Theorem heiborlem10 30521

Description: Lemma for heibor 30522. The last remaining piece of the proof is to find an element C such that C G 0, i.e. C is an element of ( F ` 0 ) that has no finite subcover, which is true by heiborlem1 30512, since ( F ` 0 ) is a finite cover of X, which has no finite subcover. Thus, the rest of the proof follows to a contradiction, and thus there must be a finite subcover of U that covers X, i.e. X is compact. (Contributed by Jeff Madsen, 22-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
heibor.1	|- J = ( MetOpen ` D )
heibor.3	|- K = { u | -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v }
heibor.4	|- G = { <. y , n >. | ( n e. NN0 /\ y e. ( F ` n ) /\ ( y B n ) e. K ) }
heibor.5	|- B = ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) )
heibor.6	|- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
heibor.7	|- ( ph -> F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
heibor.8	|- ( ph -> A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) )

Assertion

Ref	Expression
heiborlem10	|- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) U. J = U. v )

Distinct variable groups:   y, n, u, F   m, n, u, v, y, z, D   B, n, u, v, y   m, J, n, u, v, y, z   U, n, u, v, y, z   m, X, n, u, v, y, z   n, K, y, z   ph, v

Allowed substitution hints:   ph( y, z, u, m, n)   B( z, m)   U( m)   F( z, v, m)   G( y, z, v, u, m, n)   K( v, u, m)

Proof of Theorem heiborlem10

Dummy variables t x g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		heibor.7	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
2		0nn0 10831	. . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
3		inss2 3715	. . . . . . . . 9 |- ( ~P X i^i Fin ) C_ Fin
4		ffvelrn 6030	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( F ` 0 ) e. ( ~P X i^i Fin ) )
5	3, 4	sseldi 3497	. . . . . . . 8 |- ( ( F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( F ` 0 ) e. Fin )
6	1, 2, 5	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. Fin )
7		heibor.8	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) )
8		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( F ` n ) = ( F ` 0 ) )
9		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( y B n ) = ( y B 0 ) )
10	8, 9	iuneq12d 4358	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 0 -> U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
11	10	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 0 -> ( X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) <-> X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) ) )
12	11	rspccva 3209	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) /\ 0 e. NN0 ) -> X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
13	7, 2, 12	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
14		eqimss 3551	. . . . . . . 8 |- ( X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) -> X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
16		heibor.1	. . . . . . . . . 10 |- J = ( MetOpen ` D )
17		heibor.3	. . . . . . . . . 10 |- K = { u | -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v }
18		ovex 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( y B 0 ) e. _V
19	16, 17, 18	heiborlem1 30512	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` 0 ) e. Fin /\ X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) /\ X e. K ) -> E. y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) e. K )
20		oveq1 6303	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( y B 0 ) = ( x B 0 ) )
21	20	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( ( y B 0 ) e. K <-> ( x B 0 ) e. K ) )
22	21	cbvrexv 3085	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) e. K <-> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K )
23	19, 22	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` 0 ) e. Fin /\ X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) /\ X e. K ) -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K )
24	23	3expia 1198	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` 0 ) e. Fin /\ X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) ) -> ( X e. K -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K ) )
25	6, 15, 24	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X e. K -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K ) )
26	25	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( X e. K -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K ) )
27		heibor.4	. . . . . . . . . 10 |- G = { <. y , n >. | ( n e. NN0 /\ y e. ( F ` n ) /\ ( y B n ) e. K ) }
28		vex 3112	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
29		c0ex 9607	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
30	16, 17, 27, 28, 29	heiborlem2 30513	. . . . . . . . 9 |- ( x G 0 <-> ( 0 e. NN0 /\ x e. ( F ` 0 ) /\ ( x B 0 ) e. K ) )
31		heibor.5	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) )
32		heibor.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
33	16, 17, 27, 31, 32, 1, 7	heiborlem3 30514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. g A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) )
34	33	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> E. g A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) )
35	32	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> D e. ( CMet ` X ) )
36	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
37	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) )
38		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) )
39		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = t -> ( g ` x ) = ( g ` t ) )
40		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( 2nd ` x ) = ( 2nd ` t ) )
41	40	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = t -> ( ( 2nd ` x ) + 1 ) = ( ( 2nd ` t ) + 1 ) )
42	39, 41	breq12d 4469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = t -> ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) <-> ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) )
43		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( B ` x ) = ( B ` t ) )
44	39, 41	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) = ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) )
45	43, 44	ineq12d 3697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = t -> ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) = ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) )
46	45	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = t -> ( ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K <-> ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) )
47	42, 46	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = t -> ( ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) <-> ( ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) /\ ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) ) )
48	47	cbvralv 3084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) <-> A. t e. G ( ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) /\ ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) )
49	38, 48	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> A. t e. G ( ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) /\ ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) )
50		simprl 756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> x G 0 )
51		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = m -> ( g = 0 <-> m = 0 ) )
52		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = m -> ( g - 1 ) = ( m - 1 ) )
53	51, 52	ifbieq2d 3969	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = m -> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) = if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) )
54	53	cbvmptv 4548	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) = ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) )
55		seqeq3 12115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) = ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) ) -> seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( g , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) ) ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( g , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) ) )
57		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN |-> <. ( seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) ` n ) , ( 3 / ( 2 ^ n ) ) >. ) = ( n e. NN |-> <. ( seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) ` n ) , ( 3 / ( 2 ^ n ) ) >. )
58		simplrl 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> U C_ J )
59		cmetmet 21851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
60		metxmet 20963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
61	16	mopnuni 21070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
62	32, 59, 60, 61	4syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X = U. J )
63	62	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> X = U. J )
64		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> U. J = U. U )
65	63, 64	eqtr2d 2499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> U. U = X )
66	65	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> U. U = X )
67	16, 17, 27, 31, 35, 36, 37, 49, 50, 56, 57, 58, 66	heiborlem9 30520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> -. X e. K )
68	67	expr 615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> ( A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) -> -. X e. K ) )
69	68	exlimdv 1725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> ( E. g A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) -> -. X e. K ) )
70	34, 69	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> -. X e. K )
71	30, 70	sylan2br 476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( 0 e. NN0 /\ x e. ( F ` 0 ) /\ ( x B 0 ) e. K ) ) -> -. X e. K )
72	71	3exp2 1214	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( 0 e. NN0 -> ( x e. ( F ` 0 ) -> ( ( x B 0 ) e. K -> -. X e. K ) ) ) )
73	2, 72	mpi 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( x e. ( F ` 0 ) -> ( ( x B 0 ) e. K -> -. X e. K ) ) )
74	73	rexlimdv 2947	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K -> -. X e. K ) )
75	26, 74	syld 44	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( X e. K -> -. X e. K ) )
76	75	pm2.01d 169	. . 3 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> -. X e. K )
77		elfvdm 5898	. . . . . 6 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> X e. dom CMet )
78		sseq1 3520	. . . . . . . . 9 |- ( u = X -> ( u C_ U. v <-> X C_ U. v ) )
79	78	rexbidv 2968	. . . . . . . 8 |- ( u = X -> ( E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v <-> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
80	79	notbid 294	. . . . . . 7 |- ( u = X -> ( -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
81	80, 17	elab2g 3248	. . . . . 6 |- ( X e. dom CMet -> ( X e. K <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
82	32, 77, 81	3syl 20	. . . . 5 |- ( ph -> ( X e. K <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
83	82	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( X e. K <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
84	83	con2bid 329	. . 3 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v <-> -. X e. K ) )
85	76, 84	mpbird 232	. 2 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v )
86	62	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> X = U. J )
87	86	sseq1d 3526	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( X C_ U. v <-> U. J C_ U. v ) )
88		inss1 3714	. . . . . . . . 9 |- ( ~P U i^i Fin ) C_ ~P U
89	88	sseli 3495	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( ~P U i^i Fin ) -> v e. ~P U )
90	89	elpwid 4025	. . . . . . 7 |- ( v e. ( ~P U i^i Fin ) -> v C_ U )
91		simprl 756	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> U C_ J )
92		sstr 3507	. . . . . . . 8 |- ( ( v C_ U /\ U C_ J ) -> v C_ J )
93	92	unissd 4275	. . . . . . 7 |- ( ( v C_ U /\ U C_ J ) -> U. v C_ U. J )
94	90, 91, 93	syl2anr 478	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> U. v C_ U. J )
95	94	biantrud 507	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( U. J C_ U. v <-> ( U. J C_ U. v /\ U. v C_ U. J ) ) )
96		eqss 3514	. . . . 5 |- ( U. J = U. v <-> ( U. J C_ U. v /\ U. v C_ U. J ) )
97	95, 96	syl6bbr 263	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( U. J C_ U. v <-> U. J = U. v ) )
98	87, 97	bitrd 253	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( X C_ U. v <-> U. J = U. v ) )
99	98	rexbidva 2965	. 2 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v <-> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) U. J = U. v ) )
100	85, 99	mpbid 210	1 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) U. J = U. v )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808   i^i cin 3470   C_ wss 3471   ifcif 3944   ~Pcpw 4015   <.cop 4038   U.cuni 4251   U_ciun 4332   class class class wbr 4456   {copab 4514   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   |-> cmpt2 6298   2ndc2nd 6798   Fincfn 7535   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   - cmin 9824   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   3c3 10607   NN0cn0 10816   seqcseq 12110   ^cexp 12169   *Metcxmt 18530   Metcme 18531   ballcbl 18532   MetOpencmopn 18535   CMetcms 21819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lm 19857  df-haus 19943  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-cfil 21820  df-cau 21821  df-cmet 21822

This theorem is referenced by:  heibor  30522