Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfuni Structured version   Unicode version

Theorem hfuni 29809
Description: The union of an HF set is itself hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfuni  |-  ( A  e. Hf  ->  U. A  e. Hf  )

Proof of Theorem hfuni
StepHypRef Expression
1 rankuni 8279 . . 3  |-  ( rank `  U. A )  = 
U. ( rank `  A
)
2 rankon 8211 . . . . . 6  |-  ( rank `  A )  e.  On
32ontrci 4969 . . . . 5  |-  Tr  ( rank `  A )
4 df-tr 4527 . . . . 5  |-  ( Tr  ( rank `  A
)  <->  U. ( rank `  A
)  C_  ( rank `  A ) )
53, 4mpbi 208 . . . 4  |-  U. ( rank `  A )  C_  ( rank `  A )
6 elhf2g 29801 . . . . 5  |-  ( A  e. Hf  ->  ( A  e. Hf 
<->  ( rank `  A
)  e.  om )
)
76ibi 241 . . . 4  |-  ( A  e. Hf  ->  ( rank `  A )  e.  om )
8 rankon 8211 . . . . . . 7  |-  ( rank `  U. A )  e.  On
91, 8eqeltrri 2526 . . . . . 6  |-  U. ( rank `  A )  e.  On
109onordi 4968 . . . . 5  |-  Ord  U. ( rank `  A )
11 ordom 6690 . . . . 5  |-  Ord  om
12 ordtr2 4908 . . . . 5  |-  ( ( Ord  U. ( rank `  A )  /\  Ord  om )  ->  ( ( U. ( rank `  A
)  C_  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
om )  ->  U. ( rank `  A )  e. 
om ) )
1310, 11, 12mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( U. ( rank `  A
)  C_  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
om )  ->  U. ( rank `  A )  e. 
om )
145, 7, 13sylancr 663 . . 3  |-  ( A  e. Hf  ->  U. ( rank `  A )  e. 
om )
151, 14syl5eqel 2533 . 2  |-  ( A  e. Hf  ->  ( rank ` 
U. A )  e. 
om )
16 uniexg 6578 . . 3  |-  ( A  e. Hf  ->  U. A  e. 
_V )
17 elhf2g 29801 . . 3  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( U. A  e. Hf  <->  ( rank ` 
U. A )  e. 
om ) )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( A  e. Hf  ->  ( U. A  e. Hf  <->  ( rank `  U. A )  e.  om ) )
1915, 18mpbird 232 1  |-  ( A  e. Hf  ->  U. A  e. Hf  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1802   _Vcvv 3093    C_ wss 3458   U.cuni 4230   Tr wtr 4526   Ord word 4863   Oncon0 4864   ` cfv 5574   omcom 6681   rankcrnk 8179   Hf chf 29797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-reg 8016  ax-inf2 8056
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-r1 8180  df-rank 8181  df-hf 29798
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator