Theorem heibor 26420

Description: Generalized Heine-Borel Theorem. A metric space is compact iff it is complete and totally bounded. See heibor1 26409 and heiborlem1 26410 for a description of the proof. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
heibor.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
heibor	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) <-> ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) )

Proof of Theorem heibor

Dummy variables t n y k r u m v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		heibor.1	. . 3 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	heibor1 26409	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) -> ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) )
3		cmetmet 19192	. . . 4 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
4	3	adantr 452	. . 3 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
5		metxmet 18317	. . . . . 6 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( * Met ` X ) )
6	1	mopntop 18423	. . . . . 6 |- ( D e. ( * Met ` X ) -> J e. Top )
7	3, 5, 6	3syl 19	. . . . 5 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> J e. Top )
8	7	adantr 452	. . . 4 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> J e. Top )
9		istotbnd 26368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. ( TotBnd ` X ) <-> ( D e. ( Met ` X ) /\ A. r e. RR+ E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) ) )
10	9	simprbi 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. ( TotBnd ` X ) -> A. r e. RR+ E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) )
11		2nn 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
12		nnexpcl 11349	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
13	11, 12	mpan 652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 -> ( 2 ^ n ) e. NN )
14	13	nnrpd 10603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
15	14	rpreccld 10614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ )
16		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( y ( ball ` D ) r ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
17	16	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( v = ( y ( ball ` D ) r ) <-> v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
18	17	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) <-> E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
19	18	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) <-> A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
20	19	anbi2d 685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) <-> ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
21	20	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) <-> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
22	21	rspccva 3011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. r e. RR+ E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) /\ ( 1 / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ ) -> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
23	10, 15, 22	syl2an 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( TotBnd ` X ) /\ n e. NN0 ) -> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
24	23	expcom 425	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
25	24	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
26		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( m ` v ) -> ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
27	26	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( m ` v ) -> ( v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
28	27	ac6sfi 7310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. Fin /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. m ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
29	28	adantrl 697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> E. m ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
30	29	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> E. m ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
31		simp3l 985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> m : u --> X )
32		frn 5556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m : u --> X -> ran m C_ X )
33	31, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m C_ X )
34	1	mopnuni 18424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( D e. ( * Met ` X ) -> X = U. J )
35	3, 5, 34	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> X = U. J )
36	35	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) -> X = U. J )
37	36	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> X = U. J )
38	33, 37	sseqtrd 3344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m C_ U. J )
39		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( MetOpen ` D ) e. _V
40	1, 39	eqeltri 2474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- J e. _V
41	40	uniex 4664	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. J e. _V
42	41	elpw2 4324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ran m e. ~P U. J <-> ran m C_ U. J )
43	38, 42	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m e. ~P U. J )
44		simp2l 983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> u e. Fin )
45		ffn 5550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m : u --> X -> m Fn u )
46		dffn4 5618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m Fn u <-> m : u -onto-> ran m )
47	45, 46	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m : u --> X -> m : u -onto-> ran m )
48		fofi 7351	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u e. Fin /\ m : u -onto-> ran m ) -> ran m e. Fin )
49	47, 48	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. Fin /\ m : u --> X ) -> ran m e. Fin )
50	44, 31, 49	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m e. Fin )
51		elin 3490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran m e. ( ~P U. J i^i Fin ) <-> ( ran m e. ~P U. J /\ ran m e. Fin ) )
52	43, 50, 51	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m e. ( ~P U. J i^i Fin ) )
53	26	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( m ` v ) -> ( r e. ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> r e. ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
54	53	rexrn 5831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m Fn u -> ( E. y e. ran m r e. ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> E. v e. u r e. ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
55		eliun 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r e. U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> E. y e. ran m r e. ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
56		eliun 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r e. U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> E. v e. u r e. ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
57	54, 55, 56	3bitr4g 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m Fn u -> ( r e. U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> r e. U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
58	57	eqrdv 2402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m Fn u -> U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
59	31, 45, 58	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
60		simp3r 986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
61		uniiun 4104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. u = U_ v e. u v
62		iuneq2 4069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> U_ v e. u v = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
63	61, 62	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> U. u = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
64	60, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> U. u = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
65		simp2r 984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> U. u = X )
66	59, 64, 65	3eqtr2rd 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> X = U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
67		iuneq1 4066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = ran m -> U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
68	67	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ran m -> ( X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> X = U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
69	68	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ran m e. ( ~P U. J i^i Fin ) /\ X = U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
70	52, 66, 69	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
71	70	3expia 1155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) ) -> ( ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
72	71	adantrrr 706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> ( ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
