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Theorem heibor1 28849
Description: One half of heibor 28860, that does not require any Choice. A compact metric space is complete and totally bounded. We prove completeness in cmpcmet 20946 and total boundedness here, which follows trivially from the fact that the set of all  r-balls is an open cover of  X, so finitely many cover  X. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
heibor1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )

Proof of Theorem heibor1
Dummy variables  x  y  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  J  e.  Comp )
4 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  x  e.  ( Cau `  D ) )
5 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  x : NN --> X )
61, 2, 3, 4, 5heibor1lem 28848 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  x  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
76expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  x  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ( x : NN --> X  ->  x  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
87ralrimiva 2822 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  A. x  e.  ( Cau `  D
) ( x : NN --> X  ->  x  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
9 nnuz 10999 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
10 1z 10779 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  1  e.  ZZ )
12 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
139, 1, 11, 12iscmet3 20922 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  <->  A. x  e.  ( Cau `  D
) ( x : NN --> X  ->  x  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) ) )
148, 13mpbird 232 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
15 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  J  e.  Comp )
16 metxmet 20027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
17 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  X  ->  z  e.  X )
18 rpxr 11101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
191blopn 20193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( z ( ball `  D ) r )  e.  J )
2016, 17, 18, 19syl3an 1261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
z ( ball `  D
) r )  e.  J )
21203com23 1194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+  /\  z  e.  X )  ->  (
z ( ball `  D
) r )  e.  J )
22213expa 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  ( z
( ball `  D )
r )  e.  J
)
23 eleq1a 2534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z ( ball `  D
) r )  e.  J  ->  ( y  =  ( z (
ball `  D )
r )  ->  y  e.  J ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y  =  ( z (
ball `  D )
r )  ->  y  e.  J ) )
2524rexlimdva 2939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r )  ->  y  e.  J ) )
2625adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r )  ->  y  e.  J
) )
2726abssdv 3526 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  C_  J )
2816ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
291mopnuni 20134 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  X  =  U. J )
31 blcntr 20106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  z  e.  ( z ( ball `  D
) r ) )
3216, 31syl3an1 1252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  z  e.  ( z ( ball `  D ) r ) )
33323com23 1194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  ( z ( ball `  D ) r ) )
34333expa 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  z  e.  ( z ( ball `  D ) r ) )
35 ovex 6217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z ( ball `  D
) r )  e. 
_V
3635elabrex 6061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  X  ->  (
z ( ball `  D
) r )  e. 
{ y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  ( z
( ball `  D )
r )  e.  {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )
38 elunii 4196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( z ( ball `  D
) r )  /\  ( z ( ball `  D ) r )  e.  { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) } )  ->  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
3934, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
4039ralrimiva 2822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  X  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
4140adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  X  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } )
42 nfcv 2613 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ z X
43 nfre1 2883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r )
4443nfab 2617 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ z { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }
4544nfuni 4197 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ z U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }
4642, 45dfss3f 3448 . . . . . . . . . 10  |-  ( X 
C_  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  <->  A. z  e.  X  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
4741, 46sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  X  C_  U. {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )
4830, 47eqsstr3d 3491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U. J  C_  U. {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )
4927unissd 4215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  C_  U. J )
5048, 49eqssd 3473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U. J  =  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
51 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
5251cmpcov 19110 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  C_  J  /\  U. J  =  U. {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )  ->  E. x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  i^i  Fin ) U. J  =  U. x
)
5315, 27, 50, 52syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  i^i  Fin ) U. J  = 
U. x )
54 elin 3639 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  /\  x  e. 
Fin ) )
55 ancom 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  /\  x  e. 
Fin )  <->  ( x  e.  Fin  /\  x  e. 
~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) } ) )
5654, 55bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  Fin  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } ) )
5756anbi1i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. x )  <->  ( (
x  e.  Fin  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } )  /\  U. J  =  U. x ) )
58 anass 649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  Fin  /\  x  e.  ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )  /\  U. J  =  U. x
)  <->  ( x  e. 
Fin  /\  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  /\  U. J  =  U. x
) ) )
5957, 58bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. x )  <->  ( x  e.  Fin  /\  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  /\  U. J  = 
U. x ) ) )
6059rexbii2 2851 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }  i^i  Fin ) U. J  = 
U. x  <->  E. x  e.  Fin  ( x  e. 
~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  /\  U. J  =  U. x
) )
6153, 60sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  Fin  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }  /\  U. J  =  U. x
) )
62 ancom 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  /\  U. J  =  U. x )  <->  ( U. J  =  U. x  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } ) )
63 eqcom 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. x  =  X  <->  X  =  U. x )
6430eqeq1d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( X  = 
U. x  <->  U. J  = 
U. x ) )
6563, 64syl5rbb 258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( U. J  =  U. x  <->  U. x  =  X ) )
6665anbi1d 704 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( U. J  =  U. x  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )  <-> 
( U. x  =  X  /\  x  e. 
~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) } ) ) )
6762, 66syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  /\  U. J  = 
U. x )  <->  ( U. x  =  X  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } ) ) )
68 elpwi 3969 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  ->  x  C_  { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } )
69 ssabral 3523 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) )
7068, 69sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) )
7170anim2i 569 . . . . . . 7  |-  ( ( U. x  =  X  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )  ->  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) )
7267, 71syl6bi 228 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  /\  U. J  = 
U. x )  -> 
( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) ) )
7372reximdv 2925 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. x  e.  Fin  ( x  e. 
~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  /\  U. J  =  U. x
)  ->  E. x  e.  Fin  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) ) )
7461, 73mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  Fin  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) ) )
7574ralrimiva 2822 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  A. r  e.  RR+  E. x  e. 
Fin  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) )
76 istotbnd 28808 . . 3  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e. 
Fin  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) ) )
7712, 75, 76sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  D  e.  ( TotBnd `  X )
)
7814, 77jca 532 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2436   A.wral 2795   E.wrex 2796    i^i cin 3427    C_ wss 3428   ~Pcpw 3960   U.cuni 4191   dom cdm 4940   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Fincfn 7412   1c1 9386   RR*cxr 9520   NNcn 10425   ZZcz 10749   RR+crp 11094   *Metcxmt 17912   Metcme 17913   ballcbl 17914   MetOpencmopn 17917   ~~> tclm 18948   Compccmp 19107   Caucca 20882   CMetcms 20883   TotBndctotbnd 28805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cc 8707  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-omul 7027  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-acn 8215  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ico 11409  df-fz 11541  df-fl 11745  df-seq 11910  df-exp 11969  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-rest 14465  df-topgen 14486  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-lm 18951  df-cmp 19108  df-fil 19537  df-fm 19629  df-flim 19630  df-flf 19631  df-cfil 20884  df-cau 20885  df-cmet 20886  df-totbnd 28807
This theorem is referenced by:  heibor  28860
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