Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfpw Structured version   Unicode version

Theorem hfpw 28245
Description: The power class of an HF set is hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfpw  |-  ( A  e. Hf  ->  ~P A  e. Hf  )

Proof of Theorem hfpw
StepHypRef Expression
1 rankpwg 28229 . . 3  |-  ( A  e. Hf  ->  ( rank `  ~P A )  =  suc  ( rank `  A
) )
2 elhf2g 28236 . . . . 5  |-  ( A  e. Hf  ->  ( A  e. Hf 
<->  ( rank `  A
)  e.  om )
)
32ibi 241 . . . 4  |-  ( A  e. Hf  ->  ( rank `  A )  e.  om )
4 peano2 6517 . . . 4  |-  ( (
rank `  A )  e.  om  ->  suc  ( rank `  A )  e.  om )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( A  e. Hf  ->  suc  ( rank `  A )  e.  om )
61, 5eqeltrd 2517 . 2  |-  ( A  e. Hf  ->  ( rank `  ~P A )  e. 
om )
7 pwexg 4497 . . 3  |-  ( A  e. Hf  ->  ~P A  e.  _V )
8 elhf2g 28236 . . 3  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  e. Hf  <->  ( rank `  ~P A )  e. 
om ) )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( A  e. Hf  ->  ( ~P A  e. Hf  <->  ( rank `  ~P A )  e.  om ) )
106, 9mpbird 232 1  |-  ( A  e. Hf  ->  ~P A  e. Hf  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1756   _Vcvv 2993   ~Pcpw 3881   suc csuc 4742   ` cfv 5439   omcom 6497   rankcrnk 7991   Hf chf 28232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-reg 7828  ax-inf2 7868
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-r1 7992  df-rank 7993  df-hf 28233
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator