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Theorem hfext 28221
Description: Extensionality for HF sets depends only on comparison of HF elements. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfext  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( A  =  B  <->  A. x  e. Hf  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem hfext
StepHypRef Expression
1 vex 2975 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
2 eldif 3338 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( _V  \ Hf  ) 
<->  ( x  e.  _V  /\ 
-.  x  e. Hf  )
)
31, 2mpbiran 909 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( _V  \ Hf  ) 
<->  -.  x  e. Hf  )
4 hfelhf 28219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  A  e. Hf  )  ->  x  e. Hf  )
54expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( A  e. Hf  ->  ( x  e.  A  ->  x  e. Hf  ) )
65con3dimp 441 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Hf  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  -.  x  e.  A )
76adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  -.  x  e.  A
)
8 hfelhf 28219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  B  e. Hf  )  ->  x  e. Hf  )
98expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( B  e. Hf  ->  ( x  e.  B  ->  x  e. Hf  ) )
109con3dimp 441 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e. Hf  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  -.  x  e.  B )
1110adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  -.  x  e.  B
)
127, 112falsed 351 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
133, 12sylan2b 475 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  /\  x  e.  ( _V  \ Hf  ) )  ->  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
1413ralrimiva 2799 . . 3  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  A. x  e.  ( _V  \ Hf  )
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
1514biantrud 507 . 2  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( A. x  e. Hf  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  ( A. x  e. Hf  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  A. x  e.  ( _V 
\ Hf  ) ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) ) )
16 dfcleq 2437 . . 3  |-  ( A  =  B  <->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
17 unvdif 3753 . . . . 5  |-  ( Hf  u.  ( _V  \ Hf  ) )  =  _V
1817raleqi 2921 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( Hf  u.  ( _V  \ Hf  ) ) ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  A. x  e.  _V  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) )
19 ralv 2986 . . . 4  |-  ( A. x  e.  _V  (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
2018, 19bitr2i 250 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  A. x  e.  ( Hf 
u.  ( _V  \ Hf  ) ) ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
21 ralunb 3537 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( Hf  u.  ( _V  \ Hf  ) ) ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  ( A. x  e. Hf  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  A. x  e.  ( _V  \ Hf  )
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
2216, 20, 213bitri 271 . 2  |-  ( A  =  B  <->  ( A. x  e. Hf  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  A. x  e.  ( _V  \ Hf  )
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
2315, 22syl6rbbr 264 1  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( A  =  B  <->  A. x  e. Hf  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    u. cun 3326   Hf chf 28210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-reg 7807  ax-inf2 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-r1 7971  df-rank 7972  df-hf 28211
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