Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfninf Structured version   Unicode version

Theorem hfninf 28369
Description:  om is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfninf  |-  -.  om  e. Hf

Proof of Theorem hfninf
StepHypRef Expression
1 elirr 7925 . . 3  |-  -.  om  e.  om
2 elhf2g 28359 . . . 4  |-  ( om  e. Hf  ->  ( om  e. Hf 
<->  ( rank `  om )  e.  om )
)
3 ordom 6596 . . . . . . 7  |-  Ord  om
4 elong 4836 . . . . . . 7  |-  ( om  e. Hf  ->  ( om  e.  On  <->  Ord  om ) )
53, 4mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( om  e. Hf  ->  om  e.  On )
6 r111 8094 . . . . . . . . 9  |-  R1 : On
-1-1-> _V
7 f1dm 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( R1 : On -1-1-> _V  ->  dom 
R1  =  On )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  dom  R1  =  On
98eleq2i 2532 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  dom  R1  <->  om  e.  On )
10 rankonid 8148 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  dom  R1  <->  ( rank ` 
om )  =  om )
119, 10bitr3i 251 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  <->  ( rank ` 
om )  =  om )
125, 11sylib 196 . . . . 5  |-  ( om  e. Hf  ->  ( rank ` 
om )  =  om )
1312eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( om  e. Hf  ->  ( ( rank `  om )  e. 
om 
<->  om  e.  om )
)
142, 13bitrd 253 . . 3  |-  ( om  e. Hf  ->  ( om  e. Hf 
<->  om  e.  om )
)
151, 14mtbiri 303 . 2  |-  ( om  e. Hf  ->  -.  om  e. Hf  )
16 pm2.01 168 . 2  |-  ( ( om  e. Hf  ->  -.  om  e. Hf  )  ->  -.  om  e. Hf  )
1715, 16ax-mp 5 1  |-  -.  om  e. Hf
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   Ord word 4827   Oncon0 4828   dom cdm 4949   -1-1->wf1 5524   ` cfv 5527   omcom 6587   R1cr1 8081   rankcrnk 8082   Hf chf 28355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-reg 7919  ax-inf2 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-r1 8083  df-rank 8084  df-hf 28356
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator