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Theorem heibor1lem 30281
Description: Lemma for heibor1 30282. A compact metric space is complete. This proof works by considering the collection  cls ( F " ( ZZ>=
`  n ) ) for each  n  e.  NN, which has the finite intersection property because any finite intersection of upper integer sets is another upper integer set, so any finite intersection of the image closures will contain  ( F "
( ZZ>= `  m )
) for some  m. Thus, by compactness, the intersection contains a point  y, which must then be the convergent point of  F. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
heibor1.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
heibor1.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
heibor1.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
heibor1.6  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
Assertion
Ref Expression
heibor1lem  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)

Proof of Theorem heibor1lem
Dummy variables  n  y  k  r  u  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor1.4 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
2 heibor1.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3 metxmet 20815 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
42, 3syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
5 heibor.1 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
65mopntop 20921 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
74, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
8 imassrn 5338 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" u )  C_  ran  F
9 heibor1.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
10 frn 5727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : NN --> X  ->  ran  F  C_  X )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  X
)
125mopnuni 20922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
134, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1411, 13sseqtrd 3525 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  U. J
)
158, 14syl5ss 3500 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F " u
)  C_  U. J )
16 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1716clscld 19526 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F " u ) 
C_  U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
187, 15, 17syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
19 eleq1a 2526 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  ->  k  e.  (
Clsd `  J )
) )
2018, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
k  e.  ( Clsd `  J ) ) )
2120rexlimdvw 2938 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
k  e.  ( Clsd `  J ) ) )
2221abssdv 3559 . . . 4  |-  ( ph  ->  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } 
C_  ( Clsd `  J
) )
23 fvex 5866 . . . . 5  |-  ( Clsd `  J )  e.  _V
2423elpw2 4601 . . . 4  |-  ( { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  e.  ~P ( Clsd `  J )  <->  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  C_  ( Clsd `  J ) )
2522, 24sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  e.  ~P ( Clsd `  J ) )
26 elin 3672 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  ( ~P {
k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  i^i  Fin )  <->  ( r  e.  ~P { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  /\  r  e.  Fin ) )
27 selpw 4004 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  ~P { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  <-> 
r  C_  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) } )
28 ssabral 3556 . . . . . . . . 9  |-  ( r 
C_  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  <->  A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )
2927, 28bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  ~P { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  <->  A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )
3029anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  ~P {
k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  /\  r  e.  Fin ) 
<->  ( A. k  e.  r  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  r  e.  Fin )
)
3126, 30bitri 249 . . . . . 6  |-  ( r  e.  ( ~P {
k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  i^i  Fin )  <->  ( A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  r  e.  Fin )
)
32 raleq 3040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  (/)  ->  ( A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  <->  A. k  e.  (/)  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) ) )
3332anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  <-> 
( ph  /\  A. k  e.  (/)  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) ) ) )
34 inteq 4274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  (/)  ->  |^| m  =  |^| (/) )
3534sseq2d 3517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  (/)  ->  ( ( F " k ) 
C_  |^| m  <->  ( F " k )  C_  |^| (/) ) )
3635rexbidv 2954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  (/)  ->  ( E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| m  <->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| (/) ) )
3733, 36imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| m )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  (/)  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| (/) ) ) )
38 raleq 3040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  y  ->  ( A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  <->  A. k  e.  y  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) ) )
3938anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  y  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  <-> 
( ph  /\  A. k  e.  y  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) ) ) )
40 inteq 4274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  y  ->  |^| m  =  |^| y )
4140sseq2d 3517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  y  ->  (
( F " k
)  C_  |^| m  <->  ( F " k )  C_  |^| y
) )
4241rexbidv 2954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  y  ->  ( E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| m  <->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| y
) )
4339, 42imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  y  ->  (
( ( ph  /\  A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| m )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  y  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| y ) ) )
44 raleq 3040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( y  u. 
{ n } )  ->  ( A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  <->  A. k  e.  ( y  u.  {
n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) ) )
4544anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( y  u. 
{ n } )  ->  ( ( ph  /\ 
A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )  <->  ( ph  /\ 
A. k  e.  ( y  u.  { n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) ) ) )
46 inteq 4274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( y  u. 
{ n } )  ->  |^| m  =  |^| ( y  u.  {
n } ) )
4746sseq2d 3517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( y  u. 
{ n } )  ->  ( ( F
" k )  C_  |^| m  <->  ( F "
k )  C_  |^| (
y  u.  { n } ) ) )
4847rexbidv 2954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( y  u. 
{ n } )  ->  ( E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| m  <->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) )
4945, 48imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( y  u. 
