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Theorem hfext 29414
Description: Extensionality for HF sets depends only on comparison of HF elements. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfext  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( A  =  B  <->  A. x  e. Hf  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem hfext
StepHypRef Expression
1 vex 3116 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
2 eldif 3486 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( _V  \ Hf  ) 
<->  ( x  e.  _V  /\ 
-.  x  e. Hf  )
)
31, 2mpbiran 916 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( _V  \ Hf  ) 
<->  -.  x  e. Hf  )
4 hfelhf 29412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  A  e. Hf  )  ->  x  e. Hf  )
54expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( A  e. Hf  ->  ( x  e.  A  ->  x  e. Hf  ) )
65con3dimp 441 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Hf  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  -.  x  e.  A )
76adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  -.  x  e.  A
)
8 hfelhf 29412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  B  e. Hf  )  ->  x  e. Hf  )
98expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( B  e. Hf  ->  ( x  e.  B  ->  x  e. Hf  ) )
109con3dimp 441 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e. Hf  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  -.  x  e.  B )
1110adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  -.  x  e.  B
)
127, 112falsed 351 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
133, 12sylan2b 475 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  /\  x  e.  ( _V  \ Hf  ) )  ->  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
1413ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  A. x  e.  ( _V  \ Hf  )
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
1514biantrud 507 . 2  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( A. x  e. Hf  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  ( A. x  e. Hf  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  A. x  e.  ( _V 
\ Hf  ) ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) ) )
16 dfcleq 2460 . . 3  |-  ( A  =  B  <->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
17 unvdif 3901 . . . . 5  |-  ( Hf  u.  ( _V  \ Hf  ) )  =  _V
1817raleqi 3062 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( Hf  u.  ( _V  \ Hf  ) ) ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  A. x  e.  _V  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) )
19 ralv 3127 . . . 4  |-  ( A. x  e.  _V  (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
2018, 19bitr2i 250 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  A. x  e.  ( Hf 
u.  ( _V  \ Hf  ) ) ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
21 ralunb 3685 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( Hf  u.  ( _V  \ Hf  ) ) ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  ( A. x  e. Hf  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  A. x  e.  ( _V  \ Hf  )
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
2216, 20, 213bitri 271 . 2  |-  ( A  =  B  <->  ( A. x  e. Hf  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  A. x  e.  ( _V  \ Hf  )
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
2315, 22syl6rbbr 264 1  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( A  =  B  <->  A. x  e. Hf  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474   Hf chf 29403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-reg 8014  ax-inf2 8054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-r1 8178  df-rank 8179  df-hf 29404
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