Theorem heiborlem10 30146

Description: Lemma for heibor 30147. The last remaining piece of the proof is to find an element C such that C G 0, i.e. C is an element of ( F ` 0 ) that has no finite subcover, which is true by heiborlem1 30137, since ( F ` 0 ) is a finite cover of X, which has no finite subcover. Thus, the rest of the proof follows to a contradiction, and thus there must be a finite subcover of U that covers X, i.e. X is compact. (Contributed by Jeff Madsen, 22-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
heibor.1	|- J = ( MetOpen ` D )
heibor.3	|- K = { u | -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v }
heibor.4	|- G = { <. y , n >. | ( n e. NN0 /\ y e. ( F ` n ) /\ ( y B n ) e. K ) }
heibor.5	|- B = ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) )
heibor.6	|- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
heibor.7	|- ( ph -> F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
heibor.8	|- ( ph -> A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) )

Assertion

Ref	Expression
heiborlem10	|- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) U. J = U. v )

Distinct variable groups:   y, n, u, F   m, n, u, v, y, z, D   B, n, u, v, y   m, J, n, u, v, y, z   U, n, u, v, y, z   m, X, n, u, v, y, z   n, K, y, z   ph, v

Allowed substitution hints:   ph( y, z, u, m, n)   B( z, m)   U( m)   F( z, v, m)   G( y, z, v, u, m, n)   K( v, u, m)

Proof of Theorem heiborlem10

Dummy variables t x g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		heibor.7	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
2		0nn0 10811	. . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
3		inss2 3719	. . . . . . . . 9 |- ( ~P X i^i Fin ) C_ Fin
4		ffvelrn 6020	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( F ` 0 ) e. ( ~P X i^i Fin ) )
5	3, 4	sseldi 3502	. . . . . . . 8 |- ( ( F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( F ` 0 ) e. Fin )
6	1, 2, 5	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. Fin )
7		heibor.8	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) )
8		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( F ` n ) = ( F ` 0 ) )
9		oveq2 6293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( y B n ) = ( y B 0 ) )
10	8, 9	iuneq12d 4351	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 0 -> U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
11	10	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 0 -> ( X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) <-> X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) ) )
12	11	rspccva 3213	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) /\ 0 e. NN0 ) -> X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
13	7, 2, 12	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
14		eqimss 3556	. . . . . . . 8 |- ( X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) -> X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
16		heibor.1	. . . . . . . . . 10 |- J = ( MetOpen ` D )
17		heibor.3	. . . . . . . . . 10 |- K = { u | -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v }
18		ovex 6310	. . . . . . . . . 10 |- ( y B 0 ) e. _V
19	16, 17, 18	heiborlem1 30137	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` 0 ) e. Fin /\ X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) /\ X e. K ) -> E. y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) e. K )
20		oveq1 6292	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( y B 0 ) = ( x B 0 ) )
21	20	eleq1d 2536	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( ( y B 0 ) e. K <-> ( x B 0 ) e. K ) )
22	21	cbvrexv 3089	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) e. K <-> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K )
23	19, 22	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` 0 ) e. Fin /\ X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) /\ X e. K ) -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K )
24	23	3expia 1198	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` 0 ) e. Fin /\ X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) ) -> ( X e. K -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K ) )
25	6, 15, 24	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X e. K -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K ) )
26	25	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( X e. K -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K ) )
27		heibor.4	. . . . . . . . . 10 |- G = { <. y , n >. | ( n e. NN0 /\ y e. ( F ` n ) /\ ( y B n ) e. K ) }
28		vex 3116	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
29		c0ex 9591	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
30	16, 17, 27, 28, 29	heiborlem2 30138	. . . . . . . . 9 |- ( x G 0 <-> ( 0 e. NN0 /\ x e. ( F ` 0 ) /\ ( x B 0 ) e. K ) )
31		heibor.5	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) )
32		heibor.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
33	16, 17, 27, 31, 32, 1, 7	heiborlem3 30139	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. g A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) )
34	33	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> E. g A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) )
35	32	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> D e. ( CMet ` X ) )
36	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
37	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) )
38		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) )
39		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = t -> ( g ` x ) = ( g ` t ) )
40		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( 2nd ` x ) = ( 2nd ` t ) )
41	40	oveq1d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = t -> ( ( 2nd ` x ) + 1 ) = ( ( 2nd ` t ) + 1 ) )
42	39, 41	breq12d 4460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = t -> ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) <-> ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) )
43		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( B ` x ) = ( B ` t ) )
44	39, 41	oveq12d 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) = ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) )
45	43, 44	ineq12d 3701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = t -> ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) = ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) )
46	45	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = t -> ( ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K <-> ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) )
47	42, 46	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = t -> ( ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) <-> ( ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) /\ ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) ) )
48	47	cbvralv 3088	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) <-> A. t e. G ( ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) /\ ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) )
49	38, 48	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> A. t e. G ( ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) /\ ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) )
50		simprl 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> x G 0 )
51		eqeq1 2471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = m -> ( g = 0 <-> m = 0 ) )
52		oveq1 6292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = m -> ( g - 1 ) = ( m - 1 ) )
53	51, 52	ifbieq2d 3964	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = m -> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) = if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) )
54	53	cbvmptv 4538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) = ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) )
55		seqeq3 12081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) = ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) ) -> seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( g , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) ) ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( g , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) ) )
57		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN |-> <. ( seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) ` n ) , ( 3 / ( 2 ^ n ) ) >. ) = ( n e. NN |-> <. ( seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) ` n ) , ( 3 / ( 2 ^ n ) ) >. )
58		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> U C_ J )
59		cmetmet 21552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
60		metxmet 20664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
61	16	mopnuni 20771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
62	32, 59, 60, 61	4syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X = U. J )
63	62	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> X = U. J )
64		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> U. J = U. U )
65	63, 64	eqtr2d 2509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> U. U = X )
66	65	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> U. U = X )
67	16, 17, 27, 31, 35, 36, 37, 49, 50, 56, 57, 58, 66	heiborlem9 30145	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> -. X e. K )
68	67	expr 615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> ( A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) -> -. X e. K ) )
69	68	exlimdv 1700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> ( E. g A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) -> -. X e. K ) )
70	34, 69	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> -. X e. K )
71	30, 70	sylan2br 476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( 0 e. NN0 /\ x e. ( F ` 0 ) /\ ( x B 0 ) e. K ) ) -> -. X e. K )
72	71	3exp2 1214	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( 0 e. NN0 -> ( x e. ( F ` 0 ) -> ( ( x B 0 ) e. K -> -. X e. K ) ) ) )
73	2, 72	mpi 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( x e. ( F ` 0 ) -> ( ( x B 0 ) e. K -> -. X e. K ) ) )
74	73	rexlimdv 2953	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K -> -. X e. K ) )
75	26, 74	syld 44	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( X e. K -> -. X e. K ) )
76	75	pm2.01d 169	. . 3 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> -. X e. K )
77		elfvdm 5892	. . . . . 6 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> X e. dom CMet )
78		sseq1 3525	. . . . . . . . 9 |- ( u = X -> ( u C_ U. v <-> X C_ U. v ) )
79	78	rexbidv 2973	. . . . . . . 8 |- ( u = X -> ( E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v <-> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
80	79	notbid 294	. . . . . . 7 |- ( u = X -> ( -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
81	80, 17	elab2g 3252	. . . . . 6 |- ( X e. dom CMet -> ( X e. K <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
82	32, 77, 81	3syl 20	. . . . 5 |- ( ph -> ( X e. K <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
83	82	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( X e. K <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
84	83	con2bid 329	. . 3 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v <-> -. X e. K ) )
85	76, 84	mpbird 232	. 2 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v )
86	62	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> X = U. J )
87	86	sseq1d 3531	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( X C_ U. v <-> U. J C_ U. v ) )
88		inss1 3718	. . . . . . . . 9 |- ( ~P U i^i Fin ) C_ ~P U
89	88	sseli 3500	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( ~P U i^i Fin ) -> v e. ~P U )
90	89	elpwid 4020	. . . . . . 7 |- ( v e. ( ~P U i^i Fin ) -> v C_ U )
91		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> U C_ J )
92		sstr 3512	. . . . . . . 8 |- ( ( v C_ U /\ U C_ J ) -> v C_ J )
93	92	unissd 4269	. . . . . . 7 |- ( ( v C_ U /\ U C_ J ) -> U. v C_ U. J )
94	90, 91, 93	syl2anr 478	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> U. v C_ U. J )
95	94	biantrud 507	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( U. J C_ U. v <-> ( U. J C_ U. v /\ U. v C_ U. J ) ) )
96		eqss 3519	. . . . 5 |- ( U. J = U. v <-> ( U. J C_ U. v /\ U. v C_ U. J ) )
97	95, 96	syl6bbr 263	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( U. J C_ U. v <-> U. J = U. v ) )
98	87, 97	bitrd 253	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( X C_ U. v <-> U. J = U. v ) )
99	98	rexbidva 2970	. 2 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v <-> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) U. J = U. v ) )
100	85, 99	mpbid 210	1 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) U. J = U. v )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   i^i cin 3475   C_ wss 3476   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   <.cop 4033   U.cuni 4245   U_ciun 4325   class class class wbr 4447   {copab 4504   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   |-> cmpt2 6287   2ndc2nd 6784   Fincfn 7517   0cc0 9493   1c1 9494   + caddc 9496   - cmin 9806   / cdiv 10207   NNcn 10537   2c2 10586   3c3 10587   NN0cn0 10796   seqcseq 12076   ^cexp 12135   *Metcxmt 18214   Metcme 18215   ballcbl 18216   MetOpencmopn 18219   CMetcms 21520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cc 8816  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-acn 8324  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-rest 14681  df-topgen 14702  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-lm 19536  df-haus 19622  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268  df-cfil 21521  df-cau 21522  df-cmet 21523

This theorem is referenced by:  heibor  30147