{ n } )  ->  ( ( (
ph  /\  A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| m )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  ( y  u.  {
n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| (
y  u.  { n } ) ) ) )
50 raleq 3040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  r  ->  ( A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  <->  A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) ) )
5150anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  r  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  <-> 
( ph  /\  A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) ) ) )
52 inteq 4274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  r  ->  |^| m  =  |^| r )
5352sseq2d 3517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  r  ->  (
( F " k
)  C_  |^| m  <->  ( F " k )  C_  |^| r
) )
5453rexbidv 2954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  r  ->  ( E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| m  <->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| r
) )
5551, 54imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  r  ->  (
( ( ph  /\  A. k  e.  m  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| m )  <->  ( ( ph  /\  A. k  e.  r  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| r ) ) )
56 uzf 11095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
57 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  ZZ>=  Fn  ZZ )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ZZ>=  Fn  ZZ
59 0z 10882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ZZ
60 fnfvelrn 6013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ZZ>=  Fn  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>=
`  0 )  e. 
ran  ZZ>= )
6158, 59, 60mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
0 )  e.  ran  ZZ>=
62 ssv 3509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F
" ( ZZ>= `  0
) )  C_  _V
63 int0 4285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  |^| (/)  =  _V
6462, 63sseqtr4i 3522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F
" ( ZZ>= `  0
) )  C_  |^| (/)
65 imaeq2 5323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( F " k )  =  ( F " ( ZZ>= ` 
0 ) ) )
6665sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ( F " k )  C_  |^| (/) 
<->  ( F " ( ZZ>=
`  0 ) ) 
C_  |^| (/) ) )
6766rspcev 3196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ZZ>= `  0 )  e.  ran  ZZ>=  /\  ( F " ( ZZ>= `  0 )
)  C_  |^| (/) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| (/) )
6861, 64, 67mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| (/)
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  (/)  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| (/) )
70 ssun1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  C_  ( y  u.  {
n } )
71 ssralv 3549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ n } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  ->  A. k  e.  y  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) ) )
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  ->  A. k  e.  y  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )
7372anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( y  u.  {
n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )  ->  ( ph  /\ 
A. k  e.  y  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) ) )
7473imim1i 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  y  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| y )  -> 
( ( ph  /\  A. k  e.  ( y  u.  { n }
) E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| y ) )
75 ssun2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { n }  C_  ( y  u. 
{ n } )
76 ssralv 3549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { n }  C_  (
y  u.  { n } )  ->  ( A. k  e.  (
y  u.  { n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  ->  A. k  e.  { n } E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) ) )
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  ->  A. k  e.  { n } E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )
78 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  n  e. 
_V
79 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  (
k  =  ( ( cls `  J ) `
 ( F "
u ) )  <->  n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) ) )
8079rexbidv 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  ( E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  <->  E. u  e.  ran  ZZ>= n  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) ) )
8178, 80ralsn 4053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  { n } E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  <->  E. u  e.  ran  ZZ>= n  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )
8277, 81sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  ->  E. u  e.  ran  ZZ>= n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )
83 uzin2 13159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( u  e.  ran  ZZ>=  /\  k  e.  ran  ZZ>= )  -> 
( u  i^i  k
)  e.  ran  ZZ>= )
848, 11syl5ss 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( F " u
)  C_  X )
8584, 13sseqtrd 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( F " u
)  C_  U. J )
8616sscls 19535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F " u ) 
C_  U. J )  -> 
( F " u
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )
877, 85, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( F " u
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )
88 sseq2 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  ->  ( ( F
" u )  C_  n 
<->  ( F " u
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) ) )
8987, 88syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
( F " u
)  C_  n )
)
90 inss2 3704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  i^i  k )  C_  k
91 inss1 3703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  i^i  k )  C_  u
92 imass2 5362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( u  i^i  k ) 
