Theorem heiborlem1 15955

Description: Lemma for heibor 15997. A compact metric space is totally bounded.

Hypotheses

Ref	Expression
heibor.1	|- J = (Open` M)
heibor.2	|- X = dom dom M

Assertion

Ref	Expression
heiborlem1	|- ((M e. Met /\ J e. Comp) -> M e. TotBnd)

Proof of Theorem heiborlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		heibor.2	. . . . . . . . . 10 |- X = dom dom M
2		heibor.1	. . . . . . . . . 10 |- J = (Open` M)
3	1, 2	uniopn2 9138	. . . . . . . . 9 |- (M e. Met -> U.J = X)
4	3	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> U.J = X)
5	1	blcntr 9122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ (d e. RR /\ 0 < d)) -> y e. (y( ball ` M)d))
6		rpregt0 7242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (d e. RR+ -> (d e. RR /\ 0 < d))
7	5, 6	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ d e. RR+) -> y e. (y( ball ` M)d))
8	7	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((M e. Met /\ d e. RR+) /\ y e. X) -> y e. (y( ball ` M)d))
9		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y( ball ` M)d) = (y( ball ` M)d)
10		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = y -> (x( ball ` M)d) = (y( ball ` M)d))
11	10	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = y -> ((y( ball ` M)d) = (x( ball ` M)d) <-> (y( ball ` M)d) = (y( ball ` M)d)))
12	11	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. X /\ (y( ball ` M)d) = (y( ball ` M)d)) -> E.x e. X (y( ball ` M)d) = (x( ball ` M)d))
13	9, 12	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. X -> E.x e. X (y( ball ` M)d) = (x( ball ` M)d))
14	13	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((M e. Met /\ d e. RR+) /\ y e. X) -> E.x e. X (y( ball ` M)d) = (x( ball ` M)d))
15	8, 14	jca 310	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((M e. Met /\ d e. RR+) /\ y e. X) -> (y e. (y( ball ` M)d) /\ E.x e. X (y( ball ` M)d) = (x( ball ` M)d)))
16	15	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> (y e. X -> (y e. (y( ball ` M)d) /\ E.x e. X (y( ball ` M)d) = (x( ball ` M)d))))
17		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y( ball ` M)d) e. _V
18		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = (y( ball ` M)d) -> (y e. z <-> y e. (y( ball ` M)d)))
19		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z = (y( ball ` M)d) -> (z = (x( ball ` M)d) <-> (y( ball ` M)d) = (x( ball ` M)d)))
20	19	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = (y( ball ` M)d) -> (E.x e. X z = (x( ball ` M)d) <-> E.x e. X (y( ball ` M)d) = (x( ball ` M)d)))
21	18, 20	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = (y( ball ` M)d) -> ((y e. z /\ E.x e. X z = (x( ball ` M)d)) <-> (y e. (y( ball ` M)d) /\ E.x e. X (y( ball ` M)d) = (x( ball ` M)d))))
22	17, 21	cla4ev 2371	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. (y( ball ` M)d) /\ E.x e. X (y( ball ` M)d) = (x( ball ` M)d)) -> E.z(y e. z /\ E.x e. X z = (x( ball ` M)d)))
23	16, 22	syl6 25	. . . . . . . . . . 11 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> (y e. X -> E.z(y e. z /\ E.x e. X z = (x( ball ` M)d))))
24	1	blssm 9127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((M e. Met /\ x e. X) /\ (d e. RR /\ 0 < d)) -> (x( ball ` M)d) C_ X)
25	24, 6	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((M e. Met /\ x e. X) /\ d e. RR+) -> (x( ball ` M)d) C_ X)
26	25	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((M e. Met /\ d e. RR+) /\ x e. X) -> (x( ball ` M)d) C_ X)
27		sseq1 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (z = (x( ball ` M)d) -> (z C_ X <-> (x( ball ` M)d) C_ X))
28	27	biimprd 171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (z = (x( ball ` M)d) -> ((x( ball ` M)d) C_ X -> z C_ X))
29	26, 28	mpan9 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((M e. Met /\ d e. RR+) /\ x e. X) /\ z = (x( ball ` M)d)) -> z C_ X)
30	29	sseld 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((M e. Met /\ d e. RR+) /\ x e. X) /\ z = (x( ball ` M)d)) -> (y e. z -> y e. X))
31	30	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((M e. Met /\ d e. RR+) /\ x e. X) -> (z = (x( ball ` M)d) -> (y e. z -> y e. X)))
