Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval3lemN Structured version   Unicode version

Theorem hdmapval3lemN 36993
Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 
E. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapval3.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapval3.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapval3.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapval3.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmapval3.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmapval3.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmapval3.j  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hdmapval3.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmapval3.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapval3.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapval3.te  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { E } ) )
hdmapval3lem.t  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
hdmapval3lem.x  |-  ( ph  ->  x  e.  V )
hdmapval3lem.xn  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T } ) )
Assertion
Ref Expression
hdmapval3lemN  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  T >. )
)

Proof of Theorem hdmapval3lemN
StepHypRef Expression
1 hdmapval3.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmapval3.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmapval3.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2467 . . 3  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
5 hdmapval3.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
6 hdmapval3.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
7 hdmapval3.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  C
)
8 eqid 2467 . . 3  |-  ( LSpan `  C )  =  (
LSpan `  C )
9 eqid 2467 . . 3  |-  ( (mapd `  K ) `  W
)  =  ( (mapd `  K ) `  W
)
10 hdmapval3.i . . 3  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
11 hdmapval3.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
13 hdmapval3.j . . . . . 6  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
14 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
15 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
16 hdmapval3.e . . . . . . 7  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
171, 14, 15, 2, 3, 4, 16, 11dvheveccl 36265 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
181, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 13, 11, 17hvmapcl2 36919 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J `  E
)  e.  ( D 
\  { ( 0g
`  C ) } ) )
1918eldifad 3493 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J `  E
)  e.  D )
201, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 11, 17mapdhvmap 36922 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( N `  { E } ) )  =  ( (
LSpan `  C ) `  { ( J `  E ) } ) )
211, 2, 11dvhlvec 36262 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
22 hdmapval3lem.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  x  e.  V )
2317eldifad 3493 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  V )
24 hdmapval3lem.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
2524eldifad 3493 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
26 hdmapval3lem.xn . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T } ) )
273, 5, 21, 22, 23, 25, 26lspindpi 17649 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { x } )  =/=  ( N `  { E } )  /\  ( N `  { x } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
2827simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x } )  =/=  ( N `  { E } ) )
2928necomd 2738 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { E } )  =/=  ( N `  { x } ) )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 20, 29, 17, 22hdmap1cl 36958 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  x >. )  e.  D )
31 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  x >. )  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  x >. )
)
32 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( -g `  U )  =  (
-g `  U )
33 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( -g `  C )  =  (
-g `  C )
34 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
351, 2, 11dvhlmod 36263 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
363, 34, 5, 35, 23, 25lspprcl 17495 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { E ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
373, 4, 34, 35, 36, 22, 26lssneln0 17469 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
381, 2, 3, 32, 4, 5, 6, 7, 33, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 37, 30, 29, 20hdmap1eq 36955 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  x >. )  =  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  x >. )  <-> 
( ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( N `  { x } ) )  =  ( (
LSpan `  C ) `  { ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  x >. ) } )  /\  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( N `  { ( E (
-g `  U )
x ) } ) )  =  ( (
LSpan `  C ) `  { ( ( J `
 E ) (
-g `  C )
( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  x >. ) ) } ) ) ) )
3931, 38mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( N `  { x } ) )  =  ( (
LSpan `  C ) `  { ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  x >. ) } )  /\  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( N `  { ( E (
-g `  U )
x ) } ) )  =  ( (
LSpan `  C ) `  { ( ( J `
 E ) (
-g `  C )
( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  x >. ) ) } ) ) )
4039simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( N `  { x } ) )  =  ( (
LSpan `  C ) `  { ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  x >. ) } ) )
41 hdmapval3.te . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { E } ) )
4241necomd 2738 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { E } )  =/=  ( N `  { T } ) )
43 hdmapval3.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
443, 5, 35, 23, 25lspprid1 17514 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  ( N `
 { E ,  T } ) )
4534, 5, 35, 36, 44lspsnel5a 17513 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { E } )  C_  ( N `  { E ,  T } ) )
4645, 45unssd 3685 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { E } ) )  C_  ( N `  { E ,  T } ) )
4746, 26ssneldd 3512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { E } ) ) )
481, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 23, 22, 47hdmapval2 36988 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  E
)  =  ( I `
 <. x ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  x >. ) ,  E >. )
)
491, 16, 13, 43, 11hdmapevec 36991 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  E
)  =  ( J `
 E ) )
5048, 49eqtr3d 2510 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. x ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  x >. ) ,  E >. )  =  ( J `
 E ) )
513, 5, 35, 23, 25lspprid2 17515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  ( N `
 { E ,  T } ) )
5234, 5, 35, 36, 51lspsnel5a 17513 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { E ,  T } ) )
5345, 52unssd 3685 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  C_  ( N `  { E ,  T } ) )
5453, 26ssneldd 3512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) )
551, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 25, 22, 54hdmapval2 36988 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. x ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  x >. ) ,  T >. )
)
5655eqcomd 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. x ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  x >. ) ,  T >. )  =  ( S `
 T ) )
571, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 30, 40, 37, 17, 24, 42, 26, 50, 56hdmap1eq4N 36960 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  T >. )  =  ( S `
 T ) )
5857eqcomd 2475 1  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  T >. )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    \ cdif 3478    u. cun 3479   {csn 4033   {cpr 4035   <.cop 4039   <.cotp 4041    _I cid 4796    |` cres 5007   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   0gc0g 14712   -gcsg 15927   LSubSpclss 17449   LSpanclspn 17488   HLchlt 34503   LHypclh 35136   LTrncltrn 35253   DVecHcdvh 36231  LCDualclcd 36739  mapdcmpd 36777  HVMapchvm 36909  HDMap1chdma1 36945  HDMapchdma 36946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-riotaBAD 34112
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-undef 7014  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-0g 14714  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-oppg 16253  df-lsm 16529  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-drng 17269  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-lvec 17620  df-lsatoms 34129  df-lshyp 34130  df-lcv 34172  df-lfl 34211  df-lkr 34239  df-ldual 34277  df-oposet 34329  df-ol 34331  df-oml 34332  df-covers 34419  df-ats 34420  df-atl 34451  df-cvlat 34475  df-hlat 34504  df-llines 34650  df-lplanes 34651  df-lvols 34652  df-lines 34653  df-psubsp 34655  df-pmap 34656  df-padd 34948  df-lhyp 35140  df-laut 35141  df-ldil 35256  df-ltrn 35257  df-trl 35311  df-tgrp 35895  df-tendo 35907  df-edring 35909  df-dveca 36155  df-disoa 36182  df-dvech 36232  df-dib 36292  df-dic 36326  df-dih 36382  df-doch 36501  df-djh 36548  df-lcdual 36740  df-mapd 36778  df-hvmap 36910  df-hdmap1 36947  df-hdmap 36948
This theorem is referenced by:  hdmapval3N  36994
  Copyright terms: Public domain W3C validator