Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfninf Structured version   Unicode version

Theorem hfninf 30071
Description:  om is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfninf  |-  -.  om  e. Hf

Proof of Theorem hfninf
StepHypRef Expression
1 elirr 8016 . . 3  |-  -.  om  e.  om
2 elhf2g 30061 . . . 4  |-  ( om  e. Hf  ->  ( om  e. Hf 
<->  ( rank `  om )  e.  om )
)
3 ordom 6682 . . . . . . 7  |-  Ord  om
4 elong 4875 . . . . . . 7  |-  ( om  e. Hf  ->  ( om  e.  On  <->  Ord  om ) )
53, 4mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( om  e. Hf  ->  om  e.  On )
6 r111 8184 . . . . . . . . 9  |-  R1 : On
-1-1-> _V
7 f1dm 5767 . . . . . . . . 9  |-  ( R1 : On -1-1-> _V  ->  dom 
R1  =  On )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  dom  R1  =  On
98eleq2i 2532 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  dom  R1  <->  om  e.  On )
10 rankonid 8238 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  dom  R1  <->  ( rank ` 
om )  =  om )
119, 10bitr3i 251 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  <->  ( rank ` 
om )  =  om )
125, 11sylib 196 . . . . 5  |-  ( om  e. Hf  ->  ( rank ` 
om )  =  om )
1312eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( om  e. Hf  ->  ( ( rank `  om )  e. 
om 
<->  om  e.  om )
)
142, 13bitrd 253 . . 3  |-  ( om  e. Hf  ->  ( om  e. Hf 
<->  om  e.  om )
)
151, 14mtbiri 301 . 2  |-  ( om  e. Hf  ->  -.  om  e. Hf  )
16 pm2.01 168 . 2  |-  ( ( om  e. Hf  ->  -.  om  e. Hf  )  ->  -.  om  e. Hf  )
1715, 16ax-mp 5 1  |-  -.  om  e. Hf
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   Ord word 4866   Oncon0 4867   dom cdm 4988   -1-1->wf1 5567   ` cfv 5570   omcom 6673   R1cr1 8171   rankcrnk 8172   Hf chf 30057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-reg 8010  ax-inf2 8049
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-r1 8173  df-rank 8174  df-hf 30058
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator