Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem5 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem heiborlem5 32140
Description: Lemma for heibor 32146. The function  M is a set of point-and-radius pairs suitable for application to caubl 22270. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
heibor.3  |-  K  =  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v }
heibor.4  |-  G  =  { <. y ,  n >.  |  ( n  e. 
NN0  /\  y  e.  ( F `  n )  /\  ( y B n )  e.  K
) }
heibor.5  |-  B  =  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
heibor.6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
heibor.7  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )
)
heibor.8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( F `  n
) ( y B n ) )
heibor.9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  G  ( ( T `  x ) G ( ( 2nd `  x
)  +  1 )  /\  ( ( B `
 x )  i^i  ( ( T `  x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  e.  K
) )
heibor.10  |-  ( ph  ->  C G 0 )
heibor.11  |-  S  =  seq 0 ( T ,  ( m  e. 
NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  - 
1 ) ) ) )
heibor.12  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( S `  n
) ,  ( 3  /  ( 2 ^ n ) ) >.
)
Assertion
Ref Expression
heiborlem5  |-  ( ph  ->  M : NN --> ( X  X.  RR+ ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, u, F    x, G    ph, x    m, n, u, v, x, y, z, D    m, M, u, x, y, z    T, m, n, x, y, z    B, n, u, v, y   
m, J, n, u, v, x, y, z    U, n, u, v, x, y, z    S, m, n, u, v, x, y, z    m, X, n, u, v, x, y, z    C, m, n, u, v, y   
n, K, x, y, z    x, B
Allowed substitution hints:    ph( y, z, v, u, m, n)    B( z, m)    C( x, z)    T( v, u)    U( m)    F( z, v, m)    G( y, z, v, u, m, n)    K( v, u, m)    M( v, n)

Proof of Theorem heiborlem5
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10873 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
2 inss1 3651 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P X  i^i  Fin )  C_ 
~P X
3 heibor.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )
)
43ffvelrnda 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )
52, 4sseldi 3429 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  ~P X )
65elpwid 3960 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  C_  X
)
7 heibor.1 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
8 heibor.3 . . . . . . . . 9  |-  K  =  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v }
9 heibor.4 . . . . . . . . 9  |-  G  =  { <. y ,  n >.  |  ( n  e. 
NN0  /\  y  e.  ( F `  n )  /\  ( y B n )  e.  K
) }
10 heibor.5 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
11 heibor.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
12 heibor.8 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( F `  n
) ( y B n ) )
13 heibor.9 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  G  ( ( T `  x ) G ( ( 2nd `  x
)  +  1 )  /\  ( ( B `
 x )  i^i  ( ( T `  x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  e.  K
) )
14 heibor.10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C G 0 )
15 heibor.11 . . . . . . . . 9  |-  S  =  seq 0 ( T ,  ( m  e. 
NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  - 
1 ) ) ) )
167, 8, 9, 10, 11, 3, 12, 13, 14, 15heiborlem4 32139 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  k ) G k )
17 fvex 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( S `
 k )  e. 
_V
18 vex 3047 . . . . . . . . . 10  |-  k  e. 
_V
197, 8, 9, 17, 18heiborlem2 32137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S `  k ) G k  <->  ( k  e.  NN0  /\  ( S `
 k )  e.  ( F `  k
)  /\  ( ( S `  k ) B k )  e.  K ) )
2019simp2bi 1023 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  k ) G k  ->  ( S `  k )  e.  ( F `  k
) )
2116, 20syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  k )  e.  ( F `  k ) )
226, 21sseldd 3432 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  k )  e.  X
)
231, 22sylan2 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  e.  X )
2423ralrimiva 2801 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  e.  X )
25 fveq2 5863 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( S `  k )  =  ( S `  n ) )
2625eleq1d 2512 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( S `  k
)  e.  X  <->  ( S `  n )  e.  X
) )
2726cbvralv 3018 . . . 4  |-  ( A. k  e.  NN  ( S `  k )  e.  X  <->  A. n  e.  NN  ( S `  n )  e.  X )
2824, 27sylib 200 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( S `  n )  e.  X )
29 3re 10680 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
30 3pos 10700 . . . . . . 7  |-  0  <  3
3129, 30elrpii 11302 . . . . . 6  |-  3  e.  RR+
32 2nn 10764 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
33 nnnn0 10873 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
34 nnexpcl 12282 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
3532, 33, 34sylancr 668 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ n )  e.  NN )
3635nnrpd 11336 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ n )  e.  RR+ )
37 rpdivcl 11322 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR+  /\  (
2 ^ n )  e.  RR+ )  ->  (
3  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
3831, 36, 37sylancr 668 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
3  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
39 opelxpi 4865 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  n
)  e.  X  /\  ( 3  /  (
2 ^ n ) )  e.  RR+ )  -> 
<. ( S `  n
) ,  ( 3  /  ( 2 ^ n ) ) >.  e.  ( X  X.  RR+ ) )
4039expcom 437 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+  ->  ( ( S `  n )  e.  X  ->  <. ( S `  n ) ,  ( 3  / 
( 2 ^ n
) ) >.  e.  ( X  X.  RR+ )
) )
4138, 40syl 17 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( S `  n
)  e.  X  ->  <. ( S `  n
) ,  ( 3  /  ( 2 ^ n ) ) >.  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )
4241ralimia 2778 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  ( S `  n )  e.  X  ->  A. n  e.  NN  <. ( S `  n ) ,  ( 3  /  ( 2 ^ n ) )
>.  e.  ( X  X.  RR+ ) )
4328, 42syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  <.
( S `  n
) ,  ( 3  /  ( 2 ^ n ) ) >.  e.  ( X  X.  RR+ ) )
44 heibor.12 . . 3  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( S `  n
) ,  ( 3  /  ( 2 ^ n ) ) >.
)
4544fmpt 6041 . 2  |-  ( A. n  e.  NN  <. ( S `  n ) ,  ( 3  / 
( 2 ^ n
) ) >.  e.  ( X  X.  RR+ )  <->  M : NN --> ( X  X.  RR+ ) )
4643, 45sylib 200 1  |-  ( ph  ->  M : NN --> ( X  X.  RR+ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   {cab 2436   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3402    C_ wss 3403   ifcif 3880   ~Pcpw 3950   <.cop 3973   U.cuni 4197   U_ciun 4277   class class class wbr 4401   {copab 4459    |-> cmpt 4460    X. cxp 4831   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    |-> cmpt2 6290   2ndc2nd 6789   Fincfn 7566   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    - cmin 9857    / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   3c3 10657   NN0cn0 10866   RR+crp 11299    seqcseq 12210   ^cexp 12269   ballcbl 18950   MetOpencmopn 18953   CMetcms 22217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-seq 12211  df-exp 12270
This theorem is referenced by:  heiborlem8  32143  heiborlem9  32144
  Copyright terms: Public domain W3C validator