Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem1 Structured version   Unicode version

Theorem heiborlem1 29938
Description: Lemma for heibor 29948. We work with a fixed open cover  U throughout. The set  K is the set of all subsets of  X that admit no finite subcover of  U. (We wish to prove that  K is empty.) If a set  C has no finite subcover, then any finite cover of  C must contain a set that also has no finite subcover. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
heibor.3  |-  K  =  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v }
heiborlem1.4  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
heiborlem1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B  /\  C  e.  K )  ->  E. x  e.  A  B  e.  K )
Distinct variable groups:    x, A    x, u, v, D    u, B, v    u, J, v, x    u, U, v, x    u, C, v   
x, K
Allowed substitution hints:    A( v, u)    B( x)    C( x)    K( v, u)

Proof of Theorem heiborlem1
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heiborlem1.4 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
2 sseq1 3525 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  B  ->  (
u  C_  U. v  <->  B 
C_  U. v ) )
32rexbidv 2973 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  B  ->  ( E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v ) )
43notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  B  ->  ( -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) u  C_  U. v  <->  -. 
E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v
) )
5 heibor.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v }
61, 4, 5elab2 3253 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  K  <->  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v
)
76con2bii 332 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v  <->  -.  B  e.  K )
87ralbii 2895 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B 
C_  U. v  <->  A. x  e.  A  -.  B  e.  K )
9 ralnex 2910 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  -.  B  e.  K  <->  -.  E. x  e.  A  B  e.  K )
108, 9bitr2i 250 . . . 4  |-  ( -. 
E. x  e.  A  B  e.  K  <->  A. x  e.  A  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v
)
11 unieq 4253 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( t `  x )  ->  U. v  =  U. ( t `  x ) )
1211sseq2d 3532 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( t `  x )  ->  ( B  C_  U. v  <->  B  C_  U. (
t `  x )
) )
1312ac6sfi 7764 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B 
C_  U. v )  ->  E. t ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_ 
U. ( t `  x ) ) )
1413ex 434 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v  ->  E. t ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_ 
U. ( t `  x ) ) ) )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( A. x  e.  A  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v  ->  E. t ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. ( t `
 x ) ) ) )
16 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  C  ->  (
u  C_  U. v  <->  C 
C_  U. v ) )
1716rexbidv 2973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  C  ->  ( E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) C  C_  U. v ) )
1817notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  C  ->  ( -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) u  C_  U. v  <->  -. 
E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) C  C_  U. v
) )
1918, 5elab2g 3252 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  K  ->  ( C  e.  K  <->  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) C  C_  U. v
) )
2019ibi 241 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  K  ->  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) C  C_  U. v )
21 frn 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  ->  ran  t  C_  ( ~P U  i^i  Fin )
)
2221ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  ran  t  C_  ( ~P U  i^i  Fin ) )
23 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P U  i^i  Fin )  C_ 
~P U
2422, 23syl6ss 3516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  ran  t  C_  ~P U )
25 sspwuni 4411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  t  C_  ~P U  <->  U.
ran  t  C_  U
)
2624, 25sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U. ran  t  C_  U )
27 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  t  e. 
_V
2827rnex 6718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  t  e.  _V
2928uniex 6580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  t  e.  _V
3029elpw 4016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ran  t  e.  ~P U 
<-> 
U. ran  t  C_  U )
3126, 30sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U. ran  t  e.  ~P U
)
32 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  ->  t  Fn  A )
3332ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  t  Fn  A )
34 dffn4 5801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  Fn  A  <->  t : A -onto-> ran  t )
3533, 34sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  t : A -onto-> ran  t )
36 fofi 7806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  t : A -onto-> ran  t
)  ->  ran  t  e. 
Fin )
3735, 36syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  ran  t  e.  Fin )
38 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P U  i^i  Fin )  C_ 
Fin
3922, 38syl6ss 3516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  ran  t  C_  Fin )
40 unifi 7809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  t  e.  Fin  /\ 
ran  t  C_  Fin )  ->  U. ran  t  e. 
Fin )
4137, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U. ran  t  e.  Fin )
4231, 41elind 3688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U. ran  t  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
4342adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U. ran  t  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
44 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  C  C_ 
U_ x  e.  A  B )
45 fnfvelrn 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( t `  x
)  e.  ran  t
)
4632, 45sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  x  e.  A
)  ->  ( t `  x )  e.  ran  t )
4746adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
t `  x )  e.  ran  t )
48 elssuni 4275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t `  x )  e.  ran  t  -> 
( t `  x
)  C_  U. ran  t
)
49 uniss 4266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t `  x ) 
C_  U. ran  t  ->  U. ( t `  x
)  C_  U. U. ran  t )
5047, 48, 493syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )
)  /\  x  e.  A )  ->  U. (
t `  x )  C_ 
U. U. ran  t )
51 sstr2 3511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B 
C_  U. ( t `  x )  ->  ( U. ( t `  x
)  C_  U. U. ran  t  ->  B  C_  U. U. ran  t ) )
5250, 51syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( B  C_  U. ( t `
 x )  ->  B  C_  U. U. ran  t ) )
5352ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )
)  ->  ( A. x  e.  A  B  C_ 
U. ( t `  x )  ->  A. x  e.  A  B  C_  U. U. ran  t ) )
5453impr 619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  A. x  e.  A  B  C_  U. U. ran  t )
55 iunss 4366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ x  e.  A  B  C_ 
U. U. ran  t  <->  A. x  e.  A  B  C_  U. U. ran  t )
5654, 55sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U_ x  e.  A  B  C_  U. U. ran  t )
5756adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U_ x  e.  A  B  C_  U. U. ran  t )
5844, 57sstrd 3514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  C  C_ 
U. U. ran  t )
59 unieq 4253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  U. ran  t  ->  U. v  =  U. U.
ran  t )
6059sseq2d 3532 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  U. ran  t  ->  ( C  C_  U. v  <->  C 
C_  U. U. ran  t
) )
6160rspcev 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. ran  t  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  C  C_  U.
U. ran  t )  ->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) C  C_  U. v
)
6243, 58, 61syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) C  C_  U. v
)
6320, 62nsyl3 119 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  -.  C  e.  K )
6463ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_ 
U. ( t `  x ) )  ->  -.  C  e.  K
) )
6564exlimdv 1700 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( E. t ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. ( t `
 x ) )  ->  -.  C  e.  K ) )
6615, 65syld 44 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( A. x  e.  A  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v  ->  -.  C  e.  K
) )
6710, 66syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( -.  E. x  e.  A  B  e.  K  ->  -.  C  e.  K ) )
6867con4d 105 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( C  e.  K  ->  E. x  e.  A  B  e.  K )
)
69683impia 1193 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B  /\  C  e.  K )  ->  E. x  e.  A  B  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   U_ciun 4325   ran crn 5000    Fn wfn 5583   -->wf 5584   -onto->wfo 5586   ` cfv 5588   Fincfn 7516   MetOpencmopn 18207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-fin 7520
This theorem is referenced by:  heiborlem3  29940  heiborlem10  29947
  Copyright terms: Public domain W3C validator