Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval2 Structured version   Unicode version

Theorem hdmapval2 36632
Description: Value of map from vectors to functionals with a specific auxiliary vector. TODO: Would shorter proofs result if the .ne hypothesis were changed to two  =/= hypothesis? Consider hdmaplem1 36568 through hdmaplem4 36571, which would become obsolete. (Contributed by NM, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapval2.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapval2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapval2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapval2.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmapval2.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmapval2.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmapval2.j  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hdmapval2.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmapval2.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapval2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapval2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
hdmapval2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hdmapval2.ne  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) )
Assertion
Ref Expression
hdmapval2  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
)

Proof of Theorem hdmapval2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( S `
 T ) )
2 hdmapval2.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 hdmapval2.e . . . 4  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
4 hdmapval2.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 hdmapval2.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 hdmapval2.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 hdmapval2.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 hdmapval2.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 hdmapval2.j . . . 4  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
10 hdmapval2.i . . . 4  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
11 hdmapval2.s . . . 4  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
12 hdmapval2.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 hdmapval2.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
142, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 13hdmapcl 36630 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  e.  D )
152, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14hdmapval2lem 36631 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  T )  =  ( S `  T )  <->  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. ) ) ) )
161, 15mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. ) ) )
17 hdmapval2.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
18 hdmapval2.ne . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) )
19 eleq1 2539 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  (
z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  <->  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) ) )
2019notbid 294 . . . 4  |-  ( z  =  X  ->  ( -.  z  e.  (
( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  <->  -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) ) )
21 oteq1 4222 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  <. z ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  z >. ) ,  T >.  =  <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. )
22 oteq3 4224 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  X  ->  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.  =  <. E ,  ( J `  E ) ,  X >. )
2322fveq2d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  (
I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  X >. )
)
2423oteq2d 4226 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  <. X , 
( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  z
>. ) ,  T >.  = 
<. X ,  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  X >. ) ,  T >. )
2521, 24eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( z  =  X  ->  <. z ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  z >. ) ,  T >.  =  <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
2625fveq2d 5868 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  X >. ) ,  T >. ) )
2726eqeq2d 2481 . . . 4  |-  ( z  =  X  ->  (
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. )  <-> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
) )
2820, 27imbi12d 320 . . 3  |-  ( z  =  X  ->  (
( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. ) )  <->  ( -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
) ) )
2928rspccv 3211 . 2  |-  ( A. z  e.  V  ( -.  z  e.  (
( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. ) )  ->  ( X  e.  V  ->  ( -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
) ) )
3016, 17, 18, 29syl3c 61 1  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    u. cun 3474   {csn 4027   <.cop 4033   <.cotp 4035    _I cid 4790    |` cres 5001   ` cfv 5586   Basecbs 14483   LSpanclspn 17397   HLchlt 34147   LHypclh 34780   LTrncltrn 34897   DVecHcdvh 35875  LCDualclcd 36383  HVMapchvm 36553  HDMap1chdma1 36589  HDMapchdma 36590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-riotaBAD 33756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-undef 6999  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-0g 14690  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-poset 15426  df-plt 15438  df-lub 15454  df-glb 15455  df-join 15456  df-meet 15457  df-p0 15519  df-p1 15520  df-lat 15526  df-clat 15588  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-subg 15990  df-cntz 16147  df-oppg 16173  df-lsm 16449  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-oppr 17053  df-dvdsr 17071  df-unit 17072  df-invr 17102  df-dvr 17113  df-drng 17178  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-lvec 17529  df-lsatoms 33773  df-lshyp 33774  df-lcv 33816  df-lfl 33855  df-lkr 33883  df-ldual 33921  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955  df-tgrp 35539  df-tendo 35551  df-edring 35553  df-dveca 35799  df-disoa 35826  df-dvech 35876  df-dib 35936  df-dic 35970  df-dih 36026  df-doch 36145  df-djh 36192  df-lcdual 36384  df-mapd 36422  df-hvmap 36554  df-hdmap1 36591  df-hdmap 36592
This theorem is referenced by:  hdmapval0  36633  hdmapeveclem  36634  hdmapval3lemN  36637  hdmap10lem  36639  hdmap11lem1  36641
  Copyright terms: Public domain W3C validator