Theorem hdmapgln2 34915

Description: g-linear property that will be used for inner product. (Contributed by NM, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapgln2.h	|- H = ( LHyp ` K )
hdmapgln2.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
hdmapgln2.v	|- V = ( Base ` U )
hdmapgln2.p	|- .+ = ( +g ` U )
hdmapgln2.t	|- .x. = ( .s ` U )
hdmapgln2.r	|- R = (Scalar ` U )
hdmapgln2.b	|- B = ( Base ` R )
hdmapgln2.q	|- .+^ = ( +g ` R )
hdmapgln2.m	|- .X. = ( .r ` R )
hdmapgln2.s	|- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
hdmapgln2.g	|- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
hdmapgln2.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
hdmapgln2.x	|- ( ph -> X e. V )
hdmapgln2.y	|- ( ph -> Y e. V )
hdmapgln2.z	|- ( ph -> Z e. V )
hdmapgln2.a	|- ( ph -> A e. B )

Assertion

Ref	Expression
hdmapgln2	|- ( ph -> ( ( S ` ( ( A .x. Y ) .+ Z ) ) ` X ) = ( ( ( ( S ` Y ) ` X ) .X. ( G ` A ) ) .+^ ( ( S ` Z ) ` X ) ) )

Proof of Theorem hdmapgln2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapgln2.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
2		hdmapgln2.u	. . 3 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3		hdmapgln2.v	. . 3 |- V = ( Base ` U )
4		hdmapgln2.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` U )
5		hdmapgln2.r	. . 3 |- R = (Scalar ` U )
6		hdmapgln2.q	. . 3 |- .+^ = ( +g ` R )
7		hdmapgln2.s	. . 3 |- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
8		hdmapgln2.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9		hdmapgln2.x	. . 3 |- ( ph -> X e. V )
10	1, 2, 8	dvhlmod 34110	. . . 4 |- ( ph -> U e. LMod )
11		hdmapgln2.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. B )
12		hdmapgln2.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
13		hdmapgln2.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` U )
14		hdmapgln2.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
15	3, 5, 13, 14	lmodvscl 17847	. . . 4 |- ( ( U e. LMod /\ A e. B /\ Y e. V ) -> ( A .x. Y ) e. V )
16	10, 11, 12, 15	syl3anc 1230	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. Y ) e. V )
17		hdmapgln2.z	. . 3 |- ( ph -> Z e. V )
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 17	hdmaplna2 34913	. 2 |- ( ph -> ( ( S ` ( ( A .x. Y ) .+ Z ) ) ` X ) = ( ( ( S ` ( A .x. Y ) ) ` X ) .+^ ( ( S ` Z ) ` X ) ) )
19		hdmapgln2.m	. . . 4 |- .X. = ( .r ` R )
20		hdmapgln2.g	. . . 4 |- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
21	1, 2, 3, 13, 5, 14, 19, 7, 20, 8, 9, 12, 11	hdmapglnm2 34914	. . 3 |- ( ph -> ( ( S ` ( A .x. Y ) ) ` X ) = ( ( ( S ` Y ) ` X ) .X. ( G ` A ) ) )
22	21	oveq1d 6292	. 2 |- ( ph -> ( ( ( S ` ( