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Theorem heibor 30147
Description: Generalized Heine-Borel Theorem. A metric space is compact iff it is complete and totally bounded. See heibor1 30136 and heiborlem1 30137 for a description of the proof. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
heibor  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  <->  ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )

Proof of Theorem heibor
Dummy variables  t  n  y  k  r  u  m  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21heibor1 30136 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )
3 cmetmet 21552 . . . 4  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
43adantr 465 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
5 metxmet 20664 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
61mopntop 20770 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
73, 5, 63syl 20 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  J  e.  Top )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  J  e.  Top )
9 istotbnd 30095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. u  e. 
Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) r ) ) ) )
109simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  A. r  e.  RR+  E. u  e. 
Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
11 2nn 10694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
12 nnexpcl 12148 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
1311, 12mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
1413nnrpd 11256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR+ )
1514rpreccld 11267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
16 oveq2 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
1716eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  (
v  =  ( y ( ball `  D
) r )  <->  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
1817rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  ( E. y  e.  X  v  =  ( y
( ball `  D )
r )  <->  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
1918ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  ( A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y
( ball `  D )
r )  <->  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
2019anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  (
( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) r ) )  <->  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
2120rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  ( E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) r ) )  <->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )
2221rspccva 3213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y
( ball `  D )
r ) )  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
2310, 15, 22syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( TotBnd `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
2423expcom 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
2524adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
26 oveq1 6292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( m `  v )  ->  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
2726eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( m `  v )  ->  (
v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  v  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
2827ac6sfi 7765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. m ( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )
2928adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  E. m
( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  E. m
( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
31 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  m : u --> X )
32 frn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m : u --> X  ->  ran  m  C_  X )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  C_  X
)
341mopnuni 20771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
353, 5, 343syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  X  =  U. J )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  X  =  U. J )
37363ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  X  =  U. J )
3833, 37sseqtrd 3540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  C_  U. J
)
39 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( MetOpen `  D )  e.  _V
401, 39eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  e. 
_V
4140uniex 6581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. J  e.  _V
4241elpw2 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  m  e.  ~P U. J 
<->  ran  m  C_  U. J
)
4338, 42sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  e.  ~P U. J )
44 simp2l 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  u  e.  Fin )
45 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m : u --> X  ->  m  Fn  u )
46 dffn4 5801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  Fn  u  <->  m :
u -onto-> ran  m )
4745, 46sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m : u --> X  ->  m : u -onto-> ran  m
)
48 fofi 7807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  m : u -onto-> ran  m
)  ->  ran  m  e. 
Fin )
4947, 48sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  m : u --> X )  ->  ran  m  e.  Fin )
5044, 31, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  e.  Fin )
5143, 50elind 3688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) )
5226eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( m `  v )  ->  (
r  e.  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  r  e.  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
5352rexrn 6024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  Fn  u  ->  ( E. y  e.  ran  m  r  e.  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  E. v  e.  u  r  e.  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
54 eliun 4330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  U_ y  e. 
ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  E. y  e.  ran  m  r  e.  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
55 eliun 4330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  U_ v  e.  u  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  <->  E. v  e.  u  r  e.  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
5653, 54, 553bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  Fn  u  ->  (
r  e.  U_ y  e.  ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  r  e.  U_ v  e.  u  ( ( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
5756eqrdv 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  Fn  u  ->  U_ y  e.  ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  = 
U_ v  e.  u  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
5831, 45, 573syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  U_ y  e.  ran  m ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  =  U_ v  e.  u  (
( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
59 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  A. v  e.  u  v  =  ( (
m `  v )
( ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )
60 uniiun 4378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. u  =  U_ v  e.  u  v
61 iuneq2 4342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  ->  U_ v  e.  u  v  =  U_ v  e.  u  ( ( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
6260, 61syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  ->  U. u  =  U_ v  e.  u  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
6359, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  U. u  =  U_ v  e.  u  (
( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
64 simp2r 1023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  U. u  =  X )
6558, 63, 643eqtr2rd 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  X  =  U_ y  e.  ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
66 iuneq1 4339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  ran  m  ->  U_ y  e.  t 
( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  =  U_ y  e. 
ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
6766eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ran  m  -> 
( X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  X  =  U_ y  e.  ran  m
( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
6867rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  m  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin )  /\  X  = 
U_ y  e.  ran  m ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
6951, 65, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
70693expia 1198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X ) )  -> 
( ( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7170adantrrr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  ( (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7271exlimdv 1700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  ( E. m ( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7330, 72mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  = 
U_ y  e.  t  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
7473rexlimdvaa 2956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7525, 74syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  = 
U_ y  e.  t  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
7675ralrimdva 2882 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  A. n  e.  NN0  E. t  e.  ( ~P
U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7741pwex 4630 . . . . . . . . 9  |-  ~P U. J  e.  _V
7877inex1 4588 . . . . . . . 8  |-  ( ~P
U. J  i^i  Fin )  e.  _V
79 nn0ennn 12058 . . . . . . . . 9  |-  NN0  ~~  NN
80 nnenom 12059 . . . . . . . . 9  |-  NN  ~~  om
8179, 80entri 7570 . . . . . . . 8  |-  NN0  ~~  om
82 iuneq1 4339 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( m `  n )  ->  U_ y  e.  t  ( y
( ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
8382eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( m `  n )  ->  ( X  =  U_ y  e.  t  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  <->  X  =  U_ y  e.  ( m `
 n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
8478, 81, 83axcc4 8820 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN0  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  = 
U_ y  e.  t  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  ->  E. m ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
8576, 84syl6 33 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  E. m ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )
86 elpwi 4019 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  ~P J  -> 
r  C_  J )
87 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) u  C_  U. v }  =  {
u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) u 
C_  U. v }
88 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. t ,  k >.  |  ( k  e.  NN0  /\  t  e.  ( m `  k )  /\  (
t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) k )  e.  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) u  C_  U. v } ) }  =  { <. t ,  k >.  |  ( k  e.  NN0  /\  t  e.  ( m `  k )  /\  (
t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) k )  e.  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) u  C_  U. v } ) }
89 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) )  =  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
90 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  D  e.  ( CMet `  X )
)
9135pweqd 4015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ~P X  =  ~P U. J )
9291ineq1d 3699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ~P X  i^i  Fin )  =  ( ~P U. J  i^i  Fin ) )
93 feq3 5715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ~P X  i^i  Fin )  =  ( ~P U. J  i^i  Fin )  ->  ( m : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin ) 
<->  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) ) )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( m : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )  <->  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) ) )
9594biimpar 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  ->  m : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin ) )
9695adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  m : NN0
--> ( ~P X  i^i  Fin ) )
97 oveq1 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  y  ->  (
t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
9897cbviunv 4364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n )
99 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  ->  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )
100 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ~P
U. J  i^i  Fin )  C_  ~P U. J
101100, 91syl5sseqr 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ~P U. J  i^i  Fin )  C_ 
~P X )
102 fss 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  ( ~P U. J  i^i  Fin )  C_  ~P X )  ->  m : NN0 --> ~P X )
10399, 101, 102syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  ->  m : NN0 --> ~P X )
104103ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
m `  n )  e.  ~P X )
105104elpwid 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
m `  n )  C_  X )
106105sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( m `  n ) )  -> 
y  e.  X )
107 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( m `  n ) )  ->  n  e.  NN0 )
108 oveq1 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  y  ->  (
z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
109 oveq2 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  n  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ n ) )
110109oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  n  ->  (
1  /  ( 2 ^ m ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )
111110oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
112 ovex 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  e. 
_V
113108, 111, 89, 112ovmpt2 6423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  X  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
114106, 107, 113syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( m `  n ) )  -> 
( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
115114iuneq2dv 4347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  U_ y  e.  ( m `  n
) ( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
11698, 115syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
117116eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( X  =  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  <->  X  =  U_ y  e.  ( m `
 n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
118117biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( X  =  U_ y  e.  ( m `  n
) ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  ->  X  =  U_ t  e.  ( m `  n ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n ) ) )
119118ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n ) ) )
120119impr 619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  n ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
121 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  (
m `  n )  =  ( m `  k ) )
122121iuneq1d 4350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
123 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  =  k  /\  t  e.  ( m `  k ) )  ->  n  =  k )
124123oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  =  k  /\  t  e.  ( m `  k ) )  -> 
( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
125124iuneq2dv 4347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  U_ t  e.  ( m `  k
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
126122, 125eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
127126eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( X  =  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  <->  X  =  U_ t  e.  ( m `
 k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) k ) ) )
128127cbvralv 3088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN0  X  = 
U_ t  e.  ( m `  n ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  <->  A. k  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  k
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) k ) )
129120, 128sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  A. k  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
1301, 87, 88, 89, 90, 96, 129heiborlem10 30146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  /\  ( r 
C_  J  /\  U. J  =  U. r
) )  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) U. J  =  U. v )
131130exp32 605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  ( r  C_  J  ->  ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
13286, 131syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  ( r  e.  ~P J  ->  ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
133132ralrimiv 2876 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) )
134133ex 434 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
135134exlimdv 1700 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( E. m ( m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
13685, 135syld 44 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
137136imp 429 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) )
138 eqid 2467 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
139138iscmp 19694 . . . 4  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
1408, 137, 139sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  J  e.  Comp )
1414, 140jca 532 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  J  e.  Comp ) )
1422, 141impbii 188 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  <->  ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   U_ciun 4325   {copab 4504   ran crn 5000    Fn wfn 5583   -->wf 5584   -onto->wfo 5586   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287   omcom 6685   Fincfn 7517   1c1 9494    / cdiv 10207   NNcn 10537   2c2 10586   NN0cn0 10796   RR+crp 11221   ^cexp 12135   *Metcxmt 18214   Metcme 18215   ballcbl 18216   MetOpencmopn 18219   Topctop 19201   Compccmp 19692   CMetcms 21520   TotBndctotbnd 30092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cc 8816  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-omul 7136  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-acn 8324  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-rest 14681  df-topgen 14702  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-lm 19536  df-haus 19622  df-cmp 19693  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268  df-cfil 21521  df-cau 21522  df-cmet 21523  df-totbnd 30094
This theorem is referenced by:  rrnheibor  30163
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