Theorem hgmapvs 35462

Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 6. Also line 15 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapvs.h	|- H = ( LHyp ` K )
hgmapvs.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
hgmapvs.v	|- V = ( Base ` U )
hgmapvs.t	|- .x. = ( .s ` U )
hgmapvs.r	|- R = (Scalar ` U )
hgmapvs.b	|- B = ( Base ` R )
hgmapvs.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
hgmapvs.e	|- .xb = ( .s ` C )
hgmapvs.s	|- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
hgmapvs.g	|- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
hgmapvs.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
hgmapvs.x	|- ( ph -> X e. V )
hgmapvs.f	|- ( ph -> F e. B )

Assertion

Ref	Expression
hgmapvs	|- ( ph -> ( S ` ( F .x. X ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) )

Proof of Theorem hgmapvs

Dummy variables g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapvs.x	. 2 |- ( ph -> X e. V )
2		hgmapvs.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
3		hgmapvs.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
4		hgmapvs.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` U )
5		hgmapvs.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` U )
6		hgmapvs.r	. . . . 5 |- R = (Scalar ` U )
7		hgmapvs.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
8		hgmapvs.c	. . . . 5 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
9		hgmapvs.e	. . . . 5 |- .xb = ( .s ` C )
10		hgmapvs.s	. . . . 5 |- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
11		hgmapvs.g	. . . . 5 |- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
12		hgmapvs.k	. . . . 5 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13		hgmapvs.f	. . . . 5 |- ( ph -> F e. B )
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	hgmapval 35458	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` F ) = ( iota_ g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) )
15	14	eqcomd 2457	. . 3 |- ( ph -> ( iota_ g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) = ( G ` F ) )
16	2, 3, 6, 7, 11, 12, 13	hgmapcl 35460	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` F ) e. B )
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13	hdmap14lem15 35453	. . . 4 |- ( ph -> E! g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) )
18		oveq1 6297	. . . . . . 7 |- ( g = ( G ` F ) -> ( g .xb ( S ` x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) )
19	18	eqeq2d 2461	. . . . . 6 |- ( g = ( G ` F ) -> ( ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) <-> ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) ) )
20	19	ralbidv 2827	. . . . 5 |- ( g = ( G ` F ) -> ( A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) <-> A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) ) )
21	20	riota2 6274	. . . 4 |- ( ( ( G ` F ) e. B /\ E! g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) -> ( A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) <-> ( iota_ g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) = ( G ` F ) ) )
22	16, 17, 21	syl2anc 667	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) <-> ( iota_ g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) = ( G ` F ) ) )
23	15, 22	mpbird 236	. 2 |- ( ph -> A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) )
24		oveq2 6298	. . . . 5 |- ( x = X -> ( F .x. x ) = ( F .x. X ) )
25	24	fveq2d 5869	. . . 4 |- ( x = X -> ( S ` ( F .x. x ) ) = ( S ` ( F .x. X ) ) )
26		fveq2 5865	. . . . 5 |- ( x = X -> ( S ` x ) = ( S ` X ) )
27	26	oveq2d 6306	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) )
28	25, 27	eqeq12d 2466	. . 3 |- ( x = X -> ( ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) <-> ( S ` ( F .x. X ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) ) )
29	28	rspcva 3148	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) ) -> ( S ` ( F .x. X ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) )
30	1, 23, 29	syl2anc 667	1 |- ( ph -> ( S ` ( F .x. X ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E!wreu 2739   ` cfv 5582   iota_crio 6251  (class class class)co 6290   Basecbs 15121  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   HLchlt 32916   LHypclh 33549   DVecHcdvh 34646  LCDualclcd 35154  HDMapchdma 35361  HGMapchg 35454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-riotaBAD 32525

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-0g 15340  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-lub 16220  df-glb 16221  df-join 16222  df-meet 16223  df-p0 16285  df-p1 16286  df-lat 16292  df-clat 16354  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-subg 16814  df-cntz 16971  df-oppg 16997  df-lsm 17288  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-drng 17977  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-lvec 18326  df-lsatoms 32542  df-lshyp 32543  df-lcv 32585  df-lfl 32624  df-lkr 32652  df-ldual 32690  df-oposet 32742  df-ol 32744  df-oml 32745  df-covers 32832  df-ats 32833  df-atl 32864  df-cvlat 32888  df-hlat 32917  df-llines 33063  df-lplanes 33064  df-lvols 33065  df-lines 33066  df-psubsp 33068  df-pmap 33069  df-padd 33361  df-lhyp 33553  df-laut 33554  df-ldil 33669  df-ltrn 33670  df-trl 33725  df-tgrp 34310  df-tendo 34322  df-edring 34324  df-dveca 34570  df-disoa 34597  df-dvech 34647  df-dib 34707  df-dic 34741  df-dih 34797  df-doch 34916  df-djh 34963  df-lcdual 35155  df-mapd 35193  df-hvmap 35325  df-hdmap1 35362  df-hdmap 35363  df-hgmap 35455

This theorem is referenced by:  hgmapval0  35463  hgmapval1  35464  hgmapadd  35465  hgmapmul  35466  hgmaprnlem1N  35467  hgmap11  35473  hdmapglnm2  35482