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Theorem heibor1 31845
Description: One half of heibor 31856, that does not require any Choice. A compact metric space is complete and totally bounded. We prove completeness in cmpcmet 22180 and total boundedness here, which follows trivially from the fact that the set of all  r-balls is an open cover of  X, so finitely many cover  X. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
heibor1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )

Proof of Theorem heibor1
Dummy variables  x  y  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 simpll 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3 simplr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  J  e.  Comp )
4 simprl 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  x  e.  ( Cau `  D ) )
5 simprr 764 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  x : NN --> X )
61, 2, 3, 4, 5heibor1lem 31844 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  x  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
76expr 618 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  x  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ( x : NN --> X  ->  x  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
87ralrimiva 2846 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  A. x  e.  ( Cau `  D
) ( x : NN --> X  ->  x  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
9 nnuz 11194 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
10 1zzd 10968 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  1  e.  ZZ )
11 simpl 458 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
129, 1, 10, 11iscmet3 22156 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  <->  A. x  e.  ( Cau `  D
) ( x : NN --> X  ->  x  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) ) )
138, 12mpbird 235 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
14 simplr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  J  e.  Comp )
15 metxmet 21280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
16 id 23 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  X  ->  z  e.  X )
17 rpxr 11309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
181blopn 21446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( z ( ball `  D ) r )  e.  J )
1915, 16, 17, 18syl3an 1306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
z ( ball `  D
) r )  e.  J )
20193com23 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+  /\  z  e.  X )  ->  (
z ( ball `  D
) r )  e.  J )
21203expa 1205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  ( z
( ball `  D )
r )  e.  J
)
22 eleq1a 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z ( ball `  D
) r )  e.  J  ->  ( y  =  ( z (
ball `  D )
r )  ->  y  e.  J ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y  =  ( z (
ball `  D )
r )  ->  y  e.  J ) )
2423rexlimdva 2924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r )  ->  y  e.  J ) )
2524adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r )  ->  y  e.  J
) )
2625abssdv 3541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  C_  J )
2715ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
281mopnuni 21387 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  X  =  U. J )
30 blcntr 21359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  z  e.  ( z ( ball `  D
) r ) )
3115, 30syl3an1 1297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  z  e.  ( z ( ball `  D ) r ) )
32313com23 1211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  ( z ( ball `  D ) r ) )
33323expa 1205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  z  e.  ( z ( ball `  D ) r ) )
34 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z ( ball `  D
) r )  e. 
_V
3534elabrex 6163 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  X  ->  (
z ( ball `  D
) r )  e. 
{ y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
3635adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  ( z
( ball `  D )
r )  e.  {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )
37 elunii 4227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( z ( ball `  D
) r )  /\  ( z ( ball `  D ) r )  e.  { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) } )  ->  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
3833, 36, 37syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
3938ralrimiva 2846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  X  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
4039adantlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  X  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } )
41 nfcv 2591 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ z X
42 nfre1 2893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r )
4342nfab 2595 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ z { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }
4443nfuni 4228 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ z U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }
4541, 44dfss3f 3462 . . . . . . . . . 10  |-  ( X 
C_  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  <->  A. z  e.  X  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
4640, 45sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  X  C_  U. {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )
4729, 46eqsstr3d 3505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U. J  C_  U. {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )
4826unissd 4246 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  C_  U. J )
4947, 48eqssd 3487 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U. J  =  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
50 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
5150cmpcov 20335 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  C_  J  /\  U. J  =  U. {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )  ->  E. x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  i^i  Fin ) U. J  =  U. x
)
5214, 26, 49, 51syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  i^i  Fin ) U. J  = 
U. x )
53 elin 3655 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  /\  x  e. 
Fin ) )
54 ancom 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  /\  x  e. 
Fin )  <->  ( x  e.  Fin  /\  x  e. 
~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) } ) )
5553, 54bitri 252 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  Fin  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } ) )
5655anbi1i 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. x )  <->  ( (
x  e.  Fin  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } )  /\  U. J  =  U. x ) )
57 anass 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  Fin  /\  x  e.  ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )  /\  U. J  =  U. x
)  <->  ( x  e. 
Fin  /\  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  /\  U. J  =  U. x
) ) )
5856, 57bitri 252 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. x )  <->  ( x  e.  Fin  /\  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  /\  U. J  = 
U. x ) ) )
5958rexbii2 2932 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }  i^i  Fin ) U. J  = 
U. x  <->  E. x  e.  Fin  ( x  e. 
~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  /\  U. J  =  U. x
) )
6052, 59sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  Fin  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }  /\  U. J  =  U. x
) )
61 ancom 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  /\  U. J  =  U. x )  <->  ( U. J  =  U. x  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } ) )
62 eqcom 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. x  =  X  <->  X  =  U. x )
6329eqeq1d 2431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( X  = 
U. x  <->  U. J  = 
U. x ) )
6462, 63syl5rbb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( U. J  =  U. x  <->  U. x  =  X ) )
6564anbi1d 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( U. J  =  U. x  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )  <-> 
( U. x  =  X  /\  x  e. 
~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) } ) ) )
6661, 65syl5bb 260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  /\  U. J  = 
U. x )  <->  ( U. x  =  X  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } ) ) )
67 elpwi 3994 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  ->  x  C_  { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } )
68 ssabral 3538 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) )
6967, 68sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) )
7069anim2i 571 . . . . . . 7  |-  ( ( U. x  =  X  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )  ->  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) )
7166, 70syl6bi 231 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  /\  U. J  = 
U. x )  -> 
( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) ) )
7271reximdv 2906 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. x  e.  Fin  ( x  e. 
~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  /\  U. J  =  U. x
)  ->  E. x  e.  Fin  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) ) )
7360, 72mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  Fin  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) ) )
7473ralrimiva 2846 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  A. r  e.  RR+  E. x  e. 
Fin  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) )
75 istotbnd 31804 . . 3  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e. 
Fin  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) ) )
7611, 74, 75sylanbrc 668 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  D  e.  ( TotBnd `  X )
)
7713, 76jca 534 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {cab 2414   A.wral 2782   E.wrex 2783    i^i cin 3441    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   U.cuni 4222   dom cdm 4854   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   1c1 9539   RR*cxr 9673   NNcn 10609   RR+crp 11302   *Metcxmt 18890   Metcme 18891   ballcbl 18892   MetOpencmopn 18895   ~~> tclm 20173   Compccmp 20332   Caucca 22116   CMetcms 22117   TotBndctotbnd 31801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-fz 11783  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-rest 15280  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lm 20176  df-cmp 20333  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-cfil 22118  df-cau 22119  df-cmet 22120  df-totbnd 31803
This theorem is referenced by:  heibor  31856
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