C_  k  ->  ( F " ( u  i^i  k ) )  C_  ( F " k ) )
93 imass2 5362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( u  i^i  k ) 
C_  u  ->  ( F " ( u  i^i  k ) )  C_  ( F " u ) )
9492, 93anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( u  i^i  k
)  C_  k  /\  ( u  i^i  k
)  C_  u )  ->  ( ( F "
( u  i^i  k
) )  C_  ( F " k )  /\  ( F " ( u  i^i  k ) ) 
C_  ( F "
u ) ) )
95 ssin 3705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( F " (
u  i^i  k )
)  C_  ( F " k )  /\  ( F " ( u  i^i  k ) )  C_  ( F " u ) )  <->  ( F "
( u  i^i  k
) )  C_  (
( F " k
)  i^i  ( F " u ) ) )
9694, 95sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( u  i^i  k
)  C_  k  /\  ( u  i^i  k
)  C_  u )  ->  ( F " (
u  i^i  k )
)  C_  ( ( F " k )  i^i  ( F " u
) ) )
9790, 91, 96mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( F
" ( u  i^i  k ) )  C_  ( ( F "
k )  i^i  ( F " u ) )
98 ss2in 3710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F " k
)  C_  |^| y  /\  ( F " u ) 
C_  n )  -> 
( ( F "
k )  i^i  ( F " u ) ) 
C_  ( |^| y  i^i  n ) )
9997, 98syl5ss 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F " k
)  C_  |^| y  /\  ( F " u ) 
C_  n )  -> 
( F " (
u  i^i  k )
)  C_  ( |^| y  i^i  n ) )
10078intunsn 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  |^| (
y  u.  { n } )  =  (
|^| y  i^i  n
)
10199, 100syl6sseqr 3536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F " k
)  C_  |^| y  /\  ( F " u ) 
C_  n )  -> 
( F " (
u  i^i  k )
)  C_  |^| ( y  u.  { n }
) )
102101expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F " u ) 
C_  n  ->  (
( F " k
)  C_  |^| y  -> 
( F " (
u  i^i  k )
)  C_  |^| ( y  u.  { n }
) ) )
10389, 102syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
( ( F "
k )  C_  |^| y  ->  ( F " (
u  i^i  k )
)  C_  |^| ( y  u.  { n }
) ) ) )
104103impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  ( F " k ) 
C_  |^| y )  -> 
( F " (
u  i^i  k )
)  C_  |^| ( y  u.  { n }
) ) )
105 imaeq2 5323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  ( u  i^i  k )  ->  ( F " m )  =  ( F " (
u  i^i  k )
) )
106105sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  ( u  i^i  k )  ->  (
( F " m
)  C_  |^| ( y  u.  { n }
)  <->  ( F "
( u  i^i  k
) )  C_  |^| (
y  u.  { n } ) ) )
107106rspcev 3196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( u  i^i  k
)  e.  ran  ZZ>=  /\  ( F " ( u  i^i  k ) ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) )  ->  E. m  e.  ran  ZZ>= ( F "
m )  C_  |^| (
y  u.  { n } ) )
108107expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F " ( u  i^i  k ) ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } )  ->  ( ( u  i^i  k )  e. 
ran  ZZ>=  ->  E. m  e.  ran  ZZ>= ( F " m ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) )
109104, 108syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  ( F " k ) 
C_  |^| y )  -> 
( ( u  i^i  k )  e.  ran  ZZ>=  ->  E. m  e.  ran  ZZ>= ( F " m ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) ) )
110109com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( u  i^i  k )  e.  ran  ZZ>=  ->  ( ( n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  ( F " k ) 
C_  |^| y )  ->  E. m  e.  ran  ZZ>= ( F " m ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) ) )
11183, 110syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
ran  ZZ>=  /\  k  e.  ran  ZZ>= )  ->  (
( n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  ( F " k ) 
C_  |^| y )  ->  E. m  e.  ran  ZZ>= ( F " m ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) ) )
112111rexlimdvv 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( E. u  e. 
ran  ZZ>= E. k  e.  ran  ZZ>= ( n  =  (
( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  ( F " k ) 
C_  |^| y )  ->  E. m  e.  ran  ZZ>= ( F " m ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) )
113 reeanv 3011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. u  e.  ran  ZZ>= E. k  e.  ran  ZZ>= ( n  =  ( ( cls `  J ) `
 ( F "
u ) )  /\  ( F " k ) 
C_  |^| y )  <->  ( E. u  e.  ran  ZZ>= n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| y ) )
114 imaeq2 5323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  k  ->  ( F " m )  =  ( F " k
) )
115114sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  k  ->  (
( F " m
)  C_  |^| ( y  u.  { n }
)  <->  ( F "
k )  C_  |^| (
y  u.  { n } ) ) )
116115cbvrexv 3071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. m  e.  ran  ZZ>= ( F " m ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } )  <->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) )
117112, 113, 1163imtr3g 269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( E. u  e.  ran  ZZ>= n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| y )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) )
118117expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( E. u  e. 
ran  ZZ>= n  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
( E. k  e. 
ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| y  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) ) )
11982, 118syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  ->  ( E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| y  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) ) )
120119imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  ( y  u.  {
n } ) E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )  ->  ( E. k  e.  ran  ZZ>= ( F
" k )  C_  |^| y  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| (
y  u.  { n } ) ) )
12174, 120sylcom 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  y  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| y )  -> 
( ( ph  /\  A. k  e.  ( y  u.  { n }
) E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) )
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( ph  /\  A. k  e.  y  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| y )  -> 
( ( ph  /\  A. k  e.  ( y  u.  { n }
) E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| ( y  u. 
