Theorem heibor 32217

Description: Generalized Heine-Borel Theorem. A metric space is compact iff it is complete and totally bounded. See heibor1 32206 and heiborlem1 32207 for a description of the proof. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
heibor.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
heibor	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) <-> ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) )

Proof of Theorem heibor

Dummy variables t n y k r u m v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		heibor.1	. . 3 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	heibor1 32206	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) -> ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) )
3		cmetmet 22334	. . . 4 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
4	3	adantr 472	. . 3 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
5		metxmet 21427	. . . . . 6 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
6	1	mopntop 21533	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
7	3, 5, 6	3syl 18	. . . . 5 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> J e. Top )
8	7	adantr 472	. . . 4 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> J e. Top )
9		istotbnd 32165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. ( TotBnd ` X ) <-> ( D e. ( Met ` X ) /\ A. r e. RR+ E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) ) )
10	9	simprbi 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. ( TotBnd ` X ) -> A. r e. RR+ E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) )
11		2nn 10790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
12		nnexpcl 12323	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
13	11, 12	mpan 684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 -> ( 2 ^ n ) e. NN )
14	13	nnrpd 11362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
15	14	rpreccld 11374	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ )
16		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( y ( ball ` D ) r ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
17	16	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( v = ( y ( ball ` D ) r ) <-> v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
18	17	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) <-> E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
19	18	ralbidv 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) <-> A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
20	19	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) <-> ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
21	20	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) <-> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
22	21	rspccva 3135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. r e. RR+ E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) /\ ( 1 / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ ) -> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
23	10, 15, 22	syl2an 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( TotBnd ` X ) /\ n e. NN0 ) -> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
24	23	expcom 442	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
25	24	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
26		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( m ` v ) -> ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
27	26	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( m ` v ) -> ( v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
28	27	ac6sfi 7833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. Fin /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. m ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
29	28	adantrl 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> E. m ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
30	29	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> E. m ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
31		simp3l 1058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> m : u --> X )
32		frn 5747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m : u --> X -> ran m C_ X )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m C_ X )
34	1	mopnuni 21534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
35	3, 5, 34	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> X = U. J )
36	35	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) -> X = U. J )
37	36	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> X = U. J )
38	33, 37	sseqtrd 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m C_ U. J )
39		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( MetOpen ` D ) e. _V
40	1, 39	eqeltri 2545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- J e. _V
41	40	uniex 6606	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. J e. _V
42	41	elpw2 4565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ran m e. ~P U. J <-> ran m C_ U. J )
43	38, 42	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m e. ~P U. J )
44		simp2l 1056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> u e. Fin )
45		ffn 5739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m : u --> X -> m Fn u )
46		dffn4 5812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m Fn u <-> m : u -onto-> ran m )
47	45, 46	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m : u --> X -> m : u -onto-> ran m )
48		fofi 7878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u e. Fin /\ m : u -onto-> ran m ) -> ran m e. Fin )
49	47, 48	sylan2 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. Fin /\ m : u --> X ) -> ran m e. Fin )
50	44, 31, 49	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m e. Fin )
51	43, 50	elind 3609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m e. ( ~P U. J i^i Fin ) )
52	26	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( m ` v ) -> ( r e. ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> r e. ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
53	52	rexrn 6039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m Fn u -> ( E. y e. ran m r e. ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> E. v e. u r e. ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
54		eliun 4274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r e. U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> E. y e. ran m r e. ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
55		eliun 4274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r e. U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> E. v e. u r e. ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
56	53, 54, 55	3bitr4g 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m Fn u -> ( r e. U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> r e. U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
57	56	eqrdv 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m Fn u -> U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
58	31, 45, 57	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
59		simp3r 1059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
60		uniiun 4322	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. u = U_ v e. u v
61		iuneq2 4286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> U_ v e. u v = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
62	60, 61	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> U. u = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
63	59, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> U. u = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
64		simp2r 1057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> U. u = X )
65	58, 63, 64	3eqtr2rd 2512	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> X = U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
66		iuneq1 4283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = ran m -> U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
67	66	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ran m -> ( X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> X = U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
68	67	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ran m e. ( ~P U. J i^i Fin ) /\ X = U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
69	51, 65, 68	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
70	69	3expia 1233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) ) -> ( ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
71	70	adantrrr 739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> ( ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
72	71	exlimdv 1787	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> ( E. m ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
73	30, 72	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
74	73	rexlimdvaa 2872	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) -> ( E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
75	25, 74	syld 44	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
76	75	ralrimdva 2812	. . . . . . 7 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> A. n e. NN0 E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
77	41	pwex 4584	. . . . . . . . 9 |- ~P U. J e. _V
78	77	inex1 4537	. . . . . . . 8 |- ( ~P U. J i^i Fin ) e. _V
79		nn0ennn 12230	. . . . . . . . 9 |- NN0 ~~ NN
80		nnenom 12231	. . . . . . . . 9 |- NN ~~ om
81	79, 80	entri 7641	. . . . . . . 8 |- NN0 ~~ om
82		iuneq1 4283	. . . . . . . . 9 |- ( t = ( m ` n ) -> U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
83	82	eqeq2d 2481	. . . . . . . 8 |- ( t = ( m ` n ) -> ( X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
84	78, 81, 83	axcc4 8887	. . . . . . 7 |- ( A. n e. NN0 E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> E. m ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
85	76, 84	syl6 33	. . . . . 6 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> E. m ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
86		elpwi 3951	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. ~P J -> r C_ J )
87		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- { u | -. E. v e. ( ~P r i^i Fin ) u C_ U. v } = { u | -. E. v e. ( ~P r i^i Fin ) u C_ U. v }
88		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- { <. t , k >. | ( k e. NN0 /\ t e. ( m ` k ) /\ ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) e. { u | -. E. v e. ( ~P r i^i Fin ) u C_ U. v } ) } = { <. t , k >. | ( k e. NN0 /\ t e. ( m ` k ) /\ ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) e. { u | -. E. v e. ( ~P r i^i Fin ) u C_ U. v } ) }
89		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) )
90		simpl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> D e. ( CMet ` X ) )
91	35	pweqd 3947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ~P X = ~P U. J )
92	91	ineq1d 3624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( ~P X i^i Fin ) = ( ~P U. J i^i Fin ) )
93	92	feq3d 5726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( m : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) <-> m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) )
94	93	biimpar 493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) -> m : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
95	94	adantrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> m : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
96		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = y -> ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
97	96	cbviunv 4308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n )
98		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) -> m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) )
99		inss1 3643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ~P U. J i^i Fin ) C_ ~P U. J
100	99, 91	syl5sseqr 3467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( ~P U. J i^i Fin ) C_ ~P X )
101		fss 5749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ ( ~P U. J i^i Fin ) C_ ~P X ) -> m : NN0 --> ~P X )
102	98, 100, 101	syl2anr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) -> m : NN0 --> ~P X )
103	102	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( m ` n ) e. ~P X )
104	103	elpwid 3952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( m ` n ) C_ X )
105	104	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) /\ y e. ( m ` n ) ) -> y e. X )
106		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) /\ y e. ( m ` n ) ) -> n e. NN0 )
107		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = y -> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) )
108		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m = n -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ n ) )
109	108	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = n -> ( 1 / ( 2 ^ m ) ) = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) )
110	109	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = n -> ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
111		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) e. _V
112	107, 110, 89, 111	ovmpt2 6451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. X /\ n e. NN0 ) -> ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
113	105, 106, 112	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) /\ y e. ( m ` n ) ) -> ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
114	113	iuneq2dv 4291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> U_ y e. ( m ` n ) ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
115	97, 114	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
116	115	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) <-> X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
117	116	biimprd 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) ) )
118	117	ralimdva 2805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) -> ( A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> A. n e. NN0 X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) ) )
119	118	impr 631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. n e. NN0 X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
120		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = k -> ( m ` n ) = ( m ` k ) )
121	120	iuneq1d 4294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
122		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n = k /\ t e. ( m ` k ) ) -> n = k )
123	122	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n = k /\ t e. ( m ` k ) ) -> ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
124	123	iuneq2dv 4291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
125	121, 124	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
126	125	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) <-> X = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) ) )
127	126	cbvralv 3005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. NN0 X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) <-> A. k e. NN0 X = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
128	119, 127	sylib 201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. k e. NN0 X = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
129	1, 87, 88, 89, 90, 95, 128	heiborlem10 32216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) /\ ( r C_ J /\ U. J = U. r ) ) -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v )
130	129	exp32 616	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( r C_ J -> ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
131	86, 130	syl5 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( r e. ~P J -> ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
132	131	ralrimiv 2808	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) )
133	132	ex 441	. . . . . . 7 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
134	133	exlimdv 1787	. . . . . 6 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( E. m ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
135	85, 134	syld 44	. . . . 5 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
136	135	imp 436	. . . 4 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) )
137		eqid 2471	. . . . 5 |- U. J = U. J
138	137	iscmp 20480	. . . 4 |- ( J e. Comp <-> ( J e. Top /\ A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
139	8, 136, 138	sylanbrc 677	. . 3 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> J e. Comp )
140	4, 139	jca 541	. 2 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) )
141	2, 140	impbii 192	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) <-> ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269   {copab 4453   ran crn 4840   Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   omcom 6711   Fincfn 7587   1c1 9558   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   RR+crp 11325   ^cexp 12310   *Metcxmt 19032   Metcme 19033   ballcbl 19034   MetOpencmopn 19037   Topctop 19994   Compccmp 20478   CMetcms 22302   TotBndctotbnd 32162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lm 20322  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-cfil 22303  df-cau 22304  df-cmet 22305  df-totbnd 32164

This theorem is referenced by:  rrnheibor  32233