Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfuni Structured version   Unicode version

Theorem hfuni 28358
Description: The union of an HF set is itself hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfuni  |-  ( A  e. Hf  ->  U. A  e. Hf  )

Proof of Theorem hfuni
StepHypRef Expression
1 rankuni 8173 . . 3  |-  ( rank `  U. A )  = 
U. ( rank `  A
)
2 rankon 8105 . . . . . 6  |-  ( rank `  A )  e.  On
32ontrci 4924 . . . . 5  |-  Tr  ( rank `  A )
4 df-tr 4486 . . . . 5  |-  ( Tr  ( rank `  A
)  <->  U. ( rank `  A
)  C_  ( rank `  A ) )
53, 4mpbi 208 . . . 4  |-  U. ( rank `  A )  C_  ( rank `  A )
6 elhf2g 28350 . . . . 5  |-  ( A  e. Hf  ->  ( A  e. Hf 
<->  ( rank `  A
)  e.  om )
)
76ibi 241 . . . 4  |-  ( A  e. Hf  ->  ( rank `  A )  e.  om )
8 rankon 8105 . . . . . . 7  |-  ( rank `  U. A )  e.  On
91, 8eqeltrri 2536 . . . . . 6  |-  U. ( rank `  A )  e.  On
109onordi 4923 . . . . 5  |-  Ord  U. ( rank `  A )
11 ordom 6587 . . . . 5  |-  Ord  om
12 ordtr2 4863 . . . . 5  |-  ( ( Ord  U. ( rank `  A )  /\  Ord  om )  ->  ( ( U. ( rank `  A
)  C_  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
om )  ->  U. ( rank `  A )  e. 
om ) )
1310, 11, 12mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( U. ( rank `  A
)  C_  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
om )  ->  U. ( rank `  A )  e. 
om )
145, 7, 13sylancr 663 . . 3  |-  ( A  e. Hf  ->  U. ( rank `  A )  e. 
om )
151, 14syl5eqel 2543 . 2  |-  ( A  e. Hf  ->  ( rank ` 
U. A )  e. 
om )
16 uniexg 6479 . . 3  |-  ( A  e. Hf  ->  U. A  e. 
_V )
17 elhf2g 28350 . . 3  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( U. A  e. Hf  <->  ( rank ` 
U. A )  e. 
om ) )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( A  e. Hf  ->  ( U. A  e. Hf  <->  ( rank `  U. A )  e.  om ) )
1915, 18mpbird 232 1  |-  ( A  e. Hf  ->  U. A  e. Hf  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   _Vcvv 3070    C_ wss 3428   U.cuni 4191   Tr wtr 4485   Ord word 4818   Oncon0 4819   ` cfv 5518   omcom 6578   rankcrnk 8073   Hf chf 28346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-reg 7910  ax-inf2 7950
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-om 6579  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-r1 8074  df-rank 8075  df-hf 28347
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator