Theorem hgmapeq0 37777

Description: The scalar sigma map is zero iff its argument is zero. (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapeq0.h	|- H = ( LHyp ` K )
hgmapeq0.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
hgmapeq0.r	|- R = (Scalar ` U )
hgmapeq0.b	|- B = ( Base ` R )
hgmapeq0.o	|- .0. = ( 0g ` R )
hgmapeq0.g	|- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
hgmapeq0.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
hgmapeq0.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
hgmapeq0	|- ( ph -> ( ( G ` X ) = .0. <-> X = .0. ) )

Proof of Theorem hgmapeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapeq0.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
2		hgmapeq0.u	. . . 4 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3		hgmapeq0.r	. . . 4 |- R = (Scalar ` U )
4		hgmapeq0.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
5		hgmapeq0.g	. . . 4 |- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
6		hgmapeq0.k	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	hgmapval0 37765	. . 3 |- ( ph -> ( G ` .0. ) = .0. )
8	7	eqeq2d 2471	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` X ) = ( G ` .0. ) <-> ( G ` X ) = .0. ) )
9		hgmapeq0.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
10		hgmapeq0.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
11	1, 2, 6	dvhlmod 36980	. . . 4 |- ( ph -> U e. LMod )
12	3, 9, 4	lmod0cl 17665	. . . 4 |- ( U e. LMod -> .0. e. B )
13	11, 12	syl 16	. . 3 |- ( ph -> .0. e. B )
14	1, 2, 3, 9, 5, 6, 10, 13	hgmap11 37775	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` X ) = ( G ` .0. ) <-> X = .0. ) )
15	8, 14	bitr3d 255	1 |- ( ph -> ( ( G ` X ) = .0. <-> X = .0. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   ` cfv 5594   Basecbs 14644  Scalarcsca 14715   0gc0g 14857   LModclmod 17639   HLchlt 35218   LHypclh 35851   DVecHcdvh 36948  HGMapchg 37756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-riotaBAD 34827

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-0g 14859  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-p0 15796  df-p1 15797  df-lat 15803  df-clat 15865  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-oppg 16508  df-lsm 16783  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876  df-lsatoms 34844  df-lshyp 34845  df-lcv 34887  df-lfl 34926  df-lkr 34954  df-ldual 34992  df-oposet 35044  df-ol 35046  df-oml 35047  df-covers 35134  df-ats 35135  df-atl 35166  df-cvlat 35190  df-hlat 35219  df-llines 35365  df-lplanes 35366  df-lvols 35367  df-lines 35368  df-psubsp 35370  df-pmap 35371  df-padd 35663  df-lhyp 35855  df-laut 35856  df-ldil 35971  df-ltrn 35972  df-trl 36027  df-tgrp 36612  df-tendo 36624  df-edring 36626  df-dveca 36872  df-disoa 36899  df-dvech 36949  df-dib 37009  df-dic 37043  df-dih 37099  df-doch 37218  df-djh 37265  df-lcdual 37457  df-mapd 37495  df-hvmap 37627  df-hdmap1 37664  df-hdmap 37665  df-hgmap 37757

This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  37796  hgmapvvlem2  37797