Theorem hgmapeq0 35487

Description: The scalar sigma map is zero iff its argument is zero. (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapeq0.h	|- H = ( LHyp ` K )
hgmapeq0.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
hgmapeq0.r	|- R = (Scalar ` U )
hgmapeq0.b	|- B = ( Base ` R )
hgmapeq0.o	|- .0. = ( 0g ` R )
hgmapeq0.g	|- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
hgmapeq0.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
hgmapeq0.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
hgmapeq0	|- ( ph -> ( ( G ` X ) = .0. <-> X = .0. ) )

Proof of Theorem hgmapeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapeq0.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
2		hgmapeq0.u	. . . 4 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3		hgmapeq0.r	. . . 4 |- R = (Scalar ` U )
4		hgmapeq0.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
5		hgmapeq0.g	. . . 4 |- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
6		hgmapeq0.k	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	hgmapval0 35475	. . 3 |- ( ph -> ( G ` .0. ) = .0. )
8	7	eqeq2d 2463	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` X ) = ( G ` .0. ) <-> ( G ` X ) = .0. ) )
9		hgmapeq0.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
10		hgmapeq0.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
11	1, 2, 6	dvhlmod 34690	. . . 4 |- ( ph -> U e. LMod )
12	3, 9, 4	lmod0cl 18129	. . . 4 |- ( U e. LMod -> .0. e. B )
13	11, 12	syl 17	. . 3 |- ( ph -> .0. e. B )
14	1, 2, 3, 9, 5, 6, 10, 13	hgmap11 35485	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` X ) = ( G ` .0. ) <-> X = .0. ) )
15	8, 14	bitr3d 259	1 |- ( ph -> ( ( G ` X ) = .0. <-> X = .0. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   ` cfv 5585   Basecbs 15133  Scalarcsca 15205   0gc0g 15350   LModclmod 18103   HLchlt 32928   LHypclh 33561   DVecHcdvh 34658  HGMapchg 35466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-riotaBAD 32537

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-ot 3979  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6978  df-undef 7025  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-0g 15352  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-preset 16185  df-poset 16203  df-plt 16216  df-lub 16232  df-glb 16233  df-join 16234  df-meet 16235  df-p0 16297  df-p1 16298  df-lat 16304  df-clat 16366  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-subg 16826  df-cntz 16983  df-oppg 17009  df-lsm 17300  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-dvr 17923  df-drng 17989  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-lsp 18207  df-lvec 18338  df-lsatoms 32554  df-lshyp 32555  df-lcv 32597  df-lfl 32636  df-lkr 32664  df-ldual 32702  df-oposet 32754  df-ol 32756  df-oml 32757  df-covers 32844  df-ats 32845  df-atl 32876  df-cvlat 32900  df-hlat 32929  df-llines 33075  df-lplanes 33076  df-lvols 33077  df-lines 33078  df-psubsp 33080  df-pmap 33081  df-padd 33373  df-lhyp 33565  df-laut 33566  df-ldil 33681  df-ltrn 33682  df-trl 33737  df-tgrp 34322  df-tendo 34334  df-edring 34336  df-dveca 34582  df-disoa 34609  df-dvech 34659  df-dib 34719  df-dic 34753  df-dih 34809  df-doch 34928  df-djh 34975  df-lcdual 35167  df-mapd 35205  df-hvmap 35337  df-hdmap1 35374  df-hdmap 35375  df-hgmap 35467

This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  35506  hgmapvvlem2  35507