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Theorem heibor 32217
Description: Generalized Heine-Borel Theorem. A metric space is compact iff it is complete and totally bounded. See heibor1 32206 and heiborlem1 32207 for a description of the proof. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
heibor  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  <->  ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )

Proof of Theorem heibor
Dummy variables  t  n  y  k  r  u  m  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21heibor1 32206 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )
3 cmetmet 22334 . . . 4  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
43adantr 472 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
5 metxmet 21427 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
61mopntop 21533 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
73, 5, 63syl 18 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  J  e.  Top )
87adantr 472 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  J  e.  Top )
9 istotbnd 32165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. u  e. 
Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) r ) ) ) )
109simprbi 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  A. r  e.  RR+  E. u  e. 
Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
11 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
12 nnexpcl 12323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
1311, 12mpan 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
1413nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR+ )
1514rpreccld 11374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
16 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
1716eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  (
v  =  ( y ( ball `  D
) r )  <->  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
1817rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  ( E. y  e.  X  v  =  ( y
( ball `  D )
r )  <->  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
1918ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  ( A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y
( ball `  D )
r )  <->  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
2019anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  (
( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) r ) )  <->  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
2120rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  ( E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) r ) )  <->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )
2221rspccva 3135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y
( ball `  D )
r ) )  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
2310, 15, 22syl2an 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( TotBnd `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
2423expcom 442 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
2524adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
26 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( m `  v )  ->  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
2726eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( m `  v )  ->  (
v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  v  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
2827ac6sfi 7833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. m ( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )
2928adantrl 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  E. m
( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
3029adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  E. m
( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
31 simp3l 1058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  m : u --> X )
32 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m : u --> X  ->  ran  m  C_  X )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  C_  X
)
341mopnuni 21534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
353, 5, 343syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  X  =  U. J )
3635adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  X  =  U. J )
37363ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  X  =  U. J )
3833, 37sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  C_  U. J
)
39 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( MetOpen `  D )  e.  _V
401, 39eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  e. 
_V
4140uniex 6606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. J  e.  _V
4241elpw2 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  m  e.  ~P U. J 
<->  ran  m  C_  U. J
)
4338, 42sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  e.  ~P U. J )
44 simp2l 1056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  u  e.  Fin )
45 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m : u --> X  ->  m  Fn  u )
46 dffn4 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  Fn  u  <->  m :
u -onto-> ran  m )
4745, 46sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m : u --> X  ->  m : u -onto-> ran  m
)
48 fofi 7878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  m : u -onto-> ran  m
)  ->  ran  m  e. 
Fin )
4947, 48sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  m : u --> X )  ->  ran  m  e.  Fin )
5044, 31, 49syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  e.  Fin )
5143, 50elind 3609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) )
5226eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( m `  v )  ->  (
r  e.  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  r  e.  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
5352rexrn 6039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  Fn  u  ->  ( E. y  e.  ran  m  r  e.  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  E. v  e.  u  r  e.  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
54 eliun 4274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  U_ y  e. 
ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  E. y  e.  ran  m  r  e.  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
55 eliun 4274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  U_ v  e.  u  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  <->  E. v  e.  u  r  e.  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
5653, 54, 553bitr4g 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  Fn  u  ->  (
r  e.  U_ y  e.  ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  r  e.  U_ v  e.  u  ( ( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
5756eqrdv 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  Fn  u  ->  U_ y  e.  ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  = 
U_ v  e.  u  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
5831, 45, 573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  U_ y  e.  ran  m ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  =  U_ v  e.  u  (
( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
59 simp3r 1059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  A. v  e.  u  v  =  ( (
m `  v )
( ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )
60 uniiun 4322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. u  =  U_ v  e.  u  v
61 iuneq2 4286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  ->  U_ v  e.  u  v  =  U_ v  e.  u  ( ( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
6260, 61syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  ->  U. u  =  U_ v  e.  u  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
6359, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  U. u  =  U_ v  e.  u  (
( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
64 simp2r 1057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  U. u  =  X )
6558, 63, 643eqtr2rd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  X  =  U_ y  e.  ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
66 iuneq1 4283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  ran  m  ->  U_ y  e.  t 
( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  =  U_ y  e. 
ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
6766eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ran  m  -> 
( X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  X  =  U_ y  e.  ran  m
( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
6867rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  m  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin )  /\  X  = 
U_ y  e.  ran  m ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
6951, 65, 68syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
70693expia 1233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X ) )  -> 
( ( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7170adantrrr 739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  ( (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7271exlimdv 1787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  ( E. m ( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7330, 72mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  = 
U_ y  e.  t  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
7473rexlimdvaa 2872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7525, 74syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  = 
U_ y  e.  t  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
7675ralrimdva 2812 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  A. n  e.  NN0  E. t  e.  ( ~P
U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7741pwex 4584 . . . . . . . . 9  |-  ~P U. J  e.  _V
7877inex1 4537 . . . . . . . 8  |-  ( ~P
U. J  i^i  Fin )  e.  _V
79 nn0ennn 12230 . . . . . . . . 9  |-  NN0  ~~  NN
80 nnenom 12231 . . . . . . . . 9  |-  NN  ~~  om
8179, 80entri 7641 . . . . . . . 8  |-  NN0  ~~  om
82 iuneq1 4283 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( m `  n )  ->  U_ y  e.  t  ( y
( ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
8382eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( m `  n )  ->  ( X  =  U_ y  e.  t  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  <->  X  =  U_ y  e.  ( m `
 n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
8478, 81, 83axcc4 8887 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN0  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  = 
U_ y  e.  t  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  ->  E. m ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
8576, 84syl6 33 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  E. m ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )
86 elpwi 3951 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  ~P J  -> 
r  C_  J )
87 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) u  C_  U. v }  =  {
u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) u 
C_  U. v }
88 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. t ,  k >.  |  ( k  e.  NN0  /\  t  e.  ( m `  k )  /\  (
t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) k )  e.  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) u  C_  U. v } ) }  =  { <. t ,  k >.  |  ( k  e.  NN0  /\  t  e.  ( m `  k )  /\  (
t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) k )  e.  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) u  C_  U. v } ) }
89 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) )  =  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
90 simpl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  D  e.  ( CMet `  X )
)
9135pweqd 3947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ~P X  =  ~P U. J )
9291ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ~P X  i^i  Fin )  =  ( ~P U. J  i^i  Fin ) )
9392feq3d 5726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( m : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )  <->  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) ) )
9493biimpar 493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  ->  m : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin ) )
9594adantrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  m : NN0
--> ( ~P X  i^i  Fin ) )
96 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  y  ->  (
t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
9796cbviunv 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n )
98 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  ->  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )
99 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ~P
U. J  i^i  Fin )  C_  ~P U. J
10099, 91syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ~P U. J  i^i  Fin )  C_ 
~P X )
101 fss 5749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  ( ~P U. J  i^i  Fin )  C_  ~P X )  ->  m : NN0 --> ~P X )
10298, 100, 101syl2anr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  ->  m : NN0 --> ~P X )
103102ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
m `  n )  e.  ~P X )
104103elpwid 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
m `  n )  C_  X )
105104sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( m `  n ) )  -> 
y  e.  X )
106 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( m `  n ) )  ->  n  e.  NN0 )
107 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  y  ->  (
z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
108 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  n  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ n ) )
109108oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  n  ->  (
1  /  ( 2 ^ m ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )
110109oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
111 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  e. 
_V
112107, 110, 89, 111ovmpt2 6451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  X  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
113105, 106, 112syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( m `  n ) )  -> 
( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
114113iuneq2dv 4291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  U_ y  e.  ( m `  n
) ( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
11597, 114syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
116115eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( X  =  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  <->  X  =  U_ y  e.  ( m `
 n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
117116biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( X  =  U_ y  e.  ( m `  n
) ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  ->  X  =  U_ t  e.  ( m `  n ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n ) ) )
118117ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n ) ) )
119118impr 631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  n ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
120 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  (
m `  n )  =  ( m `  k ) )
121120iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
122 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  =  k  /\  t  e.  ( m `  k ) )  ->  n  =  k )
123122oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  =  k  /\  t  e.  ( m `  k ) )  -> 
( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
124123iuneq2dv 4291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  U_ t  e.  ( m `  k
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
125121, 124eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
126125eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( X  =  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  <->  X  =  U_ t  e.  ( m `
 k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) k ) ) )
127126cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN0  X  = 
U_ t  e.  ( m `  n ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  <->  A. k  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  k
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) k ) )
128119, 127sylib 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  A. k  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
1291, 87, 88, 89, 90, 95, 128heiborlem10 32216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  /\  ( r 
C_  J  /\  U. J  =  U. r
) )  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) U. J  =  U. v )
130129exp32 616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  ( r  C_  J  ->  ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
13186, 130syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  ( r  e.  ~P J  ->  ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
132131ralrimiv 2808 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) )
133132ex 441 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
134133exlimdv 1787 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( E. m ( m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
13585, 134syld 44 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
136135imp 436 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) )
137 eqid 2471 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
138137iscmp 20480 . . . 4  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
1398, 136, 138sylanbrc 677 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  J  e.  Comp )
1404, 139jca 541 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  J  e.  Comp ) )
1412, 140impbii 192 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  <->  ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269   {copab 4453   ran crn 4840    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   omcom 6711   Fincfn 7587   1c1 9558    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   RR+crp 11325   ^cexp 12310   *Metcxmt 19032   Metcme 19033   ballcbl 19034   MetOpencmopn 19037   Topctop 19994   Compccmp 20478   CMetcms 22302   TotBndctotbnd 32162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lm 20322  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-cfil 22303  df-cau 22304  df-cmet 22305  df-totbnd 32164
This theorem is referenced by:  rrnheibor  32233
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