Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval3lemN Structured version   Unicode version

Theorem hdmapval3lemN 35843
Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 
E. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapval3.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapval3.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapval3.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapval3.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmapval3.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmapval3.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmapval3.j  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hdmapval3.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmapval3.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapval3.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapval3.te  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { E } ) )
hdmapval3lem.t  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
hdmapval3lem.x  |-  ( ph  ->  x  e.  V )
hdmapval3lem.xn  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T } ) )
Assertion
Ref Expression
hdmapval3lemN  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  T >. )
)

Proof of Theorem hdmapval3lemN
StepHypRef Expression
1 hdmapval3.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmapval3.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmapval3.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2454 . . 3  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
5 hdmapval3.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
6 hdmapval3.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
7 hdmapval3.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  C
)
8 eqid 2454 . . 3  |-  ( LSpan `  C )  =  (
LSpan `  C )
9 eqid 2454 . . 3  |-  ( (mapd `  K ) `  W
)  =  ( (mapd `  K ) `  W
)
10 hdmapval3.i . . 3  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
11 hdmapval3.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
13 hdmapval3.j . . . . . 6  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
14 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
15 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
16 hdmapval3.e . . . . . . 7  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
171, 14, 15, 2, 3, 4, 16, 11dvheveccl 35115 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
181, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 13, 11, 17hvmapcl2 35769 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J `  E
)  e.  ( D 
\  { ( 0g
`  C ) } ) )
1918eldifad 3451 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J `  E
)  e.  D )
201, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 11, 17mapdhvmap 35772 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( N `  { E } ) )  =  ( (
LSpan `  C ) `  { ( J `  E ) } ) )
211, 2, 11dvhlvec 35112 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
22 hdmapval3lem.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  x  e.  V )
2317eldifad 3451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  V )
24 hdmapval3lem.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
2524eldifad 3451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
26 hdmapval3lem.xn . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T } ) )
273, 5, 21, 22, 23, 25, 26lspindpi 17339 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { x } )  =/=  ( N `  { E } )  /\  ( N `  { x } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
2827simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x } )  =/=  ( N `  { E } ) )
2928necomd 2723 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { E } )  =/=  ( N `  { x } ) )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 20, 29, 17, 22hdmap1cl 35808 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  x >. )  e.  D )
31 eqidd 2455 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  x >. )  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  x >. )
)
32 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( -g `  U )  =  (
-g `  U )
33 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( -g `  C )  =  (
-g `  C )
34 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
351, 2, 11dvhlmod 35113 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
363, 34, 5, 35, 23, 25lspprcl 17185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { E ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
373, 4, 34, 35, 36, 22, 26lssneln0 17159 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
381, 2, 3, 32, 4, 5, 6, 7, 33, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 37, 30, 29, 20hdmap1eq 35805 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  x >. )  =  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  x >. )  <-> 
( ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( N `  { x } ) )  =  ( (
LSpan `  C ) `  { ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  x >. ) } )  /\  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( N `  { ( E (
-g `  U )
x ) } ) )  =  ( (
LSpan `  C ) `  { ( ( J `
 E ) (
-g `  C )
( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  x >. ) ) } ) ) ) )
3931, 38mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( N `  { x } ) )  =  ( (
LSpan `  C ) `  { ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  x >. ) } )  /\  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( N `  { ( E (
-g `  U )
x ) } ) )  =  ( (
LSpan `  C ) `  { ( ( J `
 E ) (
-g `  C )
( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  x >. ) ) } ) ) )
4039simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( N `  { x } ) )  =  ( (
LSpan `  C ) `  { ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  x >. ) } ) )
41 hdmapval3.te . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { E } ) )
4241necomd 2723 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { E } )  =/=  ( N `  { T } ) )
43 hdmapval3.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
443, 5, 35, 23, 25lspprid1 17204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  ( N `
 { E ,  T } ) )
4534, 5, 35, 36, 44lspsnel5a 17203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { E } )  C_  ( N `  { E ,  T } ) )
4645, 45unssd 3643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { E } ) )  C_  ( N `  { E ,  T } ) )
4746, 26ssneldd 3470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { E } ) ) )
481, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 23, 22, 47hdmapval2 35838 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  E
)  =  ( I `
 <. x ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  x >. ) ,  E >. )
)
491, 16, 13, 43, 11hdmapevec 35841 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  E
)  =  ( J `
 E ) )
5048, 49eqtr3d 2497 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. x ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  x >. ) ,  E >. )  =  ( J `
 E ) )
513, 5, 35, 23, 25lspprid2 17205 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  ( N `
 { E ,  T } ) )
5234, 5, 35, 36, 51lspsnel5a 17203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { E ,  T } ) )
5345, 52unssd 3643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  C_  ( N `  { E ,  T } ) )
5453, 26ssneldd 3470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) )
551, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 25, 22, 54hdmapval2 35838 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. x ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  x >. ) ,  T >. )
)
5655eqcomd 2462 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. x ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  x >. ) ,  T >. )  =  ( S `
 T ) )
571, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 30, 40, 37, 17, 24, 42, 26, 50, 56hdmap1eq4N 35810 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  T >. )  =  ( S `
 T ) )
5857eqcomd 2462 1  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  T >. )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648    \ cdif 3436    u. cun 3437   {csn 3988   {cpr 3990   <.cop 3994   <.cotp 3996    _I cid 4742    |` cres 4953   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   0gc0g 14500   -gcsg 15535   LSubSpclss 17139   LSpanclspn 17178   HLchlt 33353   LHypclh 33986   LTrncltrn 34103   DVecHcdvh 35081  LCDualclcd 35589  mapdcmpd 35627  HVMapchvm 35759  HDMap1chdma1 35795  HDMapchdma 35796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-riotaBAD 32962
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-undef 6905  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-0g 14502  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-poset 15238  df-plt 15250  df-lub 15266  df-glb 15267  df-join 15268  df-meet 15269  df-p0 15331  df-p1 15332  df-lat 15338  df-clat 15400  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-subg 15800  df-cntz 15957  df-oppg 15983  df-lsm 16259  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-oppr 16841  df-dvdsr 16859  df-unit 16860  df-invr 16890  df-dvr 16901  df-drng 16960  df-lmod 17076  df-lss 17140  df-lsp 17179  df-lvec 17310  df-lsatoms 32979  df-lshyp 32980  df-lcv 33022  df-lfl 33061  df-lkr 33089  df-ldual 33127  df-oposet 33179  df-ol 33181  df-oml 33182  df-covers 33269  df-ats 33270  df-atl 33301  df-cvlat 33325  df-hlat 33354  df-llines 33500  df-lplanes 33501  df-lvols 33502  df-lines 33503  df-psubsp 33505  df-pmap 33506  df-padd 33798  df-lhyp 33990  df-laut 33991  df-ldil 34106  df-ltrn 34107  df-trl 34161  df-tgrp 34745  df-tendo 34757  df-edring 34759  df-dveca 35005  df-disoa 35032  df-dvech 35082  df-dib 35142  df-dic 35176  df-dih 35232  df-doch 35351  df-djh 35398  df-lcdual 35590  df-mapd 35628  df-hvmap 35760  df-hdmap1 35797  df-hdmap 35798
This theorem is referenced by:  hdmapval3N  35844
  Copyright terms: Public domain W3C validator