Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmapeq0 Structured version   Unicode version

Theorem hgmapeq0 37777
Description: The scalar sigma map is zero iff its argument is zero. (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmapeq0.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hgmapeq0.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hgmapeq0.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hgmapeq0.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hgmapeq0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
hgmapeq0.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hgmapeq0.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hgmapeq0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
hgmapeq0  |-  ( ph  ->  ( ( G `  X )  =  .0.  <->  X  =  .0.  ) )

Proof of Theorem hgmapeq0
StepHypRef Expression
1 hgmapeq0.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hgmapeq0.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hgmapeq0.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  U )
4 hgmapeq0.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 hgmapeq0.g . . . 4  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
6 hgmapeq0.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6hgmapval0 37765 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  .0.  )  =  .0.  )
87eqeq2d 2471 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G `  X )  =  ( G `  .0.  )  <->  ( G `  X )  =  .0.  ) )
9 hgmapeq0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
10 hgmapeq0.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
111, 2, 6dvhlmod 36980 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
123, 9, 4lmod0cl 17665 . . . 4  |-  ( U  e.  LMod  ->  .0.  e.  B )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
141, 2, 3, 9, 5, 6, 10, 13hgmap11 37775 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G `  X )  =  ( G `  .0.  )  <->  X  =  .0.  ) )
158, 14bitr3d 255 1  |-  ( ph  ->  ( ( G `  X )  =  .0.  <->  X  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594   Basecbs 14644  Scalarcsca 14715   0gc0g 14857   LModclmod 17639   HLchlt 35218   LHypclh 35851   DVecHcdvh 36948  HGMapchg 37756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-riotaBAD 34827
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-0g 14859  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-p0 15796  df-p1 15797  df-lat 15803  df-clat 15865  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-oppg 16508  df-lsm 16783  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876  df-lsatoms 34844  df-lshyp 34845  df-lcv 34887  df-lfl 34926  df-lkr 34954  df-ldual 34992  df-oposet 35044  df-ol 35046  df-oml 35047  df-covers 35134  df-ats 35135  df-atl 35166  df-cvlat 35190  df-hlat 35219  df-llines 35365  df-lplanes 35366  df-lvols 35367  df-lines 35368  df-psubsp 35370  df-pmap 35371  df-padd 35663  df-lhyp 35855  df-laut 35856  df-ldil 35971  df-ltrn 35972  df-trl 36027  df-tgrp 36612  df-tendo 36624  df-edring 36626  df-dveca 36872  df-disoa 36899  df-dvech 36949  df-dib 37009  df-dic 37043  df-dih 37099  df-doch 37218  df-djh 37265  df-lcdual 37457  df-mapd 37495  df-hvmap 37627  df-hdmap1 37664  df-hdmap 37665  df-hgmap 37757
This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  37796  hgmapvvlem2  37797
  Copyright terms: Public domain W3C validator