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Theorem heibor 30522
Description: Generalized Heine-Borel Theorem. A metric space is compact iff it is complete and totally bounded. See heibor1 30511 and heiborlem1 30512 for a description of the proof. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
heibor  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  <->  ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )

Proof of Theorem heibor
Dummy variables  t  n  y  k  r  u  m  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21heibor1 30511 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )
3 cmetmet 21851 . . . 4  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
43adantr 465 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
5 metxmet 20963 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
61mopntop 21069 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
73, 5, 63syl 20 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  J  e.  Top )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  J  e.  Top )
9 istotbnd 30470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. u  e. 
Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) r ) ) ) )
109simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  A. r  e.  RR+  E. u  e. 
Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
11 2nn 10714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
12 nnexpcl 12182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
1311, 12mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
1413nnrpd 11280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR+ )
1514rpreccld 11291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
16 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
1716eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  (
v  =  ( y ( ball `  D
) r )  <->  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
1817rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  ( E. y  e.  X  v  =  ( y
( ball `  D )
r )  <->  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
1918ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  ( A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y
( ball `  D )
r )  <->  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
2019anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  (
( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) r ) )  <->  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
2120rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  ( E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) r ) )  <->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )
2221rspccva 3209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y
( ball `  D )
r ) )  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
2310, 15, 22syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( TotBnd `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
2423expcom 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
2524adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
26 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( m `  v )  ->  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
2726eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( m `  v )  ->  (
v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  v  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
2827ac6sfi 7782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. m ( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )
2928adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  E. m
( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  E. m
( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
31 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  m : u --> X )
32 frn 5743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m : u --> X  ->  ran  m  C_  X )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  C_  X
)
341mopnuni 21070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
353, 5, 343syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  X  =  U. J )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  X  =  U. J )
37363ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  X  =  U. J )
3833, 37sseqtrd 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  C_  U. J
)
39 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( MetOpen `  D )  e.  _V
401, 39eqeltri 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  e. 
_V
4140uniex 6595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. J  e.  _V
4241elpw2 4620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  m  e.  ~P U. J 
<->  ran  m  C_  U. J
)
4338, 42sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  e.  ~P U. J )
44 simp2l 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  u  e.  Fin )
45 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m : u --> X  ->  m  Fn  u )
46 dffn4 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  Fn  u  <->  m :
u -onto-> ran  m )
4745, 46sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m : u --> X  ->  m : u -onto-> ran  m
)
48 fofi 7824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  m : u -onto-> ran  m
)  ->  ran  m  e. 
Fin )
4947, 48sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  m : u --> X )  ->  ran  m  e.  Fin )
5044, 31, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  e.  Fin )
5143, 50elind 3684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) )
5226eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( m `  v )  ->  (
r  e.  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  r  e.  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
5352rexrn 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  Fn  u  ->  ( E. y  e.  ran  m  r  e.  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  E. v  e.  u  r  e.  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
54 eliun 4337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  U_ y  e. 
ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  E. y  e.  ran  m  r  e.  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
55 eliun 4337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  U_ v  e.  u  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  <->  E. v  e.  u  r  e.  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
5653, 54, 553bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  Fn  u  ->  (
r  e.  U_ y  e.  ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  r  e.  U_ v  e.  u  ( ( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
5756eqrdv 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  Fn  u  ->  U_ y  e.  ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  = 
U_ v  e.  u  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
5831, 45, 573syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  U_ y  e.  ran  m ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  =  U_ v  e.  u  (
( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
59 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  A. v  e.  u  v  =  ( (
m `  v )
( ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )
60 uniiun 4385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. u  =  U_ v  e.  u  v
61 iuneq2 4349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  ->  U_ v  e.  u  v  =  U_ v  e.  u  ( ( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
6260, 61syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  ->  U. u  =  U_ v  e.  u  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
6359, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  U. u  =  U_ v  e.  u  (
( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
64 simp2r 1023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  U. u  =  X )
6558, 63, 643eqtr2rd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  X  =  U_ y  e.  ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
66 iuneq1 4346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  ran  m  ->  U_ y  e.  t 
( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  =  U_ y  e. 
ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
6766eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ran  m  -> 
( X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  X  =  U_ y  e.  ran  m
( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
6867rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  m  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin )  /\  X  = 
U_ y  e.  ran  m ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
6951, 65, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
70693expia 1198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X ) )  -> 
( ( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7170adantrrr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  ( (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7271exlimdv 1725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  ( E. m ( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7330, 72mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  = 
U_ y  e.  t  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
7473rexlimdvaa 2950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7525, 74syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  = 
U_ y  e.  t  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
7675ralrimdva 2875 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  A. n  e.  NN0  E. t  e.  ( ~P
U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7741pwex 4639 . . . . . . . . 9  |-  ~P U. J  e.  _V
7877inex1 4597 . . . . . . . 8  |-  ( ~P
U. J  i^i  Fin )  e.  _V
79 nn0ennn 12092 . . . . . . . . 9  |-  NN0  ~~  NN
80 nnenom 12093 . . . . . . . . 9  |-  NN  ~~  om
8179, 80entri 7588 . . . . . . . 8  |-  NN0  ~~  om
82 iuneq1 4346 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( m `  n )  ->  U_ y  e.  t  ( y
( ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
8382eqeq2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( m `  n )  ->  ( X  =  U_ y  e.  t  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  <->  X  =  U_ y  e.  ( m `
 n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
8478, 81, 83axcc4 8836 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN0  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  = 
U_ y  e.  t  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  ->  E. m ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
8576, 84syl6 33 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  E. m ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )
86 elpwi 4024 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  ~P J  -> 
r  C_  J )
87 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) u  C_  U. v }  =  {
u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) u 
C_  U. v }
88 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. t ,  k >.  |  ( k  e.  NN0  /\  t  e.  ( m `  k )  /\  (
t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) k )  e.  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) u  C_  U. v } ) }  =  { <. t ,  k >.  |  ( k  e.  NN0  /\  t  e.  ( m `  k )  /\  (
t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) k )  e.  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) u  C_  U. v } ) }
89 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) )  =  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
90 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  D  e.  ( CMet `  X )
)
9135pweqd 4020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ~P X  =  ~P U. J )
9291ineq1d 3695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ~P X  i^i  Fin )  =  ( ~P U. J  i^i  Fin ) )
9392feq3d 5725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( m : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )  <->  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) ) )
9493biimpar 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  ->  m : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin ) )
9594adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  m : NN0
--> ( ~P X  i^i  Fin ) )
96 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  y  ->  (
t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
9796cbviunv 4371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n )
98 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  ->  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )
99 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ~P
U. J  i^i  Fin )  C_  ~P U. J
10099, 91syl5sseqr 3548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ~P U. J  i^i  Fin )  C_ 
~P X )
101 fss 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  ( ~P U. J  i^i  Fin )  C_  ~P X )  ->  m : NN0 --> ~P X )
10298, 100, 101syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  ->  m : NN0 --> ~P X )
103102ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
m `  n )  e.  ~P X )
104103elpwid 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
m `  n )  C_  X )
105104sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( m `  n ) )  -> 
y  e.  X )
106 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( m `  n ) )  ->  n  e.  NN0 )
107 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  y  ->  (
z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
108 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  n  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ n ) )
109108oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  n  ->  (
1  /  ( 2 ^ m ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )
110109oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
111 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  e. 
_V
112107, 110, 89, 111ovmpt2 6437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  X  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
113105, 106, 112syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( m `  n ) )  -> 
( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
114113iuneq2dv 4354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  U_ y  e.  ( m `  n
) ( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
11597, 114syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
116115eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( X  =  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  <->  X  =  U_ y  e.  ( m `
 n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
117116biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( X  =  U_ y  e.  ( m `  n
) ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  ->  X  =  U_ t  e.  ( m `  n ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n ) ) )
118117ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n ) ) )
119118impr 619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  n ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
120 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  (
m `  n )  =  ( m `  k ) )
121120iuneq1d 4357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
122 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  =  k  /\  t  e.  ( m `  k ) )  ->  n  =  k )
123122oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  =  k  /\  t  e.  ( m `  k ) )  -> 
( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
124123iuneq2dv 4354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  U_ t  e.  ( m `  k
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
125121, 124eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
126125eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( X  =  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  <->  X  =  U_ t  e.  ( m `
 k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) k ) ) )
127126cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN0  X  = 
U_ t  e.  ( m `  n ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  <->  A. k  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  k
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) k ) )
128119, 127sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  A. k  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
1291, 87, 88, 89, 90, 95, 128heiborlem10 30521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  /\  ( r 
C_  J  /\  U. J  =  U. r
) )  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) U. J  =  U. v )
130129exp32 605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  ( r  C_  J  ->  ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
13186, 130syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  ( r  e.  ~P J  ->  ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
132131ralrimiv 2869 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) )
133132ex 434 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
134133exlimdv 1725 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( E. m ( m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
13585, 134syld 44 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
136135imp 429 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) )
137 eqid 2457 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
138137iscmp 20015 . . . 4  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
1398, 136, 138sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  J  e.  Comp )
1404, 139jca 532 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  J  e.  Comp ) )
1412, 140impbii 188 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  <->  ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   U_ciun 4332   {copab 4514   ran crn 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   omcom 6699   Fincfn 7535   1c1 9510    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   RR+crp 11245   ^cexp 12169   *Metcxmt 18530   Metcme 18531   ballcbl 18532   MetOpencmopn 18535   Topctop 19521   Compccmp 20013   CMetcms 21819   TotBndctotbnd 30467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lm 19857  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-cfil 21820  df-cau 21821  df-cmet 21822  df-totbnd 30469
This theorem is referenced by:  rrnheibor  30538
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