Theorem heibor 30147

Description: Generalized Heine-Borel Theorem. A metric space is compact iff it is complete and totally bounded. See heibor1 30136 and heiborlem1 30137 for a description of the proof. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
heibor.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
heibor	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) <-> ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) )

Proof of Theorem heibor

Dummy variables t n y k r u m v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		heibor.1	. . 3 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	heibor1 30136	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) -> ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) )
3		cmetmet 21552	. . . 4 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
4	3	adantr 465	. . 3 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
5		metxmet 20664	. . . . . 6 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
6	1	mopntop 20770	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
7	3, 5, 6	3syl 20	. . . . 5 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> J e. Top )
8	7	adantr 465	. . . 4 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> J e. Top )
9		istotbnd 30095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. ( TotBnd ` X ) <-> ( D e. ( Met ` X ) /\ A. r e. RR+ E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) ) )
10	9	simprbi 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. ( TotBnd ` X ) -> A. r e. RR+ E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) )
11		2nn 10694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
12		nnexpcl 12148	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
13	11, 12	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 -> ( 2 ^ n ) e. NN )
14	13	nnrpd 11256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
15	14	rpreccld 11267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ )
16		oveq2 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( y ( ball ` D ) r ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
17	16	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( v = ( y ( ball ` D ) r ) <-> v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
18	17	rexbidv 2973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) <-> E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
19	18	ralbidv 2903	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) <-> A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
20	19	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) <-> ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
21	20	rexbidv 2973	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) -> ( E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) <-> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
22	21	rspccva 3213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. r e. RR+ E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) r ) ) /\ ( 1 / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ ) -> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
23	10, 15, 22	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( TotBnd ` X ) /\ n e. NN0 ) -> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
24	23	expcom 435	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
25	24	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
26		oveq1 6292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( m ` v ) -> ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
27	26	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( m ` v ) -> ( v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
28	27	ac6sfi 7765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. Fin /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. m ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
29	28	adantrl 715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> E. m ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
30	29	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> E. m ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
31		simp3l 1024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> m : u --> X )
32		frn 5737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m : u --> X -> ran m C_ X )
33	31, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m C_ X )
34	1	mopnuni 20771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
35	3, 5, 34	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> X = U. J )
36	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) -> X = U. J )
37	36	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> X = U. J )
38	33, 37	sseqtrd 3540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m C_ U. J )
39		fvex 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( MetOpen ` D ) e. _V
40	1, 39	eqeltri 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- J e. _V
41	40	uniex 6581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. J e. _V
42	41	elpw2 4611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ran m e. ~P U. J <-> ran m C_ U. J )
43	38, 42	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m e. ~P U. J )
44		simp2l 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> u e. Fin )
45		ffn 5731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m : u --> X -> m Fn u )
46		dffn4 5801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m Fn u <-> m : u -onto-> ran m )
47	45, 46	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m : u --> X -> m : u -onto-> ran m )
48		fofi 7807	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u e. Fin /\ m : u -onto-> ran m ) -> ran m e. Fin )
49	47, 48	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. Fin /\ m : u --> X ) -> ran m e. Fin )
50	44, 31, 49	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m e. Fin )
51	43, 50	elind 3688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ran m e. ( ~P U. J i^i Fin ) )
52	26	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( m ` v ) -> ( r e. ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> r e. ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
53	52	rexrn 6024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m Fn u -> ( E. y e. ran m r e. ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> E. v e. u r e. ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
54		eliun 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r e. U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> E. y e. ran m r e. ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
55		eliun 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r e. U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> E. v e. u r e. ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
56	53, 54, 55	3bitr4g 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m Fn u -> ( r e. U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> r e. U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
57	56	eqrdv 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m Fn u -> U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
58	31, 45, 57	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
59		simp3r 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
60		uniiun 4378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. u = U_ v e. u v
61		iuneq2 4342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> U_ v e. u v = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
62	60, 61	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> U. u = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
63	59, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> U. u = U_ v e. u ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
64		simp2r 1023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> U. u = X )
65	58, 63, 64	3eqtr2rd 2515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> X = U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
66		iuneq1 4339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = ran m -> U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
67	66	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ran m -> ( X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> X = U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
68	67	rspcev 3214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ran m e. ( ~P U. J i^i Fin ) /\ X = U_ y e. ran m ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
69	51, 65, 68	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) /\ ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
70	69	3expia 1198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ U. u = X ) ) -> ( ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
71	70	adantrrr 724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> ( ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
72	71	exlimdv 1700	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> ( E. m ( m : u --> X /\ A. v e. u v = ( ( m ` v ) ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
73	30, 72	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) /\ ( u e. Fin /\ ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
74	73	rexlimdvaa 2956	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) -> ( E. u e. Fin ( U. u = X /\ A. v e. u E. y e. X v = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
