Theorem heibor 28566

Description: Generalized Heine-Borel Theorem. A metric space is compact iff it is complete and totally bounded. See heibor1 28555 and heiborlem1 28556 for a description of the proof. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
heibor.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
heibor	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) <-> ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) )

Proof of Theorem heibor

Dummy variables t n y k r u m v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		heibor.1	. . 3 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	heibor1 28555	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) -> ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) )
3		cmetmet 20641	. . . 4 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
4	3	adantr 462	. . 3 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
5		metxmet 19753	. . . . . 6 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
6	1	mopntop 19859	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
7	3, 5, 6	3syl 20	. . . . 5 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> J e. Top )
8	7	adantr 462	. . . 4 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> J e. Top )
9		istotbnd 28514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. ( TotBnd ` X ) <-> ( D e. ( Met ` X ) /\ A. r e. RR+ E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) ) )
10	9	simprbi 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. ( TotBnd ` X ) -> A. r e. RR+ E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) )
11		2nn 10469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
12		nnexpcl 11864	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
13	11, 12	mpan 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 -> ( 2 ^ n ) e. NN )
14	13	nnrpd 11016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
15	14	rpreccld 11027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ )
16		oveq2 6090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( y ( ball ` D ) r ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
17	16	eqeq2d 2446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( v = ( y ( ball ` D ) r ) <-> v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
18	17	rexbidv 2728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) <-> E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
19	18	ralbidv 2727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) <-> A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
20	19	anbi2d 698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) <-> ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
21	20	rexbidv 2728	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) <-> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
22	21	rspccva 3063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. r e. RR+ E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) /\ ( 1 / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ ) -> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
23	10, 15, 22	syl2an 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( TotBnd ` X ) /\ n e. NN0 ) -> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
24	23	expcom 435	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
25	24	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
26		oveq1 6089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( m ` v ) -> ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
27	26	eqeq2d 2446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( m ` v ) -> ( v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
28	27	ac6sfi 7546	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. Fin /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. m ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
29	28	adantrl 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> E. m ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
30	29	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> E. m ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
31		simp3l 1011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> m : u --> X )
32		frn 5555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m : u --> X -> ran m C_ X )
33	31, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m C_ X )
34	1	mopnuni 19860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
35	3, 5, 34	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> X = U. J )
36	35	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) -> X = U. J )
37	36	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> X = U. J )
38	33, 37	sseqtrd 3382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m C_ U. J )
39		fvex 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( MetOpen ` D ) e. _V
40	1, 39	eqeltri 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- J e. _V
41	40	uniex 6367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. J e. _V
42	41	elpw2 4446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ran m e. ~P U. J <-> ran m C_ U. J )
43	38, 42	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m e. ~P U. J )
44		simp2l 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> u e. Fin )
45		ffn 5549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m : u --> X -> m Fn u )
46		dffn4 5616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m Fn u <-> m : u -onto-> ran m )
47	45, 46	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m : u --> X -> m : u -onto-> ran m )
48		fofi 7587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u e. Fin /\ m : u -onto-> ran m ) -> ran m e. Fin )
49	47, 48	sylan2 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. Fin /\ m : u --> X ) -> ran m e. Fin )
50	44, 31, 49	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m e. Fin )
51	43, 50	elind 3530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m e. ( ~P U. J i^i Fin ) )
52	26	eleq2d 2502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( m ` v ) -> ( r e. ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> r e. ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
53	52	rexrn 5835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m Fn u -> ( E. y e. ran m r e. ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> E. v e. u r e. ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
54		eliun 4165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r e. U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> E. y e. ran m r e. ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
55		eliun 4165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r e. U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> E. v e. u r e. ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
56	53, 54, 55	3bitr4g 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m Fn u -> ( r e. U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> r e. U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
57	56	eqrdv 2433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m Fn u -> U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
58	31, 45, 57	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
59		simp3r 1012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
60		uniiun 4213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. u = U_ v e. u v
61		iuneq2 4177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> U_ v e. u v = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
62	60, 61	syl5eq 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> U. u = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
63	59, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> U. u = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
64		simp2r 1010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> U. u = X )
65	58, 63, 64	3eqtr2rd 2474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> X = U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
66		iuneq1 4174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = ran m -> U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
67	66	eqeq2d 2446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ran m -> ( X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> X = U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
68	67	rspcev 3064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ran m e. ( ~P U. J i^i Fin ) /\ X = U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
69	51, 65, 68	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
70	69	3expia 1184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) ) -> ( ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
71	70	adantrrr 719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> ( ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
72	71	exlimdv 1691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> ( E. m ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
73	30, 72	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
74	73	rexlimdvaa 2834	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) -> ( E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
75	25, 74	syld 44	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
76	75	ralrimdva 2798	. . . . . . 7 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> A. n e. NN0 E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
77	41	pwex 4465	. . . . . . . . 9 |- ~P U. J e. _V
78	77	inex1 4423	. . . . . . . 8 |- ( ~P U. J i^i Fin ) e. _V
79		nn0ennn 11787	. . . . . . . . 9 |- NN0 ~~ NN
80		nnenom 11788	. . . . . . . . 9 |- NN ~~ om
81	79, 80	entri 7353	. . . . . . . 8 |- NN0 ~~ om
82		iuneq1 4174	. . . . . . . . 9 |- ( t = ( m ` n ) -> U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
83	82	eqeq2d 2446	. . . . . . . 8 |- ( t = ( m ` n ) -> ( X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
84	78, 81, 83	axcc4 8598	. . . . . . 7 |- ( A. n e. NN0 E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> E. m ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
85	76, 84	syl6 33	. . . . . 6 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> E. m ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
86		elpwi 3859	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. ~P J -> r C_ J )
87		eqid 2435	. . . . . . . . . . . 12 |- { u | -. E. v e. ( ~P r i^i Fin ) u C_ U. v } = { u | -. E. v e. ( ~P r i^i Fin ) u C_ U. v }
88		eqid 2435	. . . . . . . . . . . 12 |- { <. t , k >. | ( k e. NN0 /\ t e. ( m ` k ) /\ ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) e. { u | -. E. v e. ( ~P r i^i Fin ) u C_ U. v } ) } = { <. t , k >. | ( k e. NN0 /\ t e. ( m ` k ) /\ ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) e. { u | -. E. v e. ( ~P r i^i Fin ) u C_ U. v } ) }
89		eqid 2435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) )
90		simpl 454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> D e. ( CMet ` X ) )
91	35	pweqd 3855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ~P X = ~P U. J )
92	91	ineq1d 3541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( ~P X i^i Fin ) = ( ~P U. J i^i Fin ) )
93		feq3 5534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ~P X i^i Fin ) = ( ~P U. J i^i Fin ) -> ( m : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) <-> m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) )
94	92, 93	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( m : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) <-> m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) )
95	94	biimpar 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) -> m : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
96	95	adantrr 711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> m : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
97		oveq1 6089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = y -> ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
98	97	cbviunv 4199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n )
99		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) -> m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) )
100		inss1 3560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ~P U. J i^i Fin ) C_ ~P U. J
101	100, 91	syl5sseqr 3395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( ~P U. J i^i Fin ) C_ ~P X )
102		fss 5557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ ( ~P U. J i^i Fin ) C_ ~P X ) -> m : NN0 --> ~P X )
103	99, 101, 102	syl2anr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) -> m : NN0 --> ~P X )
104	103	ffvelrnda 5833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( m ` n ) e. ~P X )
105	104	elpwid 3860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( m ` n ) C_ X )
106	105	sselda 3346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) /\ y e. ( m ` n ) ) -> y e. X )
107		simplr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) /\ y e. ( m ` n ) ) -> n e. NN0 )
108		oveq1 6089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = y -> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) )
109		oveq2 6090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m = n -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ n ) )
110	109	oveq2d 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = n -> ( 1 / ( 2 ^ m ) ) = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) )
111	110	oveq2d 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = n -> ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
112		ovex 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) e. _V
113	108, 111, 89, 112	ovmpt2 6217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. X /\ n e. NN0 ) -> ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
114	106, 107, 113	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) /\ y e. ( m ` n ) ) -> ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
115	114	iuneq2dv 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> U_ y e. ( m ` n ) ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
116	98, 115	syl5eq 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
117	116	eqeq2d 2446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) <-> X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
118	117	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) ) )
119	118	ralimdva 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) -> ( A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> A. n e. NN0 X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) ) )
120	119	impr 616	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. n e. NN0 X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
121		fveq2 5681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = k -> ( m ` n ) = ( m ` k ) )
122	121	iuneq1d 4185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
123		simpl 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n = k /\ t e. ( m ` k ) ) -> n = k )
124	123	oveq2d 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n = k /\ t e. ( m ` k ) ) -> ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
125	124	iuneq2dv 4182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
126	122, 125	eqtrd 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
127	126	eqeq2d 2446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) <-> X = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) ) )
128	127	cbvralv 2939	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. NN0 X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) <-> A. k e. NN0 X = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
129	120, 128	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. k e. NN0 X = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
130	1, 87, 88, 89, 90, 96, 129	heiborlem10 28565	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) /\ ( r C_ J /\ U. J = U. r ) ) -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v )
131	130	exp32 602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( r C_ J -> ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
132	86, 131	syl5 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( r e. ~P J -> ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
133	132	ralrimiv 2790	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) )
134	133	ex 434	. . . . . . 7 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
135	134	exlimdv 1691	. . . . . 6 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( E. m ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
136	85, 135	syld 44	. . . . 5 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
137	136	imp 429	. . . 4 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) )
138		eqid 2435	. . . . 5 |- U. J = U. J
139	138	iscmp 18835	. . . 4 |- ( J e. Comp <-> ( J e. Top /\ A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
140	8, 137, 139	sylanbrc 659	. . 3 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> J e. Comp )
141	4, 140	jca 529	. 2 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) )
142	2, 141	impbii 188	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) <-> ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   E.wex 1591   e. wcel 1757   {cab 2421   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2964   i^i cin 3317   C_ wss 3318   ~Pcpw 3850   U.cuni 4081   U_ciun 4161   {copab 4339   ran crn 4830   Fn wfn 5403   -->wf 5404   -onto->wfo 5406   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   e. cmpt2 6084   omcom 6467   Fincfn 7300   1c1 9273   / cdiv 9983   NNcn 10312   2c2 10361   NN0cn0 10569   RR+crp 10981   ^cexp 11851   *Metcxmt 17647   Metcme 17648   ballcbl 17649   MetOpencmopn 17652   Topctop 18342   Compccmp 18833   CMetcms 20609   TotBndctotbnd 28511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-rep 4393  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-inf2 7837  ax-cc 8594  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349  ax-pre-sup 9350

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-int 4119  df-iun 4163  df-iin 4164  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-se 4669  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-isom 5417  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-om 6468  df-1st 6568  df-2nd 6569  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-1o 6910  df-2o 6911  df-oadd 6914  df-omul 6915  df-er 7091  df-map 7206  df-pm 7207  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-fin 7304  df-fi 7651  df-sup 7681  df-oi 7714  df-card 8099  df-acn 8102  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-div 9984  df-nn 10313  df-2 10370  df-3 10371  df-n0 10570  df-z 10637  df-uz 10852  df-q 10944  df-rp 10982  df-xneg 11079  df-xadd 11080  df-xmul 11081  df-ico 11296  df-icc 11297  df-fz 11427  df-fl 11628  df-seq 11793  df-exp 11852  df-cj 12574  df-re 12575  df-im 12576  df-sqr 12710  df-abs 12711  df-clim 12952  df-rlim 12953  df-rest 14346  df-topgen 14367  df-psmet 17655  df-xmet 17656  df-met 17657  df-bl 17658  df-mopn 17659  df-fbas 17660  df-fg 17661  df-top 18347  df-bases 18349  df-topon 18350  df-cld 18467  df-ntr 18468  df-cls 18469  df-nei 18546  df-lm 18677  df-haus 18763  df-cmp 18834  df-fil 19263  df-fm 19355  df-flim 19356  df-flf 19357  df-cfil 20610  df-cau 20611  df-cmet 20612  df-totbnd 28513

This theorem is referenced by:  rrnheibor  28582