvs.s	|- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
hgmapvs.g	|- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
hgmapvs.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
hgmapvs.x	|- ( ph -> X e. V )
hgmapvs.f	|- ( ph -> F e. B )

Assertion

Ref	Expression
hgmapvs	|- ( ph -> ( S ` ( F .x. X ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) )

Proof of Theorem hgmapvs

Dummy variables g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapvs.x	. 2 |- ( ph -> X e. V )
2		hgmapvs.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
3		hgmapvs.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
4		hgmapvs.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` U )
5		hgmapvs.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` U )
6		hgmapvs.r	. . . . 5 |- R = (Scalar ` U )
7		hgmapvs.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
8		hgmapvs.c	. . . . 5 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
9		hgmapvs.e	. . . . 5 |- .xb = ( .s ` C )
10		hgmapvs.s	. . . . 5 |- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
11		hgmapvs.g	. . . . 5 |- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
12		hgmapvs.k	. . . . 5 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13		hgmapvs.f	. . . . 5 |- ( ph -> F e. B )
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	hgmapval 34891	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` F ) = ( iota_ g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) )
15	14	eqcomd 2410	. . 3 |- ( ph -> ( iota_ g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) = ( G ` F ) )
16	2, 3, 6, 7, 11, 12, 13	hgmapcl 34893	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` F ) e. B )
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13	hdmap14lem15 34886	. . . 4 |- ( ph -> E! g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) )
18		oveq1 6241	. . . . . . 7 |- ( g = ( G ` F ) -> ( g .xb ( S ` x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) )
19	18	eqeq2d 2416	. . . . . 6 |- ( g = ( G ` F ) -> ( ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) <-> ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) ) )
20	19	ralbidv 2842	. . . . 5 |- ( g = ( G ` F ) -> ( A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) <-> A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) ) )
21	20	riota2 6218	. . . 4 |- ( ( ( G ` F ) e. B /\ E! g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) -> ( A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) <-> ( iota_ g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) = ( G ` F ) ) )
22	16, 17, 21	syl2anc 659	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) <-> ( iota_ g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) = ( G ` F ) ) )
23	15, 22	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) )
24		oveq2 6242	. . . . 5 |- ( x = X -> ( F .x. x ) = ( F .x. X ) )
25	24	fveq2d 5809	. . . 4 |- ( x = X -> ( S ` ( F .x. x ) ) = ( S ` ( F .x. X ) ) )
26		fveq2 5805	. . . . 5 |- ( x = X -> ( S ` x ) = ( S ` X ) )
27	26	oveq2d 6250	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) )
28	25, 27	eqeq12d 2424	. . 3 |- ( x = X -> ( ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) <-> ( S ` ( F .x. X ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) ) )
29	28	rspcva 3157	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) ) -> ( S ` ( F .x. X ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) )
30	1, 23, 29	syl2anc 659	1 |- ( ph -> ( S ` ( F .x. X ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   A.wral 2753   E!wreu 2755   ` cfv 5525   iota_crio 6195  (class class class)co 6234   Basecbs 14733  Scalarcsca 14804   .scvsca 14805   HLchlt 32349   LHypclh 32982   DVecHcdvh 34079  LCDualclcd 34587  HDMapchdma 34794  HGMapchg 34887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-riotaBAD 31958

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-ot 3980  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-tpos 6912  df-undef 6959  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-0g 14948  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-preset 15773  df-poset 15791  df-plt 15804  df-lub 15820  df-glb 15821  df-join 15822  df-meet 15823  df-p0 15885  df-p1 15886  df-lat 15892  df-clat 15954  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-sbg 16275  df-subg 16414  df-cntz 16571  df-oppg 16597  df-lsm 16872  df-cmn 17016  df-abl 17017  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-oppr 17484  df-dvdsr 17502  df-unit 17503  df-invr 17533  df-dvr 17544  df-drng 17610  df-lmod 17726  df-lss 17791  df-lsp 17830  df-lvec 17961  df-lsatoms 31975  df-lshyp 31976  df-lcv 32018  df-lfl 32057  df-lkr 32085  df-ldual 32123  df-oposet 32175  df-ol 32177  df-oml 32178  df-covers 32265  df-ats 32266  df-atl 32297  df-cvlat 32321  df-hlat 32350  df-llines 32496  df-lplanes 32497  df-lvols 32498  df-lines 32499  df-psubsp 32501  df-pmap 32502  df-padd 32794  df-lhyp 32986  df-laut 32987  df-ldil 33102  df-ltrn 33103  df-trl 33158  df-tgrp 33743  df-tendo 33755  df-edring 33757  df-dveca 34003  df-disoa 34030  df-dvech 34080  df-dib 34140  df-dic 34174  df-dih 34230  df-doch 34349  df-djh 34396  df-lcdual 34588  df-mapd 34626  df-hvmap 34758  df-hdmap1 34795  df-hdmap 34796  df-hgmap 34888

This theorem is referenced by:  hgmapval0  34896  hgmapval1  34897  hgmapadd  34898  hgmapmul  34899  hgmaprnlem1N  34900  hgmap11  34906  hdmapglnm2  34915