Theorem hgmapvs 35635

Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 6. Also line 15 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapvs.h	|- H = ( LHyp ` K )
hgmapvs.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
hgmapvs.v	|- V = ( Base ` U )
hgmapvs.t	|- .x. = ( .s ` U )
hgmapvs.r	|- R = (Scalar ` U )
hgmapvs.b	|- B = ( Base ` R )
hgmapvs.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
hgmapvs.e	|- .xb = ( .s ` C )
hgmapvs.s	|- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
hgmapvs.g	|- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
hgmapvs.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
hgmapvs.x	|- ( ph -> X e. V )
hgmapvs.f	|- ( ph -> F e. B )

Assertion

Ref	Expression
hgmapvs	|- ( ph -> ( S ` ( F .x. X ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) )

Proof of Theorem hgmapvs

Dummy variables g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapvs.x	. 2 |- ( ph -> X e. V )
2		hgmapvs.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
3		hgmapvs.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
4		hgmapvs.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` U )
5		hgmapvs.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` U )
6		hgmapvs.r	. . . . 5 |- R = (Scalar ` U )
7		hgmapvs.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
8		hgmapvs.c	. . . . 5 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
9		hgmapvs.e	. . . . 5 |- .xb = ( .s ` C )
10		hgmapvs.s	. . . . 5 |- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
11		hgmapvs.g	. . . . 5 |- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
12		hgmapvs.k	. . . . 5 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13		hgmapvs.f	. . . . 5 |- ( ph -> F e. B )
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	hgmapval 35631	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` F ) = ( iota_ g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) )
15	14	eqcomd 2448	. . 3 |- ( ph -> ( iota_ g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) = ( G ` F ) )
16	2, 3, 6, 7, 11, 12, 13	hgmapcl 35633	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` F ) e. B )
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13	hdmap14lem15 35626	. . . 4 |- ( ph -> E! g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) )
18		oveq1 6119	. . . . . . 7 |- ( g = ( G ` F ) -> ( g .xb ( S ` x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) )
19	18	eqeq2d 2454	. . . . . 6 |- ( g = ( G ` F ) -> ( ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) <-> ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) ) )
20	19	ralbidv 2756	. . . . 5 |- ( g = ( G ` F ) -> ( A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) <-> A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) ) )
21	20	riota2 6096	. . . 4 |- ( ( ( G ` F ) e. B /\ E! g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) -> ( A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) <-> ( iota_ g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) = ( G ` F ) ) )
22	16, 17, 21	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) <-> ( iota_ g e. B A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( g .xb ( S ` x ) ) ) = ( G ` F ) ) )
23	15, 22	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) )
24		oveq2 6120	. . . . 5 |- ( x = X -> ( F .x. x ) = ( F .x. X ) )
25	24	fveq2d 5716	. . . 4 |- ( x = X -> ( S ` ( F .x. x ) ) = ( S ` ( F .x. X ) ) )
26		fveq2 5712	. . . . 5 |- ( x = X -> ( S ` x ) = ( S ` X ) )
27	26	oveq2d 6128	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) )
28	25, 27	eqeq12d 2457	. . 3 |- ( x = X -> ( ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) <-> ( S ` ( F .x. X ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) ) )
29	28	rspcva 3092	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. x e. V ( S ` ( F .x. x ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` x ) ) ) -> ( S ` ( F .x. X ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) )
30	1, 23, 29	syl2anc 661	1 |- ( ph -> ( S ` ( F .x. X ) ) = ( ( G ` F ) .xb ( S ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2736   E!wreu 2738   ` cfv 5439   iota_crio 6072  (class class class)co 6112   Basecbs 14195  Scalarcsca 14262   .scvsca 14263   HLchlt 33091   LHypclh 33724   DVecHcdvh 34819  LCDualclcd 35327  HDMapchdma 35534  HGMapchg 35627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-riotaBAD 32700

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-ot 3907  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-tpos 6766  df-undef 6813  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-0g 14401  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-poset 15137  df-plt 15149  df-lub 15165  df-glb 15166  df-join 15167  df-meet 15168  df-p0 15230  df-p1 15231  df-lat 15237  df-clat 15299  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-subg 15699  df-cntz 15856  df-oppg 15882  df-lsm 16156  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-oppr 16737  df-dvdsr 16755  df-unit 16756  df-invr 16786  df-dvr 16797  df-drng 16856  df-lmod 16972  df-lss 17036  df-lsp 17075  df-lvec 17206  df-lsatoms 32717  df-lshyp 32718  df-lcv 32760  df-lfl 32799  df-lkr 32827  df-ldual 32865  df-oposet 32917  df-ol 32919  df-oml 32920  df-covers 33007  df-ats 33008  df-atl 33039  df-cvlat 33063  df-hlat 33092  df-llines 33238  df-lplanes 33239  df-lvols 33240  df-lines 33241  df-psubsp 33243  df-pmap 33244  df-padd 33536  df-lhyp 33728  df-laut 33729  df-ldil 33844  df-ltrn 33845  df-trl 33899  df-tgrp 34483  df-tendo 34495  df-edring 34497  df-dveca 34743  df-disoa 34770  df-dvech 34820  df-dib 34880  df-dic 34914  df-dih 34970  df-doch 35089  df-djh 35136  df-lcdual 35328  df-mapd 35366  df-hvmap 35498  df-hdmap1 35535  df-hdmap 35536  df-hgmap 35628

This theorem is referenced by:  hgmapval0  35636  hgmapval1  35637  hgmapadd  35638  hgmapmul  35639  hgmaprnlem1N  35640  hgmap11  35646  hdmapglnm2  35655