Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem8 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem heiborlem8 32214
 Description: Lemma for heibor 32217. The previous lemmas establish that the sequence is Cauchy, so using completeness we now consider the convergent point . By assumption, is an open cover, so is an element of some , and some ball centered at is contained in . But the sequence contains arbitrarily small balls close to , so some element of the sequence is contained in . And finally we arrive at a contradiction, because is a finite subcover of that covers , yet . For convenience, we write this contradiction as where is all the accumulated hypotheses and is anything at all. (Contributed by Jeff Madsen, 22-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1
heibor.3
heibor.4
heibor.5
heibor.6
heibor.7
heibor.8
heibor.9
heibor.10
heibor.11
heibor.12
heibor.13
heibor.14
heibor.15
heibor.16
heibor.17
Assertion
Ref Expression
heiborlem8
Distinct variable groups:   ,,,,   ,   ,   ,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,   ,,,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,,,)   (,,,,)   (,)   (,)   (,)   ()   (,,)   (,,,,,)   (,,)   (,)   (,,,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem heiborlem8
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.6 . . . 4
2 cmetmet 22334 . . . 4
3 metxmet 21427 . . . 4
41, 2, 33syl 18 . . 3
5 heibor.13 . . . 4
6 heibor.16 . . . 4
75, 6sseldd 3419 . . 3
8 heibor.15 . . 3
9 heibor.1 . . . 4
109mopni2 21586 . . 3
114, 7, 8, 10syl3anc 1292 . 2
12 rphalfcl 11350 . . . . . 6
13 breq2 4399 . . . . . . . 8
1413rexbidv 2892 . . . . . . 7
15 heibor.3 . . . . . . . 8
16 heibor.4 . . . . . . . 8
17 heibor.5 . . . . . . . 8
18 heibor.7 . . . . . . . 8
19 heibor.8 . . . . . . . 8
20 heibor.9 . . . . . . . 8
21 heibor.10 . . . . . . . 8
22 heibor.11 . . . . . . . 8
23 heibor.12 . . . . . . . 8
249, 15, 16, 17, 1, 18, 19, 20, 21, 22, 23heiborlem7 32213 . . . . . . 7
2514, 24vtoclri 3110 . . . . . 6
2612, 25syl 17 . . . . 5
2726adantl 473 . . . 4
28 nnnn0 10900 . . . . . . 7
299, 15, 16, 17, 1, 18, 19, 20, 21, 22heiborlem4 32210 . . . . . . . 8
30 fvex 5889 . . . . . . . . . 10
31 vex 3034 . . . . . . . . . 10
329, 15, 16, 30, 31heiborlem2 32208 . . . . . . . . 9
3332simp3bi 1047 . . . . . . . 8
3429, 33syl 17 . . . . . . 7
3528, 34sylan2 482 . . . . . 6
3635ad2ant2r 761 . . . . 5
374ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
389, 15, 16, 17, 1, 18, 19, 20, 21, 22, 23heiborlem5 32211 . . . . . . . . . . . . 13
3938ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . 12
4039ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . 11
41 xp1st 6842 . . . . . . . . . . 11
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10
43 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . . . 15
44 nnexpcl 12323 . . . . . . . . . . . . . . 15
4543, 28, 44sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14
4645nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . 13
4746rpreccld 11374 . . . . . . . . . . . 12
4847ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11
4948rpxrd 11365 . . . . . . . . . 10
50 xp2nd 6843 . . . . . . . . . . . 12
5140, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11
5251rpxrd 11365 . . . . . . . . . 10
53 1le3 10849 . . . . . . . . . . . . . 14
54 elrp 11327 . . . . . . . . . . . . . . 15
55 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . . . 16
56 3re 10705 . . . . . . . . . . . . . . . 16
57 lediv1 10492 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5855, 56, 57mp3an12 1380 . . . . . . . . . . . . . . 15
5954, 58sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . 14
6053, 59mpbii 216 . . . . . . . . . . . . 13
6146, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12
6261ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11
63 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16
64 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6663, 65opeq12d 4166 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . . 15
6866, 23, 67fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . 14
6968fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
70 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . 14
7130, 70op2nd 6821 . . . . . . . . . . . . 13
7269, 71syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12
7372ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11
7462, 73breqtrrd 4422 . . . . . . . . . 10
75 ssbl 21516 . . . . . . . . . 10
7637, 42, 49, 52, 74, 75syl221anc 1303 . . . . . . . . 9
7728ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11
78 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . 12