{ n } ) ) ) )
12337, 43, 49, 55, 69, 122findcard2 7762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| r ) )
124123com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  ( r  e. 
Fin  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| r ) )
125124impr 619 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  r  e.  Fin )
)  ->  E. k  e.  ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| r
)
126 ffn 5721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : NN --> X  ->  F  Fn  NN )
1279, 126syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
128 inss1 3703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  i^i  NN )  C_  k
129 imass2 5362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  i^i  NN ) 
C_  k  ->  ( F " ( k  i^i 
NN ) )  C_  ( F " k ) )
130128, 129ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F
" ( k  i^i 
NN ) )  C_  ( F " k )
131 nnuz 11127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
132 1z 10901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  ZZ
133 fnfvelrn 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ZZ>=  Fn  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>=
`  1 )  e. 
ran  ZZ>= )
13458, 132, 133mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  e.  ran  ZZ>=
135131, 134eqeltri 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN  e.  ran  ZZ>=
136 uzin2 13159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ran  ZZ>=  /\  NN  e.  ran  ZZ>= )  -> 
( k  i^i  NN )  e.  ran  ZZ>= )
137135, 136mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ran  ZZ>=  ->  (
k  i^i  NN )  e.  ran  ZZ>= )
138 uzn0 11107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  i^i  NN )  e.  ran  ZZ>=  ->  (
k  i^i  NN )  =/=  (/) )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ran  ZZ>=  ->  (
k  i^i  NN )  =/=  (/) )
140 n0 3780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  i^i  NN )  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  ( k  i^i  NN ) )
141139, 140sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ran  ZZ>=  ->  E. y 
y  e.  ( k  i^i  NN ) )
142 fnfun 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  Fn  NN  ->  Fun  F )
143 inss2 3704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  i^i  NN )  C_  NN
144 fndm 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  Fn  NN  ->  dom  F  =  NN )
145143, 144syl5sseqr 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  Fn  NN  ->  (
k  i^i  NN )  C_ 
dom  F )
146 funfvima2 6133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Fun  F  /\  (
k  i^i  NN )  C_ 
dom  F )  -> 
( y  e.  ( k  i^i  NN )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( k  i^i  NN ) ) ) )
147142, 145, 146syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  Fn  NN  ->  (
y  e.  ( k  i^i  NN )  -> 
( F `  y
)  e.  ( F
" ( k  i^i 
NN ) ) ) )
148 ne0i 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  y )  e.  ( F "
( k  i^i  NN ) )  ->  ( F " ( k  i^i 
NN ) )  =/=  (/) )
149147, 148syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  NN  ->  (
y  e.  ( k  i^i  NN )  -> 
( F " (
k  i^i  NN )
)  =/=  (/) ) )
150149exlimdv 1711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  NN  ->  ( E. y  y  e.  ( k  i^i  NN )  ->  ( F "
( k  i^i  NN ) )  =/=  (/) ) )
151141, 150syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  NN  ->  (
k  e.  ran  ZZ>=  -> 
( F " (
k  i^i  NN )
)  =/=  (/) ) )
152151imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  k  e.  ran  ZZ>= )  -> 
( F " (
k  i^i  NN )
)  =/=  (/) )
153 ssn0 3804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F " (
k  i^i  NN )
)  C_  ( F " k )  /\  ( F " ( k  i^i 
NN ) )  =/=  (/) )  ->  ( F
" k )  =/=  (/) )
154130, 152, 153sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  k  e.  ran  ZZ>= )  -> 
( F " k
)  =/=  (/) )
155 ssn0 3804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F " k
)  C_  |^| r  /\  ( F " k )  =/=  (/) )  ->  |^| r  =/=  (/) )
156155expcom 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " k )  =/=  (/)  ->  ( ( F " k )  C_  |^| r  ->  |^| r  =/=  (/) ) )
157154, 156syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  k  e.  ran  ZZ>= )  -> 
( ( F "
k )  C_  |^| r  ->  |^| r  =/=  (/) ) )
158157rexlimdva 2935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  NN  ->  ( E. k  e.  ran  ZZ>= ( F " k ) 
C_  |^| r  ->  |^| r  =/=  (/) ) )
159127, 158syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. k  e. 
ran  ZZ>= ( F "
k )  C_  |^| r  ->  |^| r  =/=  (/) ) )
160159adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  r  e.  Fin )
)  ->  ( E. k  e.  ran  ZZ>= ( F
" k )  C_  |^| r  ->  |^| r  =/=  (/) ) )
161125, 160mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  r  e.  Fin )
)  ->  |^| r  =/=  (/) )
162161necomd 2714 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  r  e.  Fin )
)  ->  (/)  =/=  |^| r )
163162neneqd 2645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A. k  e.  r  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  /\  r  e.  Fin )
)  ->  -.  (/)  =  |^| r )
16431, 163sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ~P { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  i^i  Fin ) )  ->  -.  (/)  =  |^| r )
165164nrexdv 2899 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  E. r  e.  ( ~P { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  i^i  Fin ) (/)  =  |^| r )
166 0ex 4567 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
167 zex 10880 . . . . . . . 8  |-  ZZ  e.  _V
168167pwex 4620 . . . . . . 7  |-  ~P ZZ  e.  _V
169 frn 5727 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  ran  ZZ>=  C_  ~P ZZ )
17056, 169ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ran  ZZ>=  C_  ~P ZZ
171168, 170ssexi 4582 . . . . . 6  |-  ran  ZZ>=  e. 
_V
172171abrexex 6759 . . . . 5  |-  { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  e.  _V
173 elfi 7875 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  {
k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  e.  _V )  -> 
( (/)  e.  ( fi
`  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) } )  <->  E. r  e.  ( ~P { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  i^i  Fin ) (/)  =  |^| r ) )
174166, 172, 173mp2an 672 . . . 4  |-  ( (/)  e.  ( fi `  {
k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } )  <->  E. r  e.  ( ~P { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  i^i  Fin ) (/)  =  |^| r
)
175165, 174sylnibr 305 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  (/)  e.  ( fi
`  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) } ) )
176 cmptop 19873 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
177 cmpfi 19886 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Comp  <->  A. m  e.  ~P  ( Clsd `  J
) ( -.  (/)  e.  ( fi `  m )  ->  |^| m  =/=  (/) ) ) )
178176, 177syl 16 . . . . 5  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( J  e.  Comp  <->  A. m  e.  ~P  ( Clsd `  J )
( -.  (/)  e.  ( fi `  m )  ->  |^| m  =/=  (/) ) ) )
179178ibi 241 . . . 4  |-  ( J  e.  Comp  ->  A. m  e.  ~P  ( Clsd `  J
) ( -.  (/)  e.  ( fi `  m )  ->  |^| m  =/=  (/) ) )
180 fveq2 5856 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  ->  ( fi `  m )  =  ( fi `  {
k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } ) )
181180eleq2d 2513 . . . . . . 7  |-  ( m  =  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  ->  ( (/) 
e.  ( fi `  m )  <->  (/)  e.  ( fi `  { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } ) ) )
182181notbid 294 . . . . . 6  |-  ( m  =  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  m )  <->  -.  (/)  e.  ( fi `  { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } ) ) )
183 inteq 4274 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  ->  |^| m  =  |^| { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) } )
184183neeq1d 2720 . . . . . . 7  |-  ( m  =  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  ->  ( |^| m  =/=  (/)  <->  |^| { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  =/=  (/) ) )
185 n0 3780 . . . . . . 7  |-  ( |^| { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  =/=  (/)  <->  E. y  y  e. 
|^| { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } )
186184, 185syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( m  =  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  ->  ( |^| m  =/=  (/)  <->  E. y 
y  e.  |^| { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } ) )
187182, 186imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( m  =  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  ->  (
( -.  (/)  e.  ( fi `  m )  ->  |^| m  =/=  (/) )  <->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } )  ->  E. y 
y  e.  |^| { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } ) ) )
188187rspccv 3193 . . . 4  |-  ( A. m  e.  ~P  ( Clsd `  J ) ( -.  (/)  e.  ( fi
`  m )  ->  |^| m  =/=  (/) )  -> 
( { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  e.  ~P ( Clsd `  J )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi `  { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } )  ->  E. y 
y  e.  |^| { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } ) ) )
189179, 188syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  e.  ~P ( Clsd `  J )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) } )  ->  E. y  y  e.  |^|
{ k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } ) ) )
1901, 25, 175, 189syl3c 61 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  y  e. 
|^| { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } )
191 lmrel 19709 . . 3  |-  Rel  ( ~~> t `  J )
192 r19.23v 2923 . . . . . 6  |-  ( A. u  e.  ran  ZZ>= ( k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  ->  y  e.  k )  <->  ( E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  k ) )
193192albii 1627 . . . . 5  |-  ( A. k A. u  e.  ran  ZZ>= ( k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  k )  <->  A. k ( E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  k ) )
194 fvex 5866 . . . . . . . 8  |-  ( ( cls `  J ) `
 ( F "
u ) )  e. 
_V
195 eleq2 2516 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  ->  ( y  e.  k  <->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) ) )
196194, 195ceqsalv 3123 . . . . . . 7  |-  ( A. k ( k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  k )  <-> 
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 ( F "
u ) ) )
197196ralbii 2874 . . . . . 6  |-  ( A. u  e.  ran  ZZ>= A. k
( k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  k )  <->  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) )
198 ralcom4 3114 . . . . . 6  |-  ( A. u  e.  ran  ZZ>= A. k
( k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  k )  <->  A. k A. u  e. 
ran  ZZ>= ( k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  k ) )
199197, 198bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  <->  A. k A. u  e.  ran  ZZ>= ( k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  k ) )
200 vex 3098 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
201200elintab 4282 . . . . 5  |-  ( y  e.  |^| { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  <->  A. k
( E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  k ) )
202193, 199, 2013bitr4i 277 . . . 4  |-  ( A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  <->  y  e.  |^|
{ k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } )
203 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( cls `  J ) `
 ( F " NN ) )  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )
204 imaeq2 5323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  NN  ->  ( F " u )  =  ( F " NN ) )
205204fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  NN  ->  (
( cls `  J
) `  ( F " u ) )  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) ) )
206205eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  NN  ->  (
( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  <->  ( ( cls `  J ) `  ( F " NN ) )  =  ( ( cls `  J ) `
 ( F " NN ) ) ) )
207206rspcev 3196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( NN  e.  ran  ZZ>=  /\  ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) ) )  ->  E. u  e.  ran  ZZ>= ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )
208135, 203, 207mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  E. u  e.  ran  ZZ>= ( ( cls `  J ) `  ( F " NN ) )  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )
209 fvex 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( cls `  J ) `
 ( F " NN ) )  e.  _V
210 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " NN ) )  ->  ( k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  <->  ( ( cls `  J ) `  ( F " NN ) )  =  ( ( cls `  J ) `
 ( F "
u ) ) ) )
211210rexbidv 2954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " NN ) )  ->  ( E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  <->  E. u  e.  ran  ZZ>= ( ( cls `  J ) `  ( F " NN ) )  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) ) )
212209, 211elab 3232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )  e. 
{ k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  <->  E. u  e.  ran  ZZ>= ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )
213208, 212mpbir 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( cls `  J ) `
 ( F " NN ) )  e.  {
k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }
214 intss1 4286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )  e. 
{ k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) }  ->  |^| { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  C_  (
( cls `  J
) `  ( F " NN ) ) )
215213, 214ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  |^| { k  |  E. u  e. 
ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( F " NN ) )
216 imassrn 5338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" NN )  C_  ran  F
217216, 14syl5ss 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F " NN )  C_  U. J )
21816clsss3 19538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F " NN ) 
C_  U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )  C_  U. J )
2197, 217, 218syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )  C_  U. J )
220219, 13sseqtr4d 3526 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  ( F " NN ) )  C_  X )
221215, 220syl5ss 3500 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  |^| { k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) ) }  C_  X
)
222221sselda 3489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  |^|
{ k  |  E. u  e.  ran  ZZ>= k  =  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) } )  ->  y  e.  X )
223202, 222sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  y  e.  X
)
224 heibor1.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
225 1zzd 10902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
226131, 4, 225iscau3 21695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. y  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
y ) ) ) )
227224, 226mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. y  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
y ) ) )
228227simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
y ) )
229 simp3 999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
y )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  y )
230229ralimi 2836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
y )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 n ) )  <  y )
231230reximi 2911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
y )  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 n ) )  <  y )
232231ralimi 2836 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. n  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 n ) )  <  y )  ->  A. y  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 n ) )  <  y )
233228, 232syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  y )
234233adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  ->  A. y  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  y )
235 rphalfcl 11255 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
236 breq2 4441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( r  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  y  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
( r  /  2
) ) )
2372362ralbidv 2887 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( r  / 
2 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
y  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
( r  /  2
) ) )
238237rexbidv 2954 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( r  / 
2 )  ->  ( E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  y  <->  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 n ) )  <  ( r  / 
2 ) ) )
239238rspccva 3195 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  RR+  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  y  /\  ( r  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  ( r  /  2 ) )
240234, 235, 239syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. m  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  ( r  /  2 ) )
241 ffun 5723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : NN --> X  ->  Fun  F )
2429, 241syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  F )
243242ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  Fun  F )
2447ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  J  e.  Top )
245 imassrn 5338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F
" ( ZZ>= `  m
) )  C_  ran  F
246245, 14syl5ss 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F " ( ZZ>=
`  m ) ) 
C_  U. J )
247246ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  ( F " ( ZZ>= `  m
) )  C_  U. J
)
248 nnz 10893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
249 fnfvelrn 6013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ZZ>=  Fn  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>=
`  m )  e. 
