Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapnzcl Structured version   Unicode version

Theorem hdmapnzcl 35775
Description: Nonzero vector closure of map from vectors to functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 27-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapnzcl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapnzcl.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapnzcl.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapnzcl.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmapnzcl.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmapnzcl.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmapnzcl.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmapnzcl.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapnzcl.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapnzcl.t  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
Assertion
Ref Expression
hdmapnzcl  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  e.  ( D 
\  { Q }
) )

Proof of Theorem hdmapnzcl
StepHypRef Expression
1 hdmapnzcl.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmapnzcl.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmapnzcl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 hdmapnzcl.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
5 hdmapnzcl.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  C
)
6 hdmapnzcl.s . . 3  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
7 hdmapnzcl.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 hdmapnzcl.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
98eldifad 3424 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9hdmapcl 35760 . 2  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  e.  D )
11 eldifsni 4085 . . . 4  |-  ( T  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  T  =/=  .0.  )
128, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  T  =/=  .0.  )
13 hdmapnzcl.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
14 hdmapnzcl.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
151, 2, 3, 13, 4, 14, 6, 7, 9hdmapeq0 35774 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S `  T )  =  Q  <-> 
T  =  .0.  )
)
1615necon3bid 2703 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  T )  =/=  Q  <->  T  =/=  .0.  ) )
1712, 16mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =/=  Q )
18 eldifsn 4084 . 2  |-  ( ( S `  T )  e.  ( D  \  { Q } )  <->  ( ( S `  T )  e.  D  /\  ( S `  T )  =/=  Q ) )
1910, 17, 18sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  e.  ( D 
\  { Q }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757    =/= wne 2641    \ cdif 3409   {csn 3961   ` cfv 5502   Basecbs 14262   0gc0g 14466   HLchlt 33277   LHypclh 33910   DVecHcdvh 35005  LCDualclcd 35513  HDMapchdma 35720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-riotaBAD 32886
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-ot 3970  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-tpos 6831  df-undef 6878  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-sca 14342  df-vsca 14343  df-0g 14468  df-mre 14612  df-mrc 14613  df-acs 14615  df-poset 15204  df-plt 15216  df-lub 15232  df-glb 15233  df-join 15234  df-meet 15235  df-p0 15297  df-p1 15298  df-lat 15304  df-clat 15366  df-mnd 15503  df-submnd 15553  df-grp 15633  df-minusg 15634  df-sbg 15635  df-subg 15766  df-cntz 15923  df-oppg 15949  df-lsm 16225  df-cmn 16369  df-abl 16370  df-mgp 16683  df-ur 16695  df-rng 16739  df-oppr 16807  df-dvdsr 16825  df-unit 16826  df-invr 16856  df-dvr 16867  df-drng 16926  df-lmod 17042  df-lss 17106  df-lsp 17145  df-lvec 17276  df-lsatoms 32903  df-lshyp 32904  df-lcv 32946  df-lfl 32985  df-lkr 33013  df-ldual 33051  df-oposet 33103  df-ol 33105  df-oml 33106  df-covers 33193  df-ats 33194  df-atl 33225  df-cvlat 33249  df-hlat 33278  df-llines 33424  df-lplanes 33425  df-lvols 33426  df-lines 33427  df-psubsp 33429  df-pmap 33430  df-padd 33722  df-lhyp 33914  df-laut 33915  df-ldil 34030  df-ltrn 34031  df-trl 34085  df-tgrp 34669  df-tendo 34681  df-edring 34683  df-dveca 34929  df-disoa 34956  df-dvech 35006  df-dib 35066  df-dic 35100  df-dih 35156  df-doch 35275  df-djh 35322  df-lcdual 35514  df-mapd 35552  df-hvmap 35684  df-hdmap1 35721  df-hdmap 35722
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3N  35780  hdmap14lem3  35800  hdmap14lem4a  35801  hdmap14lem6  35803  hdmap14lem9  35806
  Copyright terms: Public domain W3C validator