Theorem hgmapeq0 35557

Description: The scalar sigma map is zero iff its argument is zero. (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapeq0.h	|- H = ( LHyp ` K )
hgmapeq0.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
hgmapeq0.r	|- R = (Scalar ` U )
hgmapeq0.b	|- B = ( Base ` R )
hgmapeq0.o	|- .0. = ( 0g ` R )
hgmapeq0.g	|- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
hgmapeq0.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
hgmapeq0.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
hgmapeq0	|- ( ph -> ( ( G ` X ) = .0. <-> X = .0. ) )

Proof of Theorem hgmapeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapeq0.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
2		hgmapeq0.u	. . . 4 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3		hgmapeq0.r	. . . 4 |- R = (Scalar ` U )
4		hgmapeq0.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
5		hgmapeq0.g	. . . 4 |- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
6		hgmapeq0.k	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	hgmapval0 35545	. . 3 |- ( ph -> ( G ` .0. ) = .0. )
8	7	eqeq2d 2454	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` X ) = ( G ` .0. ) <-> ( G ` X ) = .0. ) )
9		hgmapeq0.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
10		hgmapeq0.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
11	1, 2, 6	dvhlmod 34760	. . . 4 |- ( ph -> U e. LMod )
12	3, 9, 4	lmod0cl 16979	. . . 4 |- ( U e. LMod -> .0. e. B )
13	11, 12	syl 16	. . 3 |- ( ph -> .0. e. B )
14	1, 2, 3, 9, 5, 6, 10, 13	hgmap11 35555	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` X ) = ( G ` .0. ) <-> X = .0. ) )
15	8, 14	bitr3d 255	1 |- ( ph -> ( ( G ` X ) = .0. <-> X = .0. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   ` cfv 5423   Basecbs 14179  Scalarcsca 14246   0gc0g 14383   LModclmod 16953   HLchlt 33000   LHypclh 33633   DVecHcdvh 34728  HGMapchg 35536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-riotaBAD 32609

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-ot 3891  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-undef 6797  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-0g 14385  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-poset 15121  df-plt 15133  df-lub 15149  df-glb 15150  df-join 15151  df-meet 15152  df-p0 15214  df-p1 15215  df-lat 15221  df-clat 15283  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-subg 15683  df-cntz 15840  df-oppg 15866  df-lsm 16140  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-dvr 16780  df-drng 16839  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lsp 17058  df-lvec 17189  df-lsatoms 32626  df-lshyp 32627  df-lcv 32669  df-lfl 32708  df-lkr 32736  df-ldual 32774  df-oposet 32826  df-ol 32828  df-oml 32829  df-covers 32916  df-ats 32917  df-atl 32948  df-cvlat 32972  df-hlat 33001  df-llines 33147  df-lplanes 33148  df-lvols 33149  df-lines 33150  df-psubsp 33152  df-pmap 33153  df-padd 33445  df-lhyp 33637  df-laut 33638  df-ldil 33753  df-ltrn 33754  df-trl 33808  df-tgrp 34392  df-tendo 34404  df-edring 34406  df-dveca 34652  df-disoa 34679  df-dvech 34729  df-dib 34789  df-dic 34823  df-dih 34879  df-doch 34998  df-djh 35045  df-lcdual 35237  df-mapd 35275  df-hvmap 35407  df-hdmap1 35444  df-hdmap 35445  df-hgmap 35537

This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  35576  hgmapvvlem2  35577