Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem10 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem heiborlem10 32152
 Description: Lemma for heibor 32153. The last remaining piece of the proof is to find an element such that , i.e. is an element of that has no finite subcover, which is true by heiborlem1 32143, since is a finite cover of , which has no finite subcover. Thus, the rest of the proof follows to a contradiction, and thus there must be a finite subcover of that covers , i.e. is compact. (Contributed by Jeff Madsen, 22-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1
heibor.3
heibor.4
heibor.5
heibor.6
heibor.7
heibor.8
Assertion
Ref Expression
heiborlem10
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,,   ,,,,   ,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,)   ()   (,,)   (,,,,,)   (,,)

Proof of Theorem heiborlem10
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.7 . . . . . . . 8
2 0nn0 10884 . . . . . . . 8
3 inss2 3653 . . . . . . . . 9
4 ffvelrn 6020 . . . . . . . . 9
53, 4sseldi 3430 . . . . . . . 8
61, 2, 5sylancl 668 . . . . . . 7
7 heibor.8 . . . . . . . . 9
8 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12
9 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12
108, 9iuneq12d 4304 . . . . . . . . . . 11
1110eqeq2d 2461 . . . . . . . . . 10
1211rspccva 3149 . . . . . . . . 9
137, 2, 12sylancl 668 . . . . . . . 8
14 eqimss 3484 . . . . . . . 8
1513, 14syl 17 . . . . . . 7
16 heibor.1 . . . . . . . . . 10
17 heibor.3 . . . . . . . . . 10
18 ovex 6318 . . . . . . . . . 10
1916, 17, 18heiborlem1 32143 . . . . . . . . 9
20 oveq1 6297 . . . . . . . . . . 11
2120eleq1d 2513 . . . . . . . . . 10
2221cbvrexv 3020 . . . . . . . . 9
2319, 22sylib 200 . . . . . . . 8
24233expia 1210 . . . . . . 7
256, 15, 24syl2anc 667 . . . . . 6
2625adantr 467 . . . . 5
27 heibor.4 . . . . . . . . . 10
28 vex 3048 . . . . . . . . . 10
29 c0ex 9637 . . . . . . . . . 10
3016, 17, 27, 28, 29heiborlem2 32144 . . . . . . . . 9
31 heibor.5 . . . . . . . . . . . 12
32 heibor.6 . . . . . . . . . . . 12
3316, 17, 27, 31, 32, 1, 7heiborlem3 32145 . . . . . . . . . . 11
3433ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10
3532ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13
361ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13
377ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13
38 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . 14
39 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
40 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4140oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4239, 41breq12d 4415 . . . . . . . . . . . . . . . 16
43 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4439, 41oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4543, 44ineq12d 3635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4742, 46anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847cbvralv 3019 . . . . . . . . . . . . . 14
4938, 48sylib 200 . . . . . . . . . . . . 13
50 simprl 764 . . . . . . . . . . . . 13
51 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . . . 16
52 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5351, 52ifbieq2d 3906 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . . . . 14
55 seqeq3 12218 . . . . . . . . . . . . . 14
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
57 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13
58 simplrl 770 . . . . . . . . . . . . 13
59 cmetmet 22256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
60 metxmet 21349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6116mopnuni 21456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6232, 59, 60, 614syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6362adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15
64 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15
6563, 64eqtr2d 2486 . . . . . . . . . . . . . 14
6665adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
6716, 17, 27, 31, 35, 36, 37, 49, 50, 56, 57, 58, 66heiborlem9 32151 . . . . . . . . . . . 12
6867expr 620 . . . . . . . . . . 11
6968exlimdv 1779 . . . . . . . . . 10
7034, 69mpd 15 . . . . . . . . 9
7130, 70sylan2br 479 . . . . . . . 8
72713exp2 1227 . . . . . . 7
732, 72mpi 20 . . . . . 6
7473rexlimdv 2877 . . . . 5
7526, 74syld 45 . . . 4
7675pm2.01d 173 . . 3
77 elfvdm 5891 . . . . . 6
78 sseq1 3453 . . . . . . . . 9
7978rexbidv 2901 . . . . . . . 8
8079notbid 296 . . . . . . 7
8180, 17elab2g 3187 . . . . . 6
8232, 77, 813syl 18 . . . . 5
8382adantr 467 . . . 4
8483con2bid 331 . . 3
8576, 84mpbird 236 . 2
8662ad2antrr 732 . . . . 5
8786sseq1d 3459 . . . 4
88 inss1 3652 . . . . . . . . 9
8988sseli 3428 . . . . . . . 8
9089elpwid 3961 . . . . . . 7
91 simprl 764 . . . . . . 7
92 sstr 3440 . . . . . . . 8
9392unissd 4222 . . . . . . 7
9490, 91, 93syl2anr 481 . . . . . 6
9594biantrud 510 . . . . 5
96 eqss 3447 . . . . 5
9795, 96syl6bbr 267 . . . 4
9887, 97bitrd 257 . . 3
9998rexbidva 2898 . 2
10085, 99mpbid 214 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444  wex 1663   wcel 1887  cab 2437  wral 2737  wrex 2738   cin 3403   wss 3404  cif 3881  cpw 3951  cop 3974  cuni 4198  ciun 4278   class class class wbr 4402  copab 4460   cmpt 4461   cdm 4834  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmpt2 6292  c2nd 6792  cfn 7569  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmin 9860   cdiv 10269  cn 10609  c2 10659  c3 10660  cn0 10869   cseq 12213  cexp 12272  cxmt 18955  cme 18956  cbl 18957  cmopn 18960  cms 22224 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lm 20245  df-haus 20331  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-cfil 22225  df-cau 22226  df-cmet 22227 This theorem is referenced by:  heibor  32153
 Copyright terms: Public domain W3C validator