Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfuni Structured version   Unicode version

Theorem hfuni 29268
Description: The union of an HF set is itself hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfuni  |-  ( A  e. Hf  ->  U. A  e. Hf  )

Proof of Theorem hfuni
StepHypRef Expression
1 rankuni 8270 . . 3  |-  ( rank `  U. A )  = 
U. ( rank `  A
)
2 rankon 8202 . . . . . 6  |-  ( rank `  A )  e.  On
32ontrci 4976 . . . . 5  |-  Tr  ( rank `  A )
4 df-tr 4534 . . . . 5  |-  ( Tr  ( rank `  A
)  <->  U. ( rank `  A
)  C_  ( rank `  A ) )
53, 4mpbi 208 . . . 4  |-  U. ( rank `  A )  C_  ( rank `  A )
6 elhf2g 29260 . . . . 5  |-  ( A  e. Hf  ->  ( A  e. Hf 
<->  ( rank `  A
)  e.  om )
)
76ibi 241 . . . 4  |-  ( A  e. Hf  ->  ( rank `  A )  e.  om )
8 rankon 8202 . . . . . . 7  |-  ( rank `  U. A )  e.  On
91, 8eqeltrri 2545 . . . . . 6  |-  U. ( rank `  A )  e.  On
109onordi 4975 . . . . 5  |-  Ord  U. ( rank `  A )
11 ordom 6680 . . . . 5  |-  Ord  om
12 ordtr2 4915 . . . . 5  |-  ( ( Ord  U. ( rank `  A )  /\  Ord  om )  ->  ( ( U. ( rank `  A
)  C_  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
om )  ->  U. ( rank `  A )  e. 
om ) )
1310, 11, 12mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( U. ( rank `  A
)  C_  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
om )  ->  U. ( rank `  A )  e. 
om )
145, 7, 13sylancr 663 . . 3  |-  ( A  e. Hf  ->  U. ( rank `  A )  e. 
om )
151, 14syl5eqel 2552 . 2  |-  ( A  e. Hf  ->  ( rank ` 
U. A )  e. 
om )
16 uniexg 6572 . . 3  |-  ( A  e. Hf  ->  U. A  e. 
_V )
17 elhf2g 29260 . . 3  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( U. A  e. Hf  <->  ( rank ` 
U. A )  e. 
om ) )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( A  e. Hf  ->  ( U. A  e. Hf  <->  ( rank `  U. A )  e.  om ) )
1915, 18mpbird 232 1  |-  ( A  e. Hf  ->  U. A  e. Hf  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   U.cuni 4238   Tr wtr 4533   Ord word 4870   Oncon0 4871   ` cfv 5579   omcom 6671   rankcrnk 8170   Hf chf 29256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-reg 8007  ax-inf2 8047
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-r1 8171  df-rank 8172  df-hf 29257
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator