HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  helch Unicode version

Theorem helch 22699
Description: The unit Hilbert lattice element (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 6-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
helch  |-  ~H  e.  CH

Proof of Theorem helch
Dummy variables  x  y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3327 . . . 4  |-  ~H  C_  ~H
2 ax-hv0cl 22459 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
31, 2pm3.2i 442 . . 3  |-  ( ~H  C_  ~H  /\  0h  e.  ~H )
4 hvaddcl 22468 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  ~H )
54rgen2a 2732 . . . 4  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  +h  y )  e.  ~H
6 hvmulcl 22469 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
76rgen2 2762 . . . 4  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  ( x  .h  y )  e.  ~H
85, 7pm3.2i 442 . . 3  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  +h  y )  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  (
x  .h  y )  e.  ~H )
9 issh2 22664 . . 3  |-  ( ~H  e.  SH  <->  ( ( ~H  C_  ~H  /\  0h  e.  ~H )  /\  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  +h  y )  e.  ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  ( x  .h  y )  e.  ~H ) ) )
103, 8, 9mpbir2an 887 . 2  |-  ~H  e.  SH
11 vex 2919 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
1211hlimveci 22645 . . . 4  |-  ( f 
~~>v  x  ->  x  e.  ~H )
1312adantl 453 . . 3  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
1413gen2 1553 . 2  |-  A. f A. x ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
15 isch2 22679 . 2  |-  ( ~H  e.  CH  <->  ( ~H  e.  SH  /\  A. f A. x ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
) )
1610, 14, 15mpbir2an 887 1  |-  ~H  e.  CH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1546    e. wcel 1721   A.wral 2666    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   -->wf 5409  (class class class)co 6040   CCcc 8944   NNcn 9956   ~Hchil 22375    +h cva 22376    .h csm 22377   0hc0v 22380    ~~>v chli 22383   SHcsh 22384   CHcch 22385
This theorem is referenced by:  helsh  22700  pjhth  22848  ococ  22861  ococin  22863  pjoc1  22889  chj1i  22944  chincl  22954  chsscon3  22955  chjo  22970  chdmm1  22980  chjass  22988  hne0  23002  pjoml3  23067  osum  23100  spansnj  23102  spansncv  23108  pjch1  23125  pjo  23126  pjsslem  23134  pjcjt2  23147  pjch  23149  pjopyth  23175  pjnorm  23179  pjpyth  23180  pjnel  23181  ho0val  23206  dfiop2  23209  hoid1i  23245  hoid1ri  23246  pjtoi  23635  pjoci  23636  pjclem3  23653  hst0  23689  st0  23705  strlem3a  23708  hstrlem3a  23716  stcltr2i  23731  cvmd  23792  chrelat2  23826  cvexch  23830  mdsym  23868
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hv0cl 22459  ax-hfvmul 22461
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-map 6979  df-nn 9957  df-hlim 22428  df-sh 22662  df-ch 22677
  Copyright terms: Public domain W3C validator