Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmaprnN Structured version   Unicode version

Theorem hgmaprnN 36701
Description: Part of proof of part 16 in [Baer] p. 50 line 23, Fs=G, except that we use the original vector space scalars for the range. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmaprn.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hgmaprn.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hgmaprn.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hgmaprn.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hgmaprn.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hgmaprn.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
hgmaprnN  |-  ( ph  ->  ran  G  =  B )

Proof of Theorem hgmaprnN
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgmaprn.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hgmaprn.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hgmaprn.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  U )
4 hgmaprn.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 hgmaprn.g . . . . 5  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
6 hgmaprn.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6hgmapfnN 36688 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  Fn  B )
8 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( (LCDual `  K ) `  W
)  =  ( (LCDual `  K ) `  W
)
9 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (Scalar `  ( (LCDual `  K ) `  W ) )  =  (Scalar `  ( (LCDual `  K ) `  W
) )
10 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
116adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  B )
131, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 5, 11, 12hgmapdcl 36690 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( G `  z )  e.  ( Base `  (Scalar `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) ) )
1413ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  B  ( G `  z )  e.  ( Base `  (Scalar `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) ) )
15 fnfvrnss 6047 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  B  /\  A. z  e.  B  ( G `  z )  e.  ( Base `  (Scalar `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) ) )  ->  ran  G  C_  ( Base `  (Scalar `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) ) )
167, 14, 15syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  G  C_  ( Base `  (Scalar `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) ) )
17 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
18 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
19 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
20 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)
21 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( .s
`  ( (LCDual `  K ) `  W
) )  =  ( .s `  ( (LCDual `  K ) `  W
) )
22 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  ( (LCDual `  K ) `  W
) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W
) )
23 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( (HDMap `  K ) `  W
)  =  ( (HDMap `  K ) `  W
)
246adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  (Scalar `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
25 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  (Scalar `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  (Scalar `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) ) )
261, 2, 17, 3, 4, 18, 19, 8, 20, 9, 10, 21, 22, 23, 5, 24, 25hgmaprnlem5N 36700 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  (Scalar `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) ) )  ->  z  e.  ran  G )
2726ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  (
Base `  (Scalar `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) )  ->  z  e.  ran  G ) )
2827ssrdv 3510 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )  C_  ran  G )
2916, 28eqssd 3521 . 2  |-  ( ph  ->  ran  G  =  (
Base `  (Scalar `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) ) )
301, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 6lcdsbase 36397 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )  =  B )
3129, 30eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ran  G  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   ran crn 5000    Fn wfn 5581   ` cfv 5586   Basecbs 14486  Scalarcsca 14554   .scvsca 14555   0gc0g 14691   HLchlt 34147   LHypclh 34780   DVecHcdvh 35875  LCDualclcd 36383  HDMapchdma 36590  HGMapchg 36683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-riotaBAD 33756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-undef 6999  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-0g 14693  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-poset 15429  df-plt 15441  df-lub 15457  df-glb 15458  df-join 15459  df-meet 15460  df-p0 15522  df-p1 15523  df-lat 15529  df-clat 15591  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-subg 15993  df-cntz 16150  df-oppg 16176  df-lsm 16452  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-dvr 17116  df-drng 17181  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-lsp 17401  df-lvec 17532  df-lsatoms 33773  df-lshyp 33774  df-lcv 33816  df-lfl 33855  df-lkr 33883  df-ldual 33921  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955  df-tgrp 35539  df-tendo 35551  df-edring 35553  df-dveca 35799  df-disoa 35826  df-dvech 35876  df-dib 35936  df-dic 35970  df-dih 36026  df-doch 36145  df-djh 36192  df-lcdual 36384  df-mapd 36422  df-hvmap 36554  df-hdmap1 36591  df-hdmap 36592  df-hgmap 36684
This theorem is referenced by:  hgmapf1oN  36703
  Copyright terms: Public domain W3C validator