73	72	exlimdv 1643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> ( E. m ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
74	30, 73	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
75	74	rexlimdvaa 2791	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) -> ( E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
76	25, 75	syld 42	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
77	76	ralrimdva 2756	. . . . . . 7 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> A. n e. NN0 E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
78	41	pwex 4342	. . . . . . . . 9 |- ~P U. J e. _V
79	78	inex1 4304	. . . . . . . 8 |- ( ~P U. J i^i Fin ) e. _V
80		nn0ennn 11273	. . . . . . . . 9 |- NN0 ~~ NN
81		nnenom 11274	. . . . . . . . 9 |- NN ~~ om
82	80, 81	entri 7120	. . . . . . . 8 |- NN0 ~~ om
83		iuneq1 4066	. . . . . . . . 9 |- ( t = ( m ` n ) -> U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
84	83	eqeq2d 2415	. . . . . . . 8 |- ( t = ( m ` n ) -> ( X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
85	79, 82, 84	axcc4 8275	. . . . . . 7 |- ( A. n e. NN0 E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> E. m ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
86	77, 85	syl6 31	. . . . . 6 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> E. m ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
87		elpwi 3767	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. ~P J -> r C_ J )
88		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- { u | -. E. v e. ( ~P r i^i Fin ) u C_ U. v } = { u | -. E. v e. ( ~P r i^i Fin ) u C_ U. v }
89		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- { <. t , k >. | ( k e. NN0 /\ t e. ( m ` k ) /\ ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) e. { u | -. E. v e. ( ~P r i^i Fin ) u C_ U. v } ) } = { <. t , k >. | ( k e. NN0 /\ t e. ( m ` k ) /\ ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) e. { u | -. E. v e. ( ~P r i^i Fin ) u C_ U. v } ) }
90		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) )
91		simpl 444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> D e. ( CMet ` X ) )
92	35	pweqd 3764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ~P X = ~P U. J )
93	92	ineq1d 3501	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( ~P X i^i Fin ) = ( ~P U. J i^i Fin ) )
94		feq3 5537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ~P X i^i Fin ) = ( ~P U. J i^i Fin ) -> ( m : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) <-> m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) )
95	93, 94	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( m : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) <-> m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) )
96	95	biimpar 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) -> m : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
97	96	adantrr 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> m : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
98		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = y -> ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
99	98	cbviunv 4090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n )
100		id 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) -> m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) )
101		inss1 3521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ~P U. J i^i Fin ) C_ ~P U. J
102	101, 92	syl5sseqr 3357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( ~P U. J i^i Fin ) C_ ~P X )
103		fss 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ ( ~P U. J i^i Fin ) C_ ~P X ) -> m : NN0 --> ~P X )
104	100, 102, 103	syl2anr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) -> m : NN0 --> ~P X )
105	104	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( m ` n ) e. ~P X )
106	105	elpwid 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( m ` n ) C_ X )
107	106	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) /\ y e. ( m ` n ) ) -> y e. X )
108		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) /\ y e. ( m ` n ) ) -> n e. NN0 )
109		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = y -> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) )
110		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m = n -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ n ) )
111	110	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = n -> ( 1 / ( 2 ^ m ) ) = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) )
112	111	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = n -> ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
113		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) e. _V
114	109, 112, 90, 113	ovmpt2 6168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. X /\ n e. NN0 ) -> ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
115	107, 108, 114	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) /\ y e. ( m ` n ) ) -> ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
116	115	iuneq2dv 4074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> U_ y e. ( m ` n ) ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
117	99, 116	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
118	117	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) <-> X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
119	118	biimprd 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) ) )
120	119	ralimdva 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) -> ( A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> A. n e. NN0 X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) ) )
121	120	impr 603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. n e. NN0 X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
122		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = k -> ( m ` n ) = ( m ` k ) )
123	122	iuneq1d 4076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
124		simpl 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n = k /\ t e. ( m ` k ) ) -> n = k )
125	124	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n = k /\ t e. ( m ` k ) ) -> ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
126	125	iuneq2dv 4074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
127	123, 126	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
128	127	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) <-> X = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) ) )
129	128	cbvralv 2892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. NN0 X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) <-> A. k e. NN0 X = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
130	121, 129	sylib 189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. k e. NN0 X = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
131	1, 88, 89, 90, 91, 97, 130	heiborlem10 26419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) /\ ( r C_ J /\ U. J = U. r ) ) -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v )
132	131	exp32 589	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( r C_ J -> ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
133	87, 132	syl5 30	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( r e. ~P J -> ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
134	133	ralrimiv 2748	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) )
135	134	ex 424	. . . . . . 7 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
136	135	exlimdv 1643	. . . . . 6 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( E. m ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
137	86, 136	syld 42	. . . . 5 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
138	137	imp 419	. . . 4 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) )
139		eqid 2404	. . . . 5 |- U. J = U. J
140	139	iscmp 17405	. . . 4 |- ( J e. Comp <-> ( J e. Top /\ A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
141	8, 138, 140	sylanbrc 646	. . 3 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> J e. Comp )
142	4, 141	jca 519	. 2 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) )
143	2, 142	impbii 181	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) <-> ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   i^i cin 3279   C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   U_ciun 4053   {copab 4225   omcom 4804   ran crn 4838   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   e. cmpt2 6042   Fincfn 7068   1c1 8947   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   RR+crp 10568   ^cexp 11337   * Metcxmt 16641   Metcme 16642   ballcbl 16643   MetOpencmopn 16646   Topctop 16913   Compccmp 17403   CMetcms 19160   TotBndctotbnd 26365

This theorem is referenced by:  rrnheibor  26436

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lm 17247  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-cfil 19161  df-cau 19162  df-cmet 19163  df-totbnd 26367