ran  ZZ>= )
25058, 248, 249sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  m )  e. 
ran  ZZ>= )
251250ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  ( ZZ>=
`  m )  e. 
ran  ZZ>= )
252 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )
253 imaeq2 5323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( F " u )  =  ( F " ( ZZ>= `  m ) ) )
254253fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( F " u ) )  =  ( ( cls `  J ) `
 ( F "
( ZZ>= `  m )
) ) )
255254eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  <->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " ( ZZ>= `  m )
) ) ) )
256255rspcv 3192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ZZ>= `  m )  e. 
ran  ZZ>=  ->  ( A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) )  -> 
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 ( F "
( ZZ>= `  m )
) ) ) )
257251, 252, 256sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " ( ZZ>= `  m )
) ) )
2584ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
259223adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  y  e.  X )
260235ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR+ )
261260rpxrd 11268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR* )
2625blopn 20981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J )
263258, 259, 261, 262syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  e.  J )
264 blcntr 20894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
265258, 259, 260, 264syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )
26616clsndisj 19554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( F " ( ZZ>=
`  m ) ) 
C_  U. J  /\  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " ( ZZ>= `  m )
) ) )  /\  ( ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) )  e.  J  /\  y  e.  (
y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( F " ( ZZ>=
`  m ) ) )  =/=  (/) )
267244, 247, 257, 263, 265, 266syl32anc 1237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( F "
( ZZ>= `  m )
) )  =/=  (/) )
268 n0 3780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( F "
( ZZ>= `  m )
) )  =/=  (/)  <->  E. n  n  e.  ( (
y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( F " ( ZZ>=
`  m ) ) ) )
269 inss2 3704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( F " ( ZZ>=
`  m ) ) )  C_  ( F " ( ZZ>= `  m )
)
270269sseli 3485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( F " ( ZZ>=
`  m ) ) )  ->  n  e.  ( F " ( ZZ>= `  m ) ) )
271 fvelima 5910 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  n  e.  ( F " ( ZZ>=
`  m ) ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( F `  k
)  =  n )
272270, 271sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  n  e.  ( ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  ( F " ( ZZ>= `  m
) ) ) )  ->  E. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( F `  k )  =  n )
273 inss1 3703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( F " ( ZZ>=
`  m ) ) )  C_  ( y
( ball `  D )
( r  /  2
) )
274273sseli 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( F " ( ZZ>=
`  m ) ) )  ->  n  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )
275274adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  F  /\  n  e.  ( ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  ( F " ( ZZ>= `  m
) ) ) )  ->  n  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
276 eleq1a 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) )  ->  (
( F `  k
)  =  n  -> 
( F `  k
)  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
277275, 276syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  n  e.  ( ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  ( F " ( ZZ>= `  m
) ) ) )  ->  ( ( F `
 k )  =  n  ->  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
278277reximdv 2917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  n  e.  ( ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  ( F " ( ZZ>= `  m
) ) ) )  ->  ( E. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( F `  k
)  =  n  ->  E. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( F `  k )  e.  ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) ) ) )
279272, 278mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  F  /\  n  e.  ( ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  ( F " ( ZZ>= `  m
) ) ) )  ->  E. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( F `  k )  e.  ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )
280279ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun 
F  ->  ( n  e.  ( ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  ( F " ( ZZ>= `  m
) ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( F `  k )  e.  ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) ) ) )
281280exlimdv 1711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  ( E. n  n  e.  (
( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( F "
( ZZ>= `  m )
) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( F `  k
)  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
282268, 281syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( (
( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( F "
( ZZ>= `  m )
) )  =/=  (/)  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( F `  k
)  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
283243, 267, 282sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( F `  k
)  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
284 r19.29 2978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
( r  /  2
)  /\  E. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( F `  k
)  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )  ->  E. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( A. n  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 n ) )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )
285 uznnssnn 11139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  m )  C_  NN )
286285ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( ZZ>= `  m )  C_  NN )
287 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )
2884ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
289 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  r  e.  RR+ )
290289, 235syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR+ )
291290rpxrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR* )
292 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  y  e.  X )
2939ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  F : NN --> X )
294 eluznn 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
k  e.  NN )
295294ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k
)  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
296295ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  k  e.  NN )
297293, 296ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  ( F `  k )  e.  X )
298 elbl3 20873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( r  /  2 )  e. 
