Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfpw Structured version   Unicode version

Theorem hfpw 29405
Description: The power class of an HF set is hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfpw  |-  ( A  e. Hf  ->  ~P A  e. Hf  )

Proof of Theorem hfpw
StepHypRef Expression
1 rankpwg 29389 . . 3  |-  ( A  e. Hf  ->  ( rank `  ~P A )  =  suc  ( rank `  A
) )
2 elhf2g 29396 . . . . 5  |-  ( A  e. Hf  ->  ( A  e. Hf 
<->  ( rank `  A
)  e.  om )
)
32ibi 241 . . . 4  |-  ( A  e. Hf  ->  ( rank `  A )  e.  om )
4 peano2 6691 . . . 4  |-  ( (
rank `  A )  e.  om  ->  suc  ( rank `  A )  e.  om )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( A  e. Hf  ->  suc  ( rank `  A )  e.  om )
61, 5eqeltrd 2548 . 2  |-  ( A  e. Hf  ->  ( rank `  ~P A )  e. 
om )
7 pwexg 4624 . . 3  |-  ( A  e. Hf  ->  ~P A  e.  _V )
8 elhf2g 29396 . . 3  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  e. Hf  <->  ( rank `  ~P A )  e. 
om ) )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( A  e. Hf  ->  ( ~P A  e. Hf  <->  ( rank `  ~P A )  e.  om ) )
106, 9mpbird 232 1  |-  ( A  e. Hf  ->  ~P A  e. Hf  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   ~Pcpw 4003   suc csuc 4873   ` cfv 5579   omcom 6671   rankcrnk 8170   Hf chf 29392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-reg 8007  ax-inf2 8047
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-r1 8171  df-rank 8172  df-hf 29393
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator