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Theorem hfext 30068
Description: Extensionality for HF sets depends only on comparison of HF elements. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfext  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( A  =  B  <->  A. x  e. Hf  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem hfext
StepHypRef Expression
1 vex 3109 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
2 eldif 3471 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( _V  \ Hf  ) 
<->  ( x  e.  _V  /\ 
-.  x  e. Hf  )
)
31, 2mpbiran 916 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( _V  \ Hf  ) 
<->  -.  x  e. Hf  )
4 hfelhf 30066 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  A  e. Hf  )  ->  x  e. Hf  )
54stoic1b 1611 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Hf  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  -.  x  e.  A )
65adantlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  -.  x  e.  A
)
7 hfelhf 30066 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  B  e. Hf  )  ->  x  e. Hf  )
87stoic1b 1611 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e. Hf  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  -.  x  e.  B )
98adantll 711 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  -.  x  e.  B
)
106, 92falsed 349 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
113, 10sylan2b 473 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  /\  x  e.  ( _V  \ Hf  ) )  ->  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
1211ralrimiva 2868 . . 3  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  A. x  e.  ( _V  \ Hf  )
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
1312biantrud 505 . 2  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( A. x  e. Hf  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  ( A. x  e. Hf  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  A. x  e.  ( _V 
\ Hf  ) ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) ) )
14 dfcleq 2447 . . 3  |-  ( A  =  B  <->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
15 unvdif 3890 . . . . 5  |-  ( Hf  u.  ( _V  \ Hf  ) )  =  _V
1615raleqi 3055 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( Hf  u.  ( _V  \ Hf  ) ) ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  A. x  e.  _V  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) )
17 ralv 3120 . . . 4  |-  ( A. x  e.  _V  (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
1816, 17bitr2i 250 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  A. x  e.  ( Hf 
u.  ( _V  \ Hf  ) ) ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
19 ralunb 3671 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( Hf  u.  ( _V  \ Hf  ) ) ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  ( A. x  e. Hf  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  A. x  e.  ( _V  \ Hf  )
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
2014, 18, 193bitri 271 . 2  |-  ( A  =  B  <->  ( A. x  e. Hf  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  A. x  e.  ( _V  \ Hf  )
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
2113, 20syl6rbbr 264 1  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( A  =  B  <->  A. x  e. Hf  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1396    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    u. cun 3459   Hf chf 30057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-reg 8010  ax-inf2 8049
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-r1 8173  df-rank 8174  df-hf 30058
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