Theorem heiborlem9 15963

Description: Lemma for heibor 15997. Use compactness to show that if the elements of F have empty intersection, then the elements of U cover X, so we can take a finite subcover.

Hypotheses

Ref	Expression
heibor.1	|- J = (Open` M)
heibor.2	|- X = dom dom M
heibor.3	|- M e. Met
heibor.4	|- C e. (Cau` M)
heibor.5	|- J e. Comp
heibor.6	|- F = {<.n, s>. | (n e. NN /\ s = ((cls` J)` (C"(ZZ>=` n))))}
heibor.7	|- U = {<.l, d>. | (l e. NN /\ d = (X \ (F` l)))}

Assertion

Ref	Expression
heiborlem9	|- (|^|(F"NN) = (/) -> E.z e. (~P(U"NN) i^i Fin)U.J = U.z)

Distinct variable groups:   M,d,l,n,s,z   J,d,l,n,s,z   C,d,l,n,s,z   X,d,l,n,s,z   z,U   F,l,d,z

Proof of Theorem heiborlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		heibor.1	. . . 4 |- J = (Open` M)
2		heibor.2	. . . 4 |- X = dom dom M
3		heibor.3	. . . 4 |- M e. Met
4		heibor.4	. . . 4 |- C e. (Cau` M)
5		heibor.5	. . . 4 |- J e. Comp
6		heibor.6	. . . 4 |- F = {<.n, s>. | (n e. NN /\ s = ((cls` J)` (C"(ZZ>=` n))))}
7		heibor.7	. . . 4 |- U = {<.l, d>. | (l e. NN /\ d = (X \ (F` l)))}
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	heiborlem7 15961	. . 3 |- (U"NN) e. ~PJ
9	8	a1i 8	. 2 |- (|^|(F"NN) = (/) -> (U"NN) e. ~PJ)
10		difeq2 2719	. . . . 5 |- (|^|(F"NN) = (/) -> (X \ |^|(F"NN)) = (X \ (/)))
11		ssid 2634	. . . . . 6 |- NN C_ NN
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	heiborlem8 15962	. . . . . 6 |- (NN C_ NN -> U.(U"NN) = (X \ |^|(F"NN)))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . 5 |- U.(U"NN) = (X \ |^|(F"NN))
14	10, 13	syl5eq 1940	. . . 4 |- (|^|(F"NN) = (/) -> U.(U"NN) = (X \ (/)))
15		dif0 2943	. . . 4 |- (X \ (/)) = X
16	14, 15	syl6eq 1944	. . 3 |- (|^|(F"NN) = (/) -> U.(U"NN) = X)
17	2, 1	uniopn2 9138	. . . 4 |- (M e. Met -> U.J = X)
18	3, 17	ax-mp 7	. . 3 |- U.J = X
19	16, 18	syl6reqr 1947	. 2 |- (|^|(F"NN) = (/) -> U.J = U.(U"NN))
20		unieq 3185	. . . . 5 |- (y = (U"NN) -> U.y = U.(U"NN))
21	20	eqeq2d 1895	. . . 4 |- (y = (U"NN) -> (U.J = U.y <-> U.J = U.(U"NN)))
22		pweq 3036	. . . . . 6 |- (y = (U"NN) -> ~Py = ~P(U"NN))
23	22	ineq1d 2795	. . . . 5 |- (y = (U"NN) -> (~Py i^i Fin) = (~P(U"NN) i^i Fin))
24	23	rexeqdv 2270	. . . 4 |- (y = (U"NN) -> (E.z e. (~Py i^i Fin)U.J = U.z <-> E.z e. (~P(U"NN) i^i Fin)U.J = U.z))
25	21, 24	imbi12d 688	. . 3 |- (y = (U"NN) -> ((U.J = U.y -> E.z e. (~Py i^i Fin)U.J = U.z) <-> (U.J = U.(U"NN) -> E.z e. (~P(U"NN) i^i Fin)U.J = U.z)))
26		iscomp 10330	. . . . 5 |- (J e. Comp <-> (J e. Top /\ A.y e. ~P J(U.J = U.y -> E.z e. (~Py i^i Fin)U.J = U.z)))
27	5, 26	mpbi 206	. . . 4 |- (J e. Top /\ A.y e. ~P J(U.J = U.y -> E.z e. (~Py i^i Fin)U.J = U.z))
28	27	simpri 351	. . 3 |- A.y e. ~P J(U.J = U.y -> E.z e. (~Py i^i Fin)U.J = U.z)
29	25, 28	vtoclri 2360	. 2 |- ((U"NN) e. ~PJ -> (U.J = U.(U"NN) -> E.z e. (~P(U"NN) i^i Fin)U.J = U.z))
30	9, 19, 29	sylc 83	1 |- (|^|(F"NN) = (/) -> E.z e. (~P(U"NN) i^i Fin)U.J = U.z)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   \ cdif 2590   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177  |^|cint 3214  {copab 3395  dom cdm 3986  "cima 3989  ` cfv 3998  Fincfn 5426  NNcn 6449  ZZ>=cuz 7586  Topctop 8857  clsccl 8938  Metcme 9066  Opencopn 9069  Caucca 9198  Compccomp 10328

This theorem is referenced by:  heiborlem11 15965

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-top 8861  df-cld 8939  df-cls 8941  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-cau 9201  df-comp 10329

Copyright terms: Public domain