RR* )  /\  (
y  e.  X  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( ( F `
 k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  <-> 
( ( F `  k ) D y )  <  ( r  /  2 ) ) )
299288, 291, 292, 297, 298syl22anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( F `  k
)  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  <->  ( ( F `  k ) D y )  < 
( r  /  2
) ) )
300287, 299mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( F `  k
) D y )  <  ( r  / 
2 ) )
3012ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
302 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  k )
)
303 eluznn 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k ) )  ->  n  e.  NN )
304296, 302, 303syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  n  e.  NN )
305293, 304ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  ( F `  n )  e.  X )
306 metcl 20813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 n ) )  e.  RR )
307301, 297, 305, 306syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 n ) )  e.  RR )
308 metcl 20813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( F `  k
) D y )  e.  RR )
309301, 297, 292, 308syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( F `  k
) D y )  e.  RR )
310290rpred 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR )
311 lt2add 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( F `
 k ) D ( F `  n
) )  e.  RR  /\  ( ( F `  k ) D y )  e.  RR )  /\  ( ( r  /  2 )  e.  RR  /\  ( r  /  2 )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
( r  /  2
)  /\  ( ( F `  k ) D y )  < 
( r  /  2
) )  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  k ) D y ) )  <  ( ( r  /  2 )  +  ( r  /  2
) ) ) )
312307, 309, 310, 310, 311syl22anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( ( ( F `
 k ) D ( F `  n
) )  <  (
r  /  2 )  /\  ( ( F `
 k ) D y )  <  (
r  /  2 ) )  ->  ( (
( F `  k
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 k ) D y ) )  < 
( ( r  / 
2 )  +  ( r  /  2 ) ) ) )
313300, 312mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  ( r  /  2 )  -> 
( ( ( F `
 k ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  k
) D y ) )  <  ( ( r  /  2 )  +  ( r  / 
2 ) ) ) )
314289rpcnd 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  r  e.  CC )
3153142halvesd 10791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( r  /  2
)  +  ( r  /  2 ) )  =  r )
316315breq2d 4449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( ( ( F `
 k ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  k
) D y ) )  <  ( ( r  /  2 )  +  ( r  / 
2 ) )  <->  ( (
( F `  k
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 k ) D y ) )  < 
r ) )
317313, 316sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  ( r  /  2 )  -> 
( ( ( F `
 k ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  k
) D y ) )  <  r ) )
318 mettri2 20822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  (
( F `  k
)  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  n ) D y )  <_  ( (
( F `  k
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 k ) D y ) ) )
319301, 297, 305, 292, 318syl13anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( F `  n
) D y )  <_  ( ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  k ) D y ) ) )
320 metcl 20813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  n )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( F `  n
) D y )  e.  RR )
321301, 305, 292, 320syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( F `  n
) D y )  e.  RR )
322307, 309readdcld 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  k ) D y ) )  e.  RR )
323289rpred 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  r  e.  RR )
324 lelttr 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F `  n ) D y )  e.  RR  /\  ( ( ( F `
 k ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  k
) D y ) )  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( ( ( F `  n ) D y )  <_ 
( ( ( F `
 k ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  k
) D y ) )  /\  ( ( ( F `  k
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 k ) D y ) )  < 
r )  ->  (
( F `  n
) D y )  <  r ) )
325321, 322, 323, 324syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( ( ( F `
 n ) D y )  <_  (
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  k ) D y ) )  /\  ( ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  k ) D y ) )  <  r
)  ->  ( ( F `  n ) D y )  < 
r ) )
326319, 325mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( ( ( F `
 k ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  k
) D y ) )  <  r  -> 
( ( F `  n ) D y )  <  r ) )
327317, 326syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
) )  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  ( r  /  2 )  -> 
( ( F `  n ) D y )  <  r ) )
328327anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( (
( F `  k
) D ( F `
 n ) )  <  ( r  / 
2 )  ->  (
( F `  n
) D y )  <  r ) )
329328ralimdva 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
( r  /  2
)  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  n ) D y )  <  r ) )
330329expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  ( r  /  2 )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  n
) D y )  <  r ) ) )
331330com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  < 
( r  /  2
)  ->  ( ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  n
) D y )  <  r ) ) )
332331impd 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 n ) )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( y ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  n ) D y )  <  r ) )
333332reximdva 2918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( E. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  ( r  /  2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  n ) D y )  < 
r ) )
334 ssrexv 3550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ZZ>= `  m )  C_  NN  ->  ( E. k  e.  ( ZZ>= `  m ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  n
) D y )  <  r  ->  E. k  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  n ) D y )  <  r ) )
335286, 333, 334sylsyld 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
r  e.  RR+  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( E. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( A. n  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  n ) )  <  ( r  /  2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( y (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )  ->  E. k  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  n ) D y )  < 
r ) )
336223, 335syldanl 30178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  ran  ZZ>= y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( F " u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  m