Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval2 Structured version   Unicode version

Theorem hdmapval2 37437
Description: Value of map from vectors to functionals with a specific auxiliary vector. TODO: Would shorter proofs result if the .ne hypothesis were changed to two  =/= hypothesis? Consider hdmaplem1 37373 through hdmaplem4 37376, which would become obsolete. (Contributed by NM, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapval2.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapval2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapval2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapval2.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmapval2.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmapval2.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmapval2.j  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hdmapval2.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmapval2.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapval2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapval2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
hdmapval2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hdmapval2.ne  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) )
Assertion
Ref Expression
hdmapval2  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
)

Proof of Theorem hdmapval2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( S `
 T ) )
2 hdmapval2.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 hdmapval2.e . . . 4  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
4 hdmapval2.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 hdmapval2.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 hdmapval2.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 hdmapval2.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 hdmapval2.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 hdmapval2.j . . . 4  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
10 hdmapval2.i . . . 4  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
11 hdmapval2.s . . . 4  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
12 hdmapval2.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 hdmapval2.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
142, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 13hdmapcl 37435 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  e.  D )
152, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14hdmapval2lem 37436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  T )  =  ( S `  T )  <->  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. ) ) ) )
161, 15mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. ) ) )
17 hdmapval2.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
18 hdmapval2.ne . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) )
19 eleq1 2515 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  (
z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  <->  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) ) )
2019notbid 294 . . . 4  |-  ( z  =  X  ->  ( -.  z  e.  (
( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  <->  -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) ) )
21 oteq1 4211 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  <. z ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  z >. ) ,  T >.  =  <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. )
22 oteq3 4213 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  X  ->  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.  =  <. E ,  ( J `  E ) ,  X >. )
2322fveq2d 5860 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  (
I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  X >. )
)
2423oteq2d 4215 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  <. X , 
( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  z
>. ) ,  T >.  = 
<. X ,  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  X >. ) ,  T >. )
2521, 24eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( z  =  X  ->  <. z ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  z >. ) ,  T >.  =  <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
2625fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  X >. ) ,  T >. ) )
2726eqeq2d 2457 . . . 4  |-  ( z  =  X  ->  (
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. )  <-> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
) )
2820, 27imbi12d 320 . . 3  |-  ( z  =  X  ->  (
( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. ) )  <->  ( -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
) ) )
2928rspccv 3193 . 2  |-  ( A. z  e.  V  ( -.  z  e.  (
( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. ) )  ->  ( X  e.  V  ->  ( -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
) ) )
3016, 17, 18, 29syl3c 61 1  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793    u. cun 3459   {csn 4014   <.cop 4020   <.cotp 4022    _I cid 4780    |` cres 4991   ` cfv 5578   Basecbs 14614   LSpanclspn 17596   HLchlt 34950   LHypclh 35583   LTrncltrn 35700   DVecHcdvh 36680  LCDualclcd 37188  HVMapchvm 37358  HDMap1chdma1 37394  HDMapchdma 37395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-riotaBAD 34559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-0g 14821  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-preset 15536  df-poset 15554  df-plt 15567  df-lub 15583  df-glb 15584  df-join 15585  df-meet 15586  df-p0 15648  df-p1 15649  df-lat 15655  df-clat 15717  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-subg 16177  df-cntz 16334  df-oppg 16360  df-lsm 16635  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-oppr 17251  df-dvdsr 17269  df-unit 17270  df-invr 17300  df-dvr 17311  df-drng 17377  df-lmod 17493  df-lss 17558  df-lsp 17597  df-lvec 17728  df-lsatoms 34576  df-lshyp 34577  df-lcv 34619  df-lfl 34658  df-lkr 34686  df-ldual 34724  df-oposet 34776  df-ol 34778  df-oml 34779  df-covers 34866  df-ats 34867  df-atl 34898  df-cvlat 34922  df-hlat 34951  df-llines 35097  df-lplanes 35098  df-lvols 35099  df-lines 35100  df-psubsp 35102  df-pmap 35103  df-padd 35395  df-lhyp 35587  df-laut 35588  df-ldil 35703  df-ltrn 35704  df-trl 35759  df-tgrp 36344  df-tendo 36356  df-edring 36358  df-dveca 36604  df-disoa 36631  df-dvech 36681  df-dib 36741  df-dic 36775  df-dih 36831  df-doch 36950  df-djh 36997  df-lcdual 37189  df-mapd 37227  df-hvmap 37359  df-hdmap1 37396  df-hdmap 37397
This theorem is referenced by:  hdmapval0  37438  hdmapeveclem  37439  hdmapval3lemN  37442  hdmap10lem  37444  hdmap11lem1  37446
  Copyright terms: Public domain W3C validator