Theorem heiborlem10 28644

Description: Lemma for heibor 28645. The last remaining piece of the proof is to find an element C such that C G 0, i.e. C is an element of ( F ` 0 ) that has no finite subcover, which is true by heiborlem1 28635, since ( F ` 0 ) is a finite cover of X, which has no finite subcover. Thus, the rest of the proof follows to a contradiction, and thus there must be a finite subcover of U that covers X, i.e. X is compact. (Contributed by Jeff Madsen, 22-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
heibor.1	|- J = ( MetOpen ` D )
heibor.3	|- K = { u | -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v }
heibor.4	|- G = { <. y , n >. | ( n e. NN0 /\ y e. ( F ` n ) /\ ( y B n ) e. K ) }
heibor.5	|- B = ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) )
heibor.6	|- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
heibor.7	|- ( ph -> F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
heibor.8	|- ( ph -> A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) )

Assertion

Ref	Expression
heiborlem10	|- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) U. J = U. v )

Distinct variable groups:   y, n, u, F   m, n, u, v, y, z, D   B, n, u, v, y   m, J, n, u, v, y, z   U, n, u, v, y, z   m, X, n, u, v, y, z   n, K, y, z   ph, v

Allowed substitution hints:   ph( y, z, u, m, n)   B( z, m)   U( m)   F( z, v, m)   G( y, z, v, u, m, n)   K( v, u, m)

Proof of Theorem heiborlem10

Dummy variables t x g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		heibor.7	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
2		0nn0 10590	. . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
3		inss2 3568	. . . . . . . . 9 |- ( ~P X i^i Fin ) C_ Fin
4		ffvelrn 5838	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( F ` 0 ) e. ( ~P X i^i Fin ) )
5	3, 4	sseldi 3351	. . . . . . . 8 |- ( ( F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( F ` 0 ) e. Fin )
6	1, 2, 5	sylancl 657	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. Fin )
7		heibor.8	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) )
8		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( F ` n ) = ( F ` 0 ) )
9		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( y B n ) = ( y B 0 ) )
10	8, 9	iuneq12d 4193	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 0 -> U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
11	10	eqeq2d 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 0 -> ( X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) <-> X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) ) )
12	11	rspccva 3069	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) /\ 0 e. NN0 ) -> X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
13	7, 2, 12	sylancl 657	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
14		eqimss 3405	. . . . . . . 8 |- ( X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) -> X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
16		heibor.1	. . . . . . . . . 10 |- J = ( MetOpen ` D )
17		heibor.3	. . . . . . . . . 10 |- K = { u | -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v }
18		ovex 6115	. . . . . . . . . 10 |- ( y B 0 ) e. _V
19	16, 17, 18	heiborlem1 28635	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` 0 ) e. Fin /\ X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) /\ X e. K ) -> E. y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) e. K )
20		oveq1 6097	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( y B 0 ) = ( x B 0 ) )
21	20	eleq1d 2507	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( ( y B 0 ) e. K <-> ( x B 0 ) e. K ) )
22	21	cbvrexv 2946	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) e. K <-> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K )
23	19, 22	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` 0 ) e. Fin /\ X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) /\ X e. K ) -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K )
24	23	3expia 1184	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` 0 ) e. Fin /\ X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) ) -> ( X e. K -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K ) )
25	6, 15, 24	syl2anc 656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X e. K -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K ) )
26	25	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( X e. K -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K ) )
27		heibor.4	. . . . . . . . . 10 |- G = { <. y , n >. | ( n e. NN0 /\ y e. ( F ` n ) /\ ( y B n ) e. K ) }
28		vex 2973	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
29		c0ex 9376	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
30	16, 17, 27, 28, 29	heiborlem2 28636	. . . . . . . . 9 |- ( x G 0 <-> ( 0 e. NN0 /\ x e. ( F ` 0 ) /\ ( x B 0 ) e. K ) )
31		heibor.5	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) )
32		heibor.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
33	16, 17, 27, 31, 32, 1, 7	heiborlem3 28637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. g A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) )
34	33	ad2antrr 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> E. g A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) )
35	32	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> D e. ( CMet ` X ) )
36	1	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
37	7	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) )
38		simprr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) )
39		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = t -> ( g ` x ) = ( g ` t ) )
40		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( 2nd ` x ) = ( 2nd ` t ) )
41	40	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = t -> ( ( 2nd ` x ) + 1 ) = ( ( 2nd ` t ) + 1 ) )
42	39, 41	breq12d 4302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = t -> ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) <-> ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) )
43		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( B ` x ) = ( B ` t ) )
44	39, 41	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) = ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) )
45	43, 44	ineq12d 3550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = t -> ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) = ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) )
46	45	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = t -> ( ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K <-> ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) )
47	42, 46	anbi12d 705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = t -> ( ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) <-> ( ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) /\ ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) ) )
48	47	cbvralv 2945	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) <-> A. t e. G ( ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) /\ ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) )
49	38, 48	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> A. t e. G ( ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) /\ ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) )
50		simprl 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> x G 0 )
51		eqeq1 2447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = m -> ( g = 0 <-> m = 0 ) )
52		oveq1 6097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = m -> ( g - 1 ) = ( m - 1 ) )
53	51, 52	ifbieq2d 3811	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = m -> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) = if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) )
54	53	cbvmptv 4380	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) = ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) )
55		seqeq3 11807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) = ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) ) -> seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( g , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) ) ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( g , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) ) )
57		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN |-> <. ( seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) ` n ) , ( 3 / ( 2 ^ n ) ) >. ) = ( n e. NN |-> <. ( seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) ` n ) , ( 3 / ( 2 ^ n ) ) >. )
58		simplrl 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> U C_ J )
59		cmetmet 20756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
60		metxmet 19868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
61	16	mopnuni 19975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
62	32, 59, 60, 61	4syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X = U. J )
63	62	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> X = U. J )
64		simprr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> U. J = U. U )
65	63, 64	eqtr2d 2474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> U. U = X )
66	65	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> U. U = X )
67	16, 17, 27, 31, 35, 36, 37, 49, 50, 56, 57, 58, 66	heiborlem9 28643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> -. X e. K )
68	67	expr 612	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> ( A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) -> -. X e. K ) )
69	68	exlimdv 1695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> ( E. g A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) -> -. X e. K ) )
70	34, 69	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> -. X e. K )
71	30, 70	sylan2br 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( 0 e. NN0 /\ x e. ( F ` 0 ) /\ ( x B 0 ) e. K ) ) -> -. X e. K )
72	71	3exp2 1200	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( 0 e. NN0 -> ( x e. ( F ` 0 ) -> ( ( x B 0 ) e. K -> -. X e. K ) ) ) )
73	2, 72	mpi 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( x e. ( F ` 0 ) -> ( ( x B 0 ) e. K -> -. X e. K ) ) )
74	73	rexlimdv 2838	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K -> -. X e. K ) )
75	26, 74	syld 44	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( X e. K -> -. X e. K ) )
76	75	pm2.01d 169	. . 3 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> -. X e. K )
77		elfvdm 5713	. . . . . 6 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> X e. dom CMet )
78		sseq1 3374	. . . . . . . . 9 |- ( u = X -> ( u C_ U. v <-> X C_ U. v ) )
79	78	rexbidv 2734	. . . . . . . 8 |- ( u = X -> ( E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v <-> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
80	79	notbid 294	. . . . . . 7 |- ( u = X -> ( -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
81	80, 17	elab2g 3105	. . . . . 6 |- ( X e. dom CMet -> ( X e. K <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
82	32, 77, 81	3syl 20	. . . . 5 |- ( ph -> ( X e. K <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
83	82	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( X e. K <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
84	83	con2bid 329	. . 3 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v <-> -. X e. K ) )
85	76, 84	mpbird 232	. 2 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v )
86	62	ad2antrr 720	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> X = U. J )
87	86	sseq1d 3380	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( X C_ U. v <-> U. J C_ U. v ) )
88		inss1 3567	. . . . . . . . 9 |- ( ~P U i^i Fin ) C_ ~P U
89	88	sseli 3349	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( ~P U i^i Fin ) -> v e. ~P U )
90	89	elpwid 3867	. . . . . . 7 |- ( v e. ( ~P U i^i Fin ) -> v C_ U )
91		simprl 750	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> U C_ J )
92		sstr 3361	. . . . . . . 8 |- ( ( v C_ U /\ U C_ J ) -> v C_ J )
93	92	unissd 4112	. . . . . . 7 |- ( ( v C_ U /\ U C_ J ) -> U. v C_ U. J )
94	90, 91, 93	syl2anr 475	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> U. v C_ U. J )
95	94	biantrud 504	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( U. J C_ U. v <-> ( U. J C_ U. v /\ U. v C_ U. J ) ) )
96		eqss 3368	. . . . 5 |- ( U. J = U. v <-> ( U. J C_ U. v /\ U. v C_ U. J ) )
97	95, 96	syl6bbr 263	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( U. J C_ U. v <-> U. J = U. v ) )
98	87, 97	bitrd 253	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( X C_ U. v <-> U. J = U. v ) )
99	98	rexbidva 2730	. 2 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v <-> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) U. J = U. v ) )
100	85, 99	mpbid 210	1 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) U. J = U. v )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   E.wex 1591   e. wcel 1761   {cab 2427   A.wral 2713   E.wrex 2714   i^i cin 3324   C_ wss 3325   ifcif 3788   ~Pcpw 3857   <.cop 3880   U.cuni 4088   U_ciun 4168   class class class wbr 4289   {copab 4346   e. cmpt 4347   dom cdm 4836   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   e. cmpt2 6092   2ndc2nd 6575   Fincfn 7306   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   - cmin 9591   / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   3c3 10368   NN0cn0 10575   seqcseq 11802   ^cexp 11861   *Metcxmt 17760   Metcme 17761   ballcbl 17762   MetOpencmopn 17765   CMetcms 20724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lm 18792  df-haus 18878  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-cfil 20725  df-cau 20726  df-cmet 20727

This theorem is referenced by:  heibor  28645