79 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14
8079oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13
8180oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12
82 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12
8378, 81, 17, 82ovmpt2 6451 . . . . . . . . . . 11
8442, 77, 83syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
8568fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
8630, 70op1st 6820 . . . . . . . . . . . . 13
8785, 86syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12
8887ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11
8988oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
9084, 89eqtr3d 2507 . . . . . . . . 9
91 1st2nd2 6849 . . . . . . . . . . . 12
9240, 91syl 17 . . . . . . . . . . 11
9392fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
94 df-ov 6311 . . . . . . . . . 10
9593, 94syl6reqr 2524 . . . . . . . . 9
9676, 90, 953sstr3d 3460 . . . . . . . 8
979mopntop 21533 . . . . . . . . . . 11
9837, 97syl 17 . . . . . . . . . 10
99 blssm 21511 . . . . . . . . . . . 12
10037, 42, 52, 99syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
1019mopnuni 21534 . . . . . . . . . . . 12
10237, 101syl 17 . . . . . . . . . . 11
103100, 95, 1023sstr3d 3460 . . . . . . . . . 10
104 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
105104sscls 20148 . . . . . . . . . 10
10698, 103, 105syl2anc 673 . . . . . . . . 9
10795fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
10812ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . 13
109108rpxrd 11365 . . . . . . . . . . . 12
110 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12
1119blsscls 21600 . . . . . . . . . . . 12
11237, 42, 52, 109, 110, 111syl23anc 1299 . . . . . . . . . . 11
113107, 112eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . 10
114 rpre 11331 . . . . . . . . . . . 12
115114ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11
116 heibor.17 . . . . . . . . . . . . . . 15
1179, 15, 16, 17, 1, 18, 19, 20, 21, 22, 23heiborlem6 32212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1184, 38, 117, 9caublcls 22356 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1191183expia 1233 . . . . . . . . . . . . . . 15
120116, 119mpdan 681 . . . . . . . . . . . . . 14
121120imp 436 . . . . . . . . . . . . 13
122121ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . 12
123113, 122sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11
124 blhalf 21498 . . . . . . . . . . 11
12537, 42, 115, 123, 124syl22anc 1293 . . . . . . . . . 10
126113, 125sstrd 3428 . . . . . . . . 9
127106, 126sstrd 3428 . . . . . . . 8
12896, 127sstrd 3428 . . . . . . 7
129 sstr2 3425 . . . . . . 7
130128, 129syl 17 . . . . . 6
131 unisng 4206 . . . . . . . . . . . . 13
1326, 131syl 17 . . . . . . . . . . . 12
133132sseq2d 3446 . . . . . . . . . . 11
134133biimpar 493 . . . . . . . . . 10
1356snssd 4108 . . . . . . . . . . . . 13
136 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . 14
137136elpw 3948 . . . . . . . . . . . . 13
138135, 137sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12
139 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . 13
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
141138, 140elind 3609 . . . . . . . . . . 11
142 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . 13
143142sseq2d 3446 . . . . . . . . . . . 12
144143rspcev 3136 . . . . . . . . . . 11
145141, 144sylan 479 . . . . . . . . . 10
146134, 145syldan 478 . . . . . . . . 9
147 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11
148 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . . 13
149148rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . 12
150149notbid 301 . . . . . . . . . . 11
151147, 150, 15elab2 3176 . . . . . . . . . 10
152151con2bii 339 . . . . . . . . 9
153146, 152sylib 201 . . . . . . . 8
154153ex 441 . . . . . . 7
155154ad2antrr 740 . . . . . 6
156130, 155syld 44 . . . . 5
15736, 156mt2d 121 . . . 4
15827, 157rexlimddv 2875 . . 3
159158nrexdv 2842 . 2
16011, 159pm2.21dd 179 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  cab 2457  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  cif 3872  cpw 3942  csn 3959  cop 3965  cuni 4190  ciun 4269   class class class wbr 4395  copab 4453   cmpt 4454   cxp 4837   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  c1st 6810  c2nd 6811  cfn 7587  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  c3 10682  cn0 10893  crp 11325   cseq 12251  cexp 12310  cxmt 19032  cme 19033  cbl 19034  cmopn 19037  ctop 19994  ccl 20110  clm 20319  cms 22302 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-lm 20322  df-cmet 22305 This theorem is referenced by:  heiborlem9  32215
 Copyright terms: Public domain W3C validator