75	25, 74	syld 44	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ n e. NN0 ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
76	75	ralrimdva 2882	. . . . . . 7 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> A. n e. NN0 E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
77	41	pwex 4630	. . . . . . . . 9 |- ~P U. J e. _V
78	77	inex1 4588	. . . . . . . 8 |- ( ~P U. J i^i Fin ) e. _V
79		nn0ennn 12058	. . . . . . . . 9 |- NN0 ~~ NN
80		nnenom 12059	. . . . . . . . 9 |- NN ~~ om
81	79, 80	entri 7570	. . . . . . . 8 |- NN0 ~~ om
82		iuneq1 4339	. . . . . . . . 9 |- ( t = ( m ` n ) -> U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
83	82	eqeq2d 2481	. . . . . . . 8 |- ( t = ( m ` n ) -> ( X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) <-> X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
84	78, 81, 83	axcc4 8820	. . . . . . 7 |- ( A. n e. NN0 E. t e. ( ~P U. J i^i Fin ) X = U_ y e. t ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> E. m ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
85	76, 84	syl6 33	. . . . . 6 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> E. m ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
86		elpwi 4019	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. ~P J -> r C_ J )
87		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- { u | -. E. v e. ( ~P r i^i Fin ) u C_ U. v } = { u | -. E. v e. ( ~P r i^i Fin ) u C_ U. v }
88		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- { <. t , k >. | ( k e. NN0 /\ t e. ( m ` k ) /\ ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) e. { u | -. E. v e. ( ~P r i^i Fin ) u C_ U. v } ) } = { <. t , k >. | ( k e. NN0 /\ t e. ( m ` k ) /\ ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) e. { u | -. E. v e. ( ~P r i^i Fin ) u C_ U. v } ) }
89		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) = ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) )
90		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> D e. ( CMet ` X ) )
91	35	pweqd 4015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ~P X = ~P U. J )
92	91	ineq1d 3699	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( ~P X i^i Fin ) = ( ~P U. J i^i Fin ) )
93		feq3 5715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ~P X i^i Fin ) = ( ~P U. J i^i Fin ) -> ( m : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) <-> m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) )
94	92, 93	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( m : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) <-> m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) )
95	94	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) -> m : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
96	95	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> m : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
97		oveq1 6292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = y -> ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
98	97	cbviunv 4364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n )
99		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) -> m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) )
100		inss1 3718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ~P U. J i^i Fin ) C_ ~P U. J
101	100, 91	syl5sseqr 3553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( ~P U. J i^i Fin ) C_ ~P X )
102		fss 5739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ ( ~P U. J i^i Fin ) C_ ~P X ) -> m : NN0 --> ~P X )
103	99, 101, 102	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) -> m : NN0 --> ~P X )
104	103	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( m ` n ) e. ~P X )
105	104	elpwid 4020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( m ` n ) C_ X )
106	105	sselda 3504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) /\ y e. ( m ` n ) ) -> y e. X )
107		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) /\ y e. ( m ` n ) ) -> n e. NN0 )
108		oveq1 6292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = y -> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) )
109		oveq2 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m = n -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ n ) )
110	109	oveq2d 6301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = n -> ( 1 / ( 2 ^ m ) ) = ( 1 / ( 2 ^ n ) ) )
111	110	oveq2d 6301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = n -> ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
112		ovex 6310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) e. _V
113	108, 111, 89, 112	ovmpt2 6423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. X /\ n e. NN0 ) -> ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
114	106, 107, 113	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) /\ y e. ( m ` n ) ) -> ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
115	114	iuneq2dv 4347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> U_ y e. ( m ` n ) ( y ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
116	98, 115	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) )
117	116	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) <-> X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
118	117	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) ) )
119	118	ralimdva 2872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) ) -> ( A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) -> A. n e. NN0 X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) ) )
120	119	impr 619	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. n e. NN0 X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
121		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = k -> ( m ` n ) = ( m ` k ) )
122	121	iuneq1d 4350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
123		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n = k /\ t e. ( m ` k ) ) -> n = k )
124	123	oveq2d 6301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n = k /\ t e. ( m ` k ) ) -> ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
125	124	iuneq2dv 4347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
126	122, 125	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
127	126	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) <-> X = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) ) )
128	127	cbvralv 3088	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. NN0 X = U_ t e. ( m ` n ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) <-> A. k e. NN0 X = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
129	120, 128	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. k e. NN0 X = U_ t e. ( m ` k ) ( t ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
130	1, 87, 88, 89, 90, 96, 129	heiborlem10 30146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) /\ ( r C_ J /\ U. J = U. r ) ) -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v )
131	130	exp32 605	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( r C_ J -> ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
132	86, 131	syl5 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( r e. ~P J -> ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
133	132	ralrimiv 2876	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) )
134	133	ex 434	. . . . . . 7 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
135	134	exlimdv 1700	. . . . . 6 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( E. m ( m : NN0 --> ( ~P U. J i^i Fin ) /\ A. n e. NN0 X = U_ y e. ( m ` n ) ( y ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
136	85, 135	syld 44	. . . . 5 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( D e. ( TotBnd ` X ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
137	136	imp 429	. . . 4 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) )
138		eqid 2467	. . . . 5 |- U. J = U. J
139	138	iscmp 19694	. . . 4 |- ( J e. Comp <-> ( J e. Top /\ A. r e. ~P J ( U. J = U. r -> E. v e. ( ~P r i^i Fin ) U. J = U. v ) ) )
140	8, 137, 139	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> J e. Comp )
141	4, 140	jca 532	. 2 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) -> ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) )
142	2, 141	impbii 188	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) <-> ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   i^i cin 3475   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   U_ciun 4325   {copab 4504   ran crn 5000   Fn wfn 5583   -->wf 5584   -onto->wfo 5586   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   |-> cmpt2 6287   omcom 6685   Fincfn 7517   1c1 9494   / cdiv 10207   NNcn 10537   2c2 10586   NN0cn0 10796   RR+crp 11221   ^cexp 12135   *Metcxmt 18214   Metcme 18215   ballcbl 18216   MetOpencmopn 18219   Topctop 19201   Compccmp 19692   CMetcms 21520   TotBndctotbnd 30092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cc 8816  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-omul 7136  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-acn 8324  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-rest 14681  df-topgen 14702  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-lm 19536  df-haus 19622  df-cmp 19693  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268  df-cfil 21521  df-cau 21522  df-cmet 21523  df-totbnd 30094

This theorem is referenced by:  rrnheibor  30163