Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem5 Structured version   Unicode version

Theorem heiborlem5 31606
Description: Lemma for heibor 31612. The function  M is a set of point-and-radius pairs suitable for application to caubl 22040. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
heibor.3  |-  K  =  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v }
heibor.4  |-  G  =  { <. y ,  n >.  |  ( n  e. 
NN0  /\  y  e.  ( F `  n )  /\  ( y B n )  e.  K
) }
heibor.5  |-  B  =  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
heibor.6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
heibor.7  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )
)
heibor.8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( F `  n
) ( y B n ) )
heibor.9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  G  ( ( T `  x ) G ( ( 2nd `  x
)  +  1 )  /\  ( ( B `
 x )  i^i  ( ( T `  x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  e.  K
) )
heibor.10  |-  ( ph  ->  C G 0 )
heibor.11  |-  S  =  seq 0 ( T ,  ( m  e. 
NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  - 
1 ) ) ) )
heibor.12  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( S `  n
) ,  ( 3  /  ( 2 ^ n ) ) >.
)
Assertion
Ref Expression
heiborlem5  |-  ( ph  ->  M : NN --> ( X  X.  RR+ ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, u, F    x, G    ph, x    m, n, u, v, x, y, z, D    m, M, u, x, y, z    T, m, n, x, y, z    B, n, u, v, y   
m, J, n, u, v, x, y, z    U, n, u, v, x, y, z    S, m, n, u, v, x, y, z    m, X, n, u, v, x, y, z    C, m, n, u, v, y   
n, K, x, y, z    x, B
Allowed substitution hints:    ph( y, z, v, u, m, n)    B( z, m)    C( x, z)    T( v, u)    U( m)    F( z, v, m)    G( y, z, v, u, m, n)    K( v, u, m)    M( v, n)

Proof of Theorem heiborlem5
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10845 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
2 inss1 3661 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P X  i^i  Fin )  C_ 
~P X
3 heibor.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )
)
43ffvelrnda 6011 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )
52, 4sseldi 3442 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  ~P X )
65elpwid 3967 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  C_  X
)
7 heibor.1 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
8 heibor.3 . . . . . . . . 9  |-  K  =  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v }
9 heibor.4 . . . . . . . . 9  |-  G  =  { <. y ,  n >.  |  ( n  e. 
NN0  /\  y  e.  ( F `  n )  /\  ( y B n )  e.  K
) }
10 heibor.5 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
11 heibor.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
12 heibor.8 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( F `  n
) ( y B n ) )
13 heibor.9 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  G  ( ( T `  x ) G ( ( 2nd `  x
)  +  1 )  /\  ( ( B `
 x )  i^i  ( ( T `  x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  e.  K
) )
14 heibor.10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C G 0 )
15 heibor.11 . . . . . . . . 9  |-  S  =  seq 0 ( T ,  ( m  e. 
NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  - 
1 ) ) ) )
167, 8, 9, 10, 11, 3, 12, 13, 14, 15heiborlem4 31605 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  k ) G k )
17 fvex 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( S `
 k )  e. 
_V
18 vex 3064 . . . . . . . . . 10  |-  k  e. 
_V
197, 8, 9, 17, 18heiborlem2 31603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S `  k ) G k  <->  ( k  e.  NN0  /\  ( S `
 k )  e.  ( F `  k
)  /\  ( ( S `  k ) B k )  e.  K ) )
2019simp2bi 1015 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  k ) G k  ->  ( S `  k )  e.  ( F `  k
) )
2116, 20syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  k )  e.  ( F `  k ) )
226, 21sseldd 3445 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  k )  e.  X
)
231, 22sylan2 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  e.  X )
2423ralrimiva 2820 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  e.  X )
25 fveq2 5851 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( S `  k )  =  ( S `  n ) )
2625eleq1d 2473 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( S `  k
)  e.  X  <->  ( S `  n )  e.  X
) )
2726cbvralv 3036 . . . 4  |-  ( A. k  e.  NN  ( S `  k )  e.  X  <->  A. n  e.  NN  ( S `  n )  e.  X )
2824, 27sylib 198 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( S `  n )  e.  X )
29 3re 10652 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
30 3pos 10672 . . . . . . 7  |-  0  <  3
3129, 30elrpii 11270 . . . . . 6  |-  3  e.  RR+
32 2nn 10736 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
33 nnnn0 10845 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
34 nnexpcl 12225 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
3532, 33, 34sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ n )  e.  NN )
3635nnrpd 11304 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ n )  e.  RR+ )
37 rpdivcl 11290 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR+  /\  (
2 ^ n )  e.  RR+ )  ->  (
3  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
3831, 36, 37sylancr 663 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
3  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
39 opelxpi 4857 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  n
)  e.  X  /\  ( 3  /  (
2 ^ n ) )  e.  RR+ )  -> 
<. ( S `  n
) ,  ( 3  /  ( 2 ^ n ) ) >.  e.  ( X  X.  RR+ ) )
4039expcom 435 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+  ->  ( ( S `  n )  e.  X  ->  <. ( S `  n ) ,  ( 3  / 
( 2 ^ n
) ) >.  e.  ( X  X.  RR+ )
) )
4138, 40syl 17 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( S `  n
)  e.  X  ->  <. ( S `  n
) ,  ( 3  /  ( 2 ^ n ) ) >.  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )
4241ralimia 2797 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  ( S `  n )  e.  X  ->  A. n  e.  NN  <. ( S `  n ) ,  ( 3  /  ( 2 ^ n ) )
>.  e.  ( X  X.  RR+ ) )
4328, 42syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  <.
( S `  n
) ,  ( 3  /  ( 2 ^ n ) ) >.  e.  ( X  X.  RR+ ) )
44 heibor.12 . . 3  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( S `  n
) ,  ( 3  /  ( 2 ^ n ) ) >.
)
4544fmpt 6032 . 2  |-  ( A. n  e.  NN  <. ( S `  n ) ,  ( 3  / 
( 2 ^ n
) ) >.  e.  ( X  X.  RR+ )  <->  M : NN --> ( X  X.  RR+ ) )
4643, 45sylib 198 1  |-  ( ph  ->  M : NN --> ( X  X.  RR+ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   {cab 2389   A.wral 2756   E.wrex 2757    i^i cin 3415    C_ wss 3416   ifcif 3887   ~Pcpw 3957   <.cop 3980   U.cuni 4193   U_ciun 4273   class class class wbr 4397   {copab 4454    |-> cmpt 4455    X. cxp 4823   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    |-> cmpt2 6282   2ndc2nd 6785   Fincfn 7556   0cc0 9524   1c1 9525    + caddc 9527    - cmin 9843    / cdiv 10249   NNcn 10578   2c2 10628   3c3 10629   NN0cn0 10838   RR+crp 11267    seqcseq 12153   ^cexp 12212   ballcbl 18727   MetOpencmopn 18730   CMetcms 21987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-rp 11268  df-seq 12154  df-exp 12213
This theorem is referenced by:  heiborlem8  31609  heiborlem9  31610
  Copyright terms: Public domain W3C validator