32	31	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((M e. Met /\ d e. RR+) /\ x e. X) -> (y e. z -> (z = (x( ball ` M)d) -> y e. X)))
33	32	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((M e. Met /\ d e. RR+) /\ x e. X) /\ y e. z) -> (z = (x( ball ` M)d) -> y e. X))
34	33	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((M e. Met /\ d e. RR+) /\ y e. z) /\ x e. X) -> (z = (x( ball ` M)d) -> y e. X))
35	34	r19.23adva 2216	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((M e. Met /\ d e. RR+) /\ y e. z) -> (E.x e. X z = (x( ball ` M)d) -> y e. X))
36	35	expimpd 404	. . . . . . . . . . . 12 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> ((y e. z /\ E.x e. X z = (x( ball ` M)d)) -> y e. X))
37	36	19.23adv 1584	. . . . . . . . . . 11 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> (E.z(y e. z /\ E.x e. X z = (x( ball ` M)d)) -> y e. X))
38	23, 37	impbid 574	. . . . . . . . . 10 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> (y e. X <-> E.z(y e. z /\ E.x e. X z = (x( ball ` M)d))))
39		eluni 3180	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. U.{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} <-> E.z(y e. z /\ z e. {c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)}))
40		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
41		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (c = z -> (c = (x( ball ` M)d) <-> z = (x( ball ` M)d)))
42	41	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (c = z -> (E.x e. X c = (x( ball ` M)d) <-> E.x e. X z = (x( ball ` M)d)))
43	40, 42	elab 2403	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. {c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} <-> E.x e. X z = (x( ball ` M)d))
44	43	anbi2i 538	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. z /\ z e. {c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)}) <-> (y e. z /\ E.x e. X z = (x( ball ` M)d)))
45	44	exbii 1398	. . . . . . . . . . 11 |- (E.z(y e. z /\ z e. {c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)}) <-> E.z(y e. z /\ E.x e. X z = (x( ball ` M)d)))
46	39, 45	bitri 190	. . . . . . . . . 10 |- (y e. U.{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} <-> E.z(y e. z /\ E.x e. X z = (x( ball ` M)d)))
47	38, 46	syl6bbr 597	. . . . . . . . 9 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> (y e. X <-> y e. U.{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)}))
48	47	eqrdv 1882	. . . . . . . 8 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> X = U.{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)})
49	4, 48	eqtrd 1925	. . . . . . 7 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> U.J = U.{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)})
50		eleq1 1957	. . . . . . . . . . 11 |- (c = (x( ball ` M)d) -> (c e. J <-> (x( ball ` M)d) e. J))
51	1, 2	blopn 9153	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((M e. Met /\ x e. X) /\ (d e. RR /\ 0 < d)) -> (x( ball ` M)d) e. J)
52	51, 6	sylan2 500	. . . . . . . . . . . 12 |- (((M e. Met /\ x e. X) /\ d e. RR+) -> (x( ball ` M)d) e. J)
53	52	an1rs 547	. . . . . . . . . . 11 |- (((M e. Met /\ d e. RR+) /\ x e. X) -> (x( ball ` M)d) e. J)
54	50, 53	syl5cbir 228	. . . . . . . . . 10 |- (((M e. Met /\ d e. RR+) /\ x e. X) -> (c = (x( ball ` M)d) -> c e. J))
55	54	r19.23adva 2216	. . . . . . . . 9 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> (E.x e. X c = (x( ball ` M)d) -> c e. J))
56	55	abssdv 2681	. . . . . . . 8 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> {c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} C_ J)
57		fvex 4689	. . . . . . . . . . 11 |- (Open` M) e. _V
58	2, 57	eqeltri 1967	. . . . . . . . . 10 |- J e. _V
59	58	ssex 3455	. . . . . . . . 9 |- ({c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} C_ J -> {c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} e. _V)
60		elpwg 3038	. . . . . . . . . 10 |- ({c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} e. _V -> ({c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} e. ~PJ <-> {c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} C_ J))
