Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval3N Structured version   Unicode version

Theorem hdmapval3N 36513
Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector  E. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapval3.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapval3.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapval3.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapval3.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmapval3.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmapval3.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmapval3.j  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hdmapval3.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmapval3.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapval3.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapval3.te  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { E } ) )
hdmapval3.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmapval3N  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  T >. )
)

Proof of Theorem hdmapval3N
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5857 . . 3  |-  ( T  =  ( 0g `  U )  ->  ( S `  T )  =  ( S `  ( 0g `  U ) ) )
2 oteq3 4217 . . . 4  |-  ( T  =  ( 0g `  U )  ->  <. E , 
( J `  E
) ,  T >.  = 
<. E ,  ( J `
 E ) ,  ( 0g `  U
) >. )
32fveq2d 5861 . . 3  |-  ( T  =  ( 0g `  U )  ->  (
I `  <. E , 
( J `  E
) ,  T >. )  =  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  ( 0g `  U
) >. ) )
41, 3eqeq12d 2482 . 2  |-  ( T  =  ( 0g `  U )  ->  (
( S `  T
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  T >. )  <->  ( S `  ( 0g
`  U ) )  =  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  ( 0g `  U
) >. ) ) )
5 hdmapval3.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 hdmapval3.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 hdmapval3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
8 hdmapval3.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
9 hdmapval3.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
10 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
11 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
12 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
13 hdmapval3.e . . . . . . 7  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
145, 10, 11, 6, 7, 12, 13, 9dvheveccl 35784 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
1514eldifad 3481 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  V )
16 hdmapval3.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
175, 6, 7, 8, 9, 15, 16dvh3dim 36118 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  V  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T } ) )
1817adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  E. x  e.  V  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )
19 hdmapval3.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
20 hdmapval3.d . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  C
)
21 hdmapval3.j . . . . 5  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
22 hdmapval3.i . . . . 5  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
23 hdmapval3.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
24 simp1l 1015 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  ph )
2524, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
26 hdmapval3.te . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { E } ) )
2724, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { E } ) )
2824, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  T  e.  V )
29 simp1r 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  T  =/=  ( 0g `  U
) )
30 eldifsn 4145 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( V  \  { ( 0g `  U ) } )  <-> 
( T  e.  V  /\  T  =/=  ( 0g `  U ) ) )
3128, 29, 30sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  T  e.  ( V  \  {
( 0g `  U
) } ) )
32 simp2 992 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  x  e.  V )
33 simp3 993 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T } ) )
345, 13, 6, 7, 8, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 31, 32, 33hdmapval3lemN 36512 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  ( S `  T )  =  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  T >. ) )
3534rexlimdv3a 2950 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. x  e.  V  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T } )  ->  ( S `  T )  =  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  T >. ) ) )
3618, 35mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( S `  T )  =  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  T >. ) )
37 eqid 2460 . . . 4  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
385, 6, 12, 19, 37, 23, 9hdmapval0 36508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  ( 0g `  U ) )  =  ( 0g `  C ) )
395, 6, 7, 12, 19, 20, 37, 21, 9, 14hvmapcl2 36438 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J `  E
)  e.  ( D 
\  { ( 0g
`  C ) } ) )
4039eldifad 3481 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J `  E
)  e.  D )
415, 6, 7, 12, 19, 20, 37, 22, 9, 40, 15hdmap1val0 36472 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  ( 0g `  U )
>. )  =  ( 0g `  C ) )
4238, 41eqtr4d 2504 . 2  |-  ( ph  ->  ( S `  ( 0g `  U ) )  =  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  ( 0g `  U
) >. ) )
434, 36, 42pm2.61ne 2775 1  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  T >. )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   E.wrex 2808    \ cdif 3466   {csn 4020   {cpr 4022   <.cop 4026   <.cotp 4028    _I cid 4783    |` cres 4994   ` cfv 5579   Basecbs 14479   0gc0g 14684   LSpanclspn 17393   HLchlt 34022   LHypclh 34655   LTrncltrn 34772   DVecHcdvh 35750  LCDualclcd 36258  HVMapchvm 36428  HDMap1chdma1 36464  HDMapchdma 36465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 33631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-ot 4029  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-undef 6992  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-0g 14686  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-cntz 16143  df-oppg 16169  df-lsm 16445  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-drng 17174  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-lvec 17525  df-lsatoms 33648  df-lshyp 33649  df-lcv 33691  df-lfl 33730  df-lkr 33758  df-ldual 33796  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171  df-lines 34172  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776  df-trl 34830  df-tgrp 35414  df-tendo 35426  df-edring 35428  df-dveca 35674  df-disoa 35701  df-dvech 35751  df-dib 35811  df-dic 35845  df-dih 35901  df-doch 36020  df-djh 36067  df-lcdual 36259  df-mapd 36297  df-hvmap 36429  df-hdmap1 36466  df-hdmap 36467
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator