Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heibor1 Structured version   Unicode version

Theorem heibor1 28849
 Description: One half of heibor 28860, that does not require any Choice. A compact metric space is complete and totally bounded. We prove completeness in cmpcmet 20946 and total boundedness here, which follows trivially from the fact that the set of all -balls is an open cover of , so finitely many cover . (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
heibor.1
Assertion
Ref Expression
heibor1

Proof of Theorem heibor1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.1 . . . . . 6
2 simpll 753 . . . . . 6
3 simplr 754 . . . . . 6
4 simprl 755 . . . . . 6
5 simprr 756 . . . . . 6
61, 2, 3, 4, 5heibor1lem 28848 . . . . 5
76expr 615 . . . 4
87ralrimiva 2822 . . 3
9 nnuz 10999 . . . 4
10 1z 10779 . . . . 5
1110a1i 11 . . . 4
12 simpl 457 . . . 4
139, 1, 11, 12iscmet3 20922 . . 3
148, 13mpbird 232 . 2
15 simplr 754 . . . . . . 7
16 metxmet 20027 . . . . . . . . . . . . . 14
17 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
18 rpxr 11101 . . . . . . . . . . . . . 14
191blopn 20193 . . . . . . . . . . . . . 14
2016, 17, 18, 19syl3an 1261 . . . . . . . . . . . . 13
21203com23 1194 . . . . . . . . . . . 12
22213expa 1188 . . . . . . . . . . 11
23 eleq1a 2534 . . . . . . . . . . 11
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10
2524rexlimdva 2939 . . . . . . . . 9
2625adantlr 714 . . . . . . . 8
2726abssdv 3526 . . . . . . 7
2816ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
291mopnuni 20134 . . . . . . . . . 10
3028, 29syl 16 . . . . . . . . 9
31 blcntr 20106 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3216, 31syl3an1 1252 . . . . . . . . . . . . . . 15
33323com23 1194 . . . . . . . . . . . . . 14
34333expa 1188 . . . . . . . . . . . . 13
35 ovex 6217 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635elabrex 6061 . . . . . . . . . . . . . 14
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
38 elunii 4196 . . . . . . . . . . . . 13
3934, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
4039ralrimiva 2822 . . . . . . . . . . 11
4140adantlr 714 . . . . . . . . . 10
42 nfcv 2613 . . . . . . . . . . 11
43 nfre1 2883 . . . . . . . . . . . . 13
4443nfab 2617 . . . . . . . . . . . 12
4544nfuni 4197 . . . . . . . . . . 11
4642, 45dfss3f 3448 . . . . . . . . . 10
4741, 46sylibr 212 . . . . . . . . 9
4830, 47eqsstr3d 3491 . . . . . . . 8
4927unissd 4215 . . . . . . . 8
5048, 49eqssd 3473 . . . . . . 7
51 eqid 2451 . . . . . . . 8
5251cmpcov 19110 . . . . . . 7
5315, 27, 50, 52syl3anc 1219 . . . . . 6
54 elin 3639 . . . . . . . . . 10
55 ancom 450 . . . . . . . . . 10
5654, 55bitri 249 . . . . . . . . 9
5756anbi1i 695 . . . . . . . 8
58 anass 649 . . . . . . . 8
5957, 58bitri 249 . . . . . . 7
6059rexbii2 2851 . . . . . 6
6153, 60sylib 196 . . . . 5
62 ancom 450 . . . . . . . 8
63 eqcom 2460 . . . . . . . . . 10
6430eqeq1d 2453 . . . . . . . . . 10
6563, 64syl5rbb 258 . . . . . . . . 9
6665anbi1d 704 . . . . . . . 8
6762, 66syl5bb 257 . . . . . . 7
68 elpwi 3969 . . . . . . . . 9
69 ssabral 3523 . . . . . . . . 9
7068, 69sylib 196 . . . . . . . 8
7170anim2i 569 . . . . . . 7
7267, 71syl6bi 228 . . . . . 6
7372reximdv 2925 . . . . 5
7461, 73mpd 15 . . . 4
7574ralrimiva 2822 . . 3
76 istotbnd 28808 . . 3
7712, 75, 76sylanbrc 664 . 2
7814, 77jca 532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  cab 2436  wral 2795  wrex 2796   cin 3427   wss 3428  cpw 3960  cuni 4191   cdm 4940  wf 5514  cfv 5518  (class class class)co 6192  cfn 7412  c1 9386  cxr 9520  cn 10425  cz 10749  crp 11094  cxmt 17912  cme 17913  cbl 17914  cmopn 17917  clm 18948  ccmp 19107  cca 20882  cms 20883  ctotbnd 28805 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cc 8707  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-omul 7027  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-acn 8215  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ico 11409  df-fz 11541  df-fl 11745  df-seq 11910  df-exp 11969  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-rest 14465  df-topgen 14486  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-lm 18951  df-cmp 19108  df-fil 19537  df-fm 19629  df-flim 19630  df-flf 19631  df-cfil 20884  df-cau 20885  df-cmet 20886  df-totbnd 28807 This theorem is referenced by:  heibor  28860
 Copyright terms: Public domain W3C validator