61	60	biimprcd 173	. . . . . . . . 9 |- ({c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} C_ J -> ({c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} e. _V -> {c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} e. ~PJ))
62	59, 61	mpd 29	. . . . . . . 8 |- ({c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} C_ J -> {c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} e. ~PJ)
63		unieq 3185	. . . . . . . . . . 11 |- (y = {c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} -> U.y = U.{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)})
64	63	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . 10 |- (y = {c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} -> (U.J = U.y <-> U.J = U.{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)}))
65		pweq 3036	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = {c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} -> ~Py = ~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)})
66	65	ineq1d 2795	. . . . . . . . . . 11 |- (y = {c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} -> (~Py i^i Fin) = (~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} i^i Fin))
67	66	rexeqdv 2270	. . . . . . . . . 10 |- (y = {c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} -> (E.v e. (~Py i^i Fin)U.J = U.v <-> E.v e. (~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} i^i Fin)U.J = U.v))
68	64, 67	imbi12d 688	. . . . . . . . 9 |- (y = {c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} -> ((U.J = U.y -> E.v e. (~Py i^i Fin)U.J = U.v) <-> (U.J = U.{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} -> E.v e. (~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} i^i Fin)U.J = U.v)))
69	68	rcla4v 2376	. . . . . . . 8 |- ({c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} e. ~PJ -> (A.y e. ~P J(U.J = U.y -> E.v e. (~Py i^i Fin)U.J = U.v) -> (U.J = U.{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} -> E.v e. (~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} i^i Fin)U.J = U.v)))
70	56, 62, 69	3syl 24	. . . . . . 7 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> (A.y e. ~P J(U.J = U.y -> E.v e. (~Py i^i Fin)U.J = U.v) -> (U.J = U.{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} -> E.v e. (~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} i^i Fin)U.J = U.v)))
71	49, 70	mpid 58	. . . . . 6 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> (A.y e. ~P J(U.J = U.y -> E.v e. (~Py i^i Fin)U.J = U.v) -> E.v e. (~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} i^i Fin)U.J = U.v))
72		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (U.J = X -> (U.J = U.v <-> X = U.v))
73	72	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (U.J = X -> (U.J = U.v -> X = U.v))
74	4, 73	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> (U.J = U.v -> X = U.v))
75	74	imp 377	. . . . . . . . . . . 12 |- (((M e. Met /\ d e. RR+) /\ U.J = U.v) -> X = U.v)
76	75	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . 11 |- (((M e. Met /\ d e. RR+) /\ U.J = U.v) -> U.v = X)
77	76	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> (U.J = U.v -> U.v = X))
78		elelpwi 3040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((b e. v /\ v e. ~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)}) -> b e. {c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)})
79		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- b e. _V
80		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (c = b -> (c = (x( ball ` M)d) <-> b = (x( ball ` M)d)))
81	80	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (c = b -> (E.x e. X c = (x( ball ` M)d) <-> E.x e. X b = (x( ball ` M)d)))
82	79, 81	elab 2403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (b e. {c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} <-> E.x e. X b = (x( ball ` M)d))
83	78, 82	sylib 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((b e. v /\ v e. ~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)}) -> E.x e. X b = (x( ball ` M)d))
84	83	ancoms 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ((v e. ~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} /\ b e. v) -> E.x e. X b = (x( ball ` M)d))
85	84	r19.21aiva 2176	. . . . . . . . . . 11 |- (v e. ~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} -> A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)d))
86	85	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> (v e. ~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} -> A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)d)))
87	77, 86	anim12d 617	. . . . . . . . 9 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> ((U.J = U.v /\ v e. ~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)}) -> (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)d))))
88	87	ancomsd 485	. . . . . . . 8 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> ((v e. ~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} /\ U.J = U.v) -> (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)d))))
89	88	reximdv 2202	. . . . . . 7 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> (E.v e. Fin (v e. ~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} /\ U.J = U.v) -> E.v e. Fin (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)d))))
90		elin 2786	. . . . . . . . . . 11 |- (v e. (~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} i^i Fin) <-> (v e. ~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} /\ v e. Fin))
91		ancom 482	. . . . . . . . . . 11 |- ((v e. ~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} /\ v e. Fin) <-> (v e. Fin /\ v e. ~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)}))
92	90, 91	bitri 190	. . . . . . . . . 10 |- (v e. (~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} i^i Fin) <-> (v e. Fin /\ v e. ~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)}))
93	92	anbi1i 539	. . . . . . . . 9 |- ((v e. (~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} i^i Fin) /\ U.J = U.v) <-> ((v e. Fin /\ v e. ~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)}) /\ U.J = U.v))
94		anass 487	. . . . . . . . 9 |- (((v e. Fin /\ v e. ~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)}) /\ U.J = U.v) <-> (v e. Fin /\ (v e. ~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} /\ U.J = U.v)))
95	93, 94	bitri 190	. . . . . . . 8 |- ((v e. (~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} i^i Fin) /\ U.J = U.v) <-> (v e. Fin /\ (v e. ~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} /\ U.J = U.v)))
96	95	rexbii2 2132	. . . . . . 7 |- (E.v e. (~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} i^i Fin)U.J = U.v <-> E.v e. Fin (v e. ~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} /\ U.J = U.v))
97	89, 96	syl5ib 223	. . . . . 6 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> (E.v e. (~P{c | E.x e. X c = (x( ball ` M)d)} i^i Fin)U.J = U.v -> E.v e. Fin (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)d))))
98	71, 97	syld 30	. . . . 5 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> (A.y e. ~P J(U.J = U.y -> E.v e. (~Py i^i Fin)U.J = U.v) -> E.v e. Fin (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)d))))
99		iscomp 10330	. . . . . 6 |- (J e. Comp <-> (J e. Top /\ A.y e. ~P J(U.J = U.y -> E.v e. (~Py i^i Fin)U.J = U.v)))
100	99	simprbi 353	. . . . 5 |- (J e. Comp -> A.y e. ~P J(U.J = U.y -> E.v e. (~Py i^i Fin)U.J = U.v))
101	98, 100	syl5 20	. . . 4 |- ((M e. Met /\ d e. RR+) -> (J e. Comp -> E.v e. Fin (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)d))))
102	101	r19.21adva 2182	. . 3 |- (M e. Met -> (J e. Comp -> A.d e. RR+ E.v e. Fin (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)d))))
103	1	istotbnd2 15934	. . 3 |- (M e. Met -> (M e. TotBnd <-> A.d e. RR+ E.v e. Fin (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)d))))
104	102, 103	sylibrd 221	. 2 |- (M e. Met -> (J e. Comp -> M e. TotBnd))
105	104	imp 377	1 |- ((M e. Met /\ J e. Comp) -> M e. TotBnd)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Fincfn 5426  RRcr 6385  0cc0 6386  RR+crp 6453   < clt 6653  Topctop 8857  Metcme 9066   ball cbl 9068  Opencopn 9069  Compccomp 10328  TotBndctotbnd 15930

This theorem is referenced by:  heibor 15997

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-rp 7232  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-comp 10329  df-totbnd 15932

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