Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem8N Structured version   Unicode version

Theorem hdmaprnlem8N 35501
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 19, s-St  e. (Ft)* = T*. (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmaprnlem1.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmaprnlem1.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmaprnlem1.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.l  |-  L  =  ( LSpan `  C )
hdmaprnlem1.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmaprnlem1.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmaprnlem1.se  |-  ( ph  ->  s  e.  ( D 
\  { Q }
) )
hdmaprnlem1.ve  |-  ( ph  ->  v  e.  V )
hdmaprnlem1.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { v } ) )  =  ( L `  {
s } ) )
hdmaprnlem1.ue  |-  ( ph  ->  u  e.  V )
hdmaprnlem1.un  |-  ( ph  ->  -.  u  e.  ( N `  { v } ) )
hdmaprnlem1.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmaprnlem1.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmaprnlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmaprnlem1.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
hdmaprnlem1.t2  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( N `  { v } )  \  {  .0.  } ) )
hdmaprnlem1.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmaprnlem1.pt  |-  ( ph  ->  ( L `  {
( ( S `  u )  .+b  s
) } )  =  ( M `  ( N `  { (
u  .+  t ) } ) ) )
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem8N  |-  ( ph  ->  ( s ( -g `  C ) ( S `
 t ) )  e.  ( M `  ( N `  { t } ) ) )

Proof of Theorem hdmaprnlem8N
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmaprnlem1.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
3 hdmaprnlem1.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3lcdlmod 35234 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
5 hdmaprnlem1.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
6 hdmaprnlem1.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 eqid 2441 . . 3  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
8 eqid 2441 . . 3  |-  ( LSubSp `  C )  =  (
LSubSp `  C )
91, 6, 3dvhlmod 34752 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
10 hdmaprnlem1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
11 hdmaprnlem1.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
12 hdmaprnlem1.l . . . . 5  |-  L  =  ( LSpan `  C )
13 hdmaprnlem1.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
14 hdmaprnlem1.se . . . . 5  |-  ( ph  ->  s  e.  ( D 
\  { Q }
) )
15 hdmaprnlem1.ve . . . . 5  |-  ( ph  ->  v  e.  V )
16 hdmaprnlem1.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { v } ) )  =  ( L `  {
s } ) )
17 hdmaprnlem1.ue . . . . 5  |-  ( ph  ->  u  e.  V )
18 hdmaprnlem1.un . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  u  e.  ( N `  { v } ) )
19 hdmaprnlem1.d . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  C
)
20 hdmaprnlem1.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
21 hdmaprnlem1.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
22 hdmaprnlem1.a . . . . 5  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
23 hdmaprnlem1.t2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( N `  { v } )  \  {  .0.  } ) )
241, 6, 10, 11, 2, 12, 5, 13, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23hdmaprnlem4tN 35497 . . . 4  |-  ( ph  ->  t  e.  V )
2510, 7, 11lspsncl 17056 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  t  e.  V )  ->  ( N `  { t } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
269, 24, 25syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
t } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
271, 5, 6, 7, 2, 8, 3, 26mapdcl2 35298 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { t } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
2814eldifad 3338 . . . 4  |-  ( ph  ->  s  e.  D )
2919, 12lspsnid 17072 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  s  e.  D )  ->  s  e.  ( L `  {
s } ) )
304, 28, 29syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  s  e.  ( L `
 { s } ) )
311, 6, 10, 11, 2, 12, 5, 13, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23hdmaprnlem4N 35498 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { t } ) )  =  ( L `  {
s } ) )
3230, 31eleqtrrd 2518 . 2  |-  ( ph  ->  s  e.  ( M `
 ( N `  { t } ) ) )
331, 6, 10, 2, 19, 13, 3, 24hdmapcl 35475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  t
)  e.  D )
3419, 12lspsnid 17072 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  ( S `  t )  e.  D )  ->  ( S `  t )  e.  ( L `  {
( S `  t
) } ) )
354, 33, 34syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  t
)  e.  ( L `
 { ( S `
 t ) } ) )
361, 6, 10, 11, 2, 12, 5, 13, 3, 24hdmap10 35485 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { t } ) )  =  ( L `  {
( S `  t
) } ) )
3735, 36eleqtrrd 2518 . 2  |-  ( ph  ->  ( S `  t
)  e.  ( M `
 ( N `  { t } ) ) )
38 eqid 2441 . . 3  |-  ( -g `  C )  =  (
-g `  C )
3938, 8lssvsubcl 17023 . 2  |-  ( ( ( C  e.  LMod  /\  ( M `  ( N `  { t } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)  /\  ( s  e.  ( M `  ( N `  { t } ) )  /\  ( S `  t )  e.  ( M `  ( N `  { t } ) ) ) )  ->  ( s
( -g `  C ) ( S `  t
) )  e.  ( M `  ( N `
 { t } ) ) )
404, 27, 32, 37, 39syl22anc 1219 1  |-  ( ph  ->  ( s ( -g `  C ) ( S `
 t ) )  e.  ( M `  ( N `  { t } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3323   {csn 3875   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Basecbs 14172   +g cplusg 14236   0gc0g 14376   -gcsg 15411   LModclmod 16946   LSubSpclss 17011   LSpanclspn 17050   HLchlt 32992   LHypclh 33625   DVecHcdvh 34720  LCDualclcd 35228  mapdcmpd 35266  HDMapchdma 35435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-riotaBAD 32601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-ot 3884  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-tpos 6743  df-undef 6790  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-0g 14378  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-poset 15114  df-plt 15126  df-lub 15142  df-glb 15143  df-join 15144  df-meet 15145  df-p0 15207  df-p1 15208  df-lat 15214  df-clat 15276  df-mnd 15413  df-submnd 15463  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-subg 15676  df-cntz 15833  df-oppg 15859  df-lsm 16133  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-invr 16762  df-dvr 16773  df-drng 16832  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-lsp 17051  df-lvec 17182  df-lsatoms 32618  df-lshyp 32619  df-lcv 32661  df-lfl 32700  df-lkr 32728  df-ldual 32766  df-oposet 32818  df-ol 32820  df-oml 32821  df-covers 32908  df-ats 32909  df-atl 32940  df-cvlat 32964  df-hlat 32993  df-llines 33139  df-lplanes 33140  df-lvols 33141  df-lines 33142  df-psubsp 33144  df-pmap 33145  df-padd 33437  df-lhyp 33629  df-laut 33630  df-ldil 33745  df-ltrn 33746  df-trl 33800  df-tgrp 34384  df-tendo 34396  df-edring 34398  df-dveca 34644  df-disoa 34671  df-dvech 34721  df-dib 34781  df-dic 34815  df-dih 34871  df-doch 34990  df-djh 35037  df-lcdual 35229  df-mapd 35267  df-hvmap 35399  df-hdmap1 35436  df-hdmap 35437
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem9N  35502
  Copyright terms: Public domain W3C validator