Theorem heiborlem10 28722

Description: Lemma for heibor 28723. The last remaining piece of the proof is to find an element C such that C G 0, i.e. C is an element of ( F ` 0 ) that has no finite subcover, which is true by heiborlem1 28713, since ( F ` 0 ) is a finite cover of X, which has no finite subcover. Thus, the rest of the proof follows to a contradiction, and thus there must be a finite subcover of U that covers X, i.e. X is compact. (Contributed by Jeff Madsen, 22-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
heibor.1	|- J = ( MetOpen ` D )
heibor.3	|- K = { u | -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v }
heibor.4	|- G = { <. y , n >. | ( n e. NN0 /\ y e. ( F ` n ) /\ ( y B n ) e. K ) }
heibor.5	|- B = ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) )
heibor.6	|- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
heibor.7	|- ( ph -> F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
heibor.8	|- ( ph -> A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) )

Assertion

Ref	Expression
heiborlem10	|- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) U. J = U. v )

Distinct variable groups:   y, n, u, F   m, n, u, v, y, z, D   B, n, u, v, y   m, J, n, u, v, y, z   U, n, u, v, y, z   m, X, n, u, v, y, z   n, K, y, z   ph, v

Allowed substitution hints:   ph( y, z, u, m, n)   B( z, m)   U( m)   F( z, v, m)   G( y, z, v, u, m, n)   K( v, u, m)

Proof of Theorem heiborlem10

Dummy variables t x g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		heibor.7	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
2		0nn0 10597	. . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
3		inss2 3574	. . . . . . . . 9 |- ( ~P X i^i Fin ) C_ Fin
4		ffvelrn 5844	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( F ` 0 ) e. ( ~P X i^i Fin ) )
5	3, 4	sseldi 3357	. . . . . . . 8 |- ( ( F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( F ` 0 ) e. Fin )
6	1, 2, 5	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. Fin )
7		heibor.8	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) )
8		fveq2 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( F ` n ) = ( F ` 0 ) )
9		oveq2 6102	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( y B n ) = ( y B 0 ) )
10	8, 9	iuneq12d 4199	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 0 -> U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
11	10	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 0 -> ( X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) <-> X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) ) )
12	11	rspccva 3075	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) /\ 0 e. NN0 ) -> X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
13	7, 2, 12	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
14		eqimss 3411	. . . . . . . 8 |- ( X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) -> X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
16		heibor.1	. . . . . . . . . 10 |- J = ( MetOpen ` D )
17		heibor.3	. . . . . . . . . 10 |- K = { u | -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v }
18		ovex 6119	. . . . . . . . . 10 |- ( y B 0 ) e. _V
19	16, 17, 18	heiborlem1 28713	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` 0 ) e. Fin /\ X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) /\ X e. K ) -> E. y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) e. K )
20		oveq1 6101	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( y B 0 ) = ( x B 0 ) )
21	20	eleq1d 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( ( y B 0 ) e. K <-> ( x B 0 ) e. K ) )
22	21	cbvrexv 2951	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) e. K <-> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K )
23	19, 22	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` 0 ) e. Fin /\ X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) /\ X e. K ) -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K )
24	23	3expia 1189	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` 0 ) e. Fin /\ X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) ) -> ( X e. K -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K ) )
25	6, 15, 24	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X e. K -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K ) )
26	25	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( X e. K -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K ) )
27		heibor.4	. . . . . . . . . 10 |- G = { <. y , n >. | ( n e. NN0 /\ y e. ( F ` n ) /\ ( y B n ) e. K ) }
28		vex 2978	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
29		c0ex 9383	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
30	16, 17, 27, 28, 29	heiborlem2 28714	. . . . . . . . 9 |- ( x G 0 <-> ( 0 e. NN0 /\ x e. ( F ` 0 ) /\ ( x B 0 ) e. K ) )
31		heibor.5	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) )
32		heibor.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
33	16, 17, 27, 31, 32, 1, 7	heiborlem3 28715	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. g A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) )
34	33	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> E. g A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) )
35	32	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> D e. ( CMet ` X ) )
36	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
37	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) )
38		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) )
39		fveq2 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = t -> ( g ` x ) = ( g ` t ) )
40		fveq2 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( 2nd ` x ) = ( 2nd ` t ) )
41	40	oveq1d 6109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = t -> ( ( 2nd ` x ) + 1 ) = ( ( 2nd ` t ) + 1 ) )
42	39, 41	breq12d 4308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = t -> ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) <-> ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) )
43		fveq2 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( B ` x ) = ( B ` t ) )
44	39, 41	oveq12d 6112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) = ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) )
45	43, 44	ineq12d 3556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = t -> ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) = ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) )
46	45	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = t -> ( ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K <-> ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) )
47	42, 46	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = t -> ( ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) <-> ( ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) /\ ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) ) )
48	47	cbvralv 2950	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) <-> A. t e. G ( ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) /\ ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) )
49	38, 48	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> A. t e. G ( ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) /\ ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) )
50		simprl 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> x G 0 )
51		eqeq1 2449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = m -> ( g = 0 <-> m = 0 ) )
52		oveq1 6101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = m -> ( g - 1 ) = ( m - 1 ) )
53	51, 52	ifbieq2d 3817	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = m -> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) = if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) )
54	53	cbvmptv 4386	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) = ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) )
55		seqeq3 11814	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) = ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) ) -> seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( g , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) ) ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( g , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) ) )
57		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN |-> <. ( seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) ` n ) , ( 3 / ( 2 ^ n ) ) >. ) = ( n e. NN |-> <. ( seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) ` n ) , ( 3 / ( 2 ^ n ) ) >. )
58		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> U C_ J )
59		cmetmet 20800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
60		metxmet 19912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
61	16	mopnuni 20019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
62	32, 59, 60, 61	4syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X = U. J )
63	62	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> X = U. J )
64		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> U. J = U. U )
65	63, 64	eqtr2d 2476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> U. U = X )
66	65	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> U. U = X )
67	16, 17, 27, 31, 35, 36, 37, 49, 50, 56, 57, 58, 66	heiborlem9 28721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> -. X e. K )
68	67	expr 615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> ( A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) -> -. X e. K ) )
69	68	exlimdv 1690	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> ( E. g A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) -> -. X e. K ) )
70	34, 69	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> -. X e. K )
71	30, 70	sylan2br 476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( 0 e. NN0 /\ x e. ( F ` 0 ) /\ ( x B 0 ) e. K ) ) -> -. X e. K )
72	71	3exp2 1205	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( 0 e. NN0 -> ( x e. ( F ` 0 ) -> ( ( x B 0 ) e. K -> -. X e. K ) ) ) )
73	2, 72	mpi 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( x e. ( F ` 0 ) -> ( ( x B 0 ) e. K -> -. X e. K ) ) )
74	73	rexlimdv 2843	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K -> -. X e. K ) )
75	26, 74	syld 44	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( X e. K -> -. X e. K ) )
76	75	pm2.01d 169	. . 3 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> -. X e. K )
77		elfvdm 5719	. . . . . 6 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> X e. dom CMet )
78		sseq1 3380	. . . . . . . . 9 |- ( u = X -> ( u C_ U. v <-> X C_ U. v ) )
79	78	rexbidv 2739	. . . . . . . 8 |- ( u = X -> ( E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v <-> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
80	79	notbid 294	. . . . . . 7 |- ( u = X -> ( -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
81	80, 17	elab2g 3111	. . . . . 6 |- ( X e. dom CMet -> ( X e. K <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
82	32, 77, 81	3syl 20	. . . . 5 |- ( ph -> ( X e. K <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
83	82	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( X e. K <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
84	83	con2bid 329	. . 3 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v <-> -. X e. K ) )
85	76, 84	mpbird 232	. 2 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v )
86	62	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> X = U. J )
87	86	sseq1d 3386	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( X C_ U. v <-> U. J C_ U. v ) )
88		inss1 3573	. . . . . . . . 9 |- ( ~P U i^i Fin ) C_ ~P U
89	88	sseli 3355	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( ~P U i^i Fin ) -> v e. ~P U )
90	89	elpwid 3873	. . . . . . 7 |- ( v e. ( ~P U i^i Fin ) -> v C_ U )
91		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> U C_ J )
92		sstr 3367	. . . . . . . 8 |- ( ( v C_ U /\ U C_ J ) -> v C_ J )
93	92	unissd 4118	. . . . . . 7 |- ( ( v C_ U /\ U C_ J ) -> U. v C_ U. J )
94	90, 91, 93	syl2anr 478	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> U. v C_ U. J )
95	94	biantrud 507	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( U. J C_ U. v <-> ( U. J C_ U. v /\ U. v C_ U. J ) ) )
96		eqss 3374	. . . . 5 |- ( U. J = U. v <-> ( U. J C_ U. v /\ U. v C_ U. J ) )
97	95, 96	syl6bbr 263	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( U. J C_ U. v <-> U. J = U. v ) )
98	87, 97	bitrd 253	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( X C_ U. v <-> U. J = U. v ) )
99	98	rexbidva 2735	. 2 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v <-> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) U. J = U. v ) )
100	85, 99	mpbid 210	1 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) U. J = U. v )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2718   E.wrex 2719   i^i cin 3330   C_ wss 3331   ifcif 3794   ~Pcpw 3863   <.cop 3886   U.cuni 4094   U_ciun 4174   class class class wbr 4295   {copab 4352   e. cmpt 4353   dom cdm 4843   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   e. cmpt2 6096   2ndc2nd 6579   Fincfn 7313   0cc0 9285   1c1 9286   + caddc 9288   - cmin 9598   / cdiv 9996   NNcn 10325   2c2 10374   3c3 10375   NN0cn0 10582   seqcseq 11809   ^cexp 11868   *Metcxmt 17804   Metcme 17805   ballcbl 17806   MetOpencmopn 17809   CMetcms 20768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cc 8607  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-acn 8115  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fl 11645  df-seq 11810  df-exp 11869  df-rest 14364  df-topgen 14385  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lm 18836  df-haus 18922  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-cfil 20769  df-cau 20770  df-cmet 20771

This theorem is referenced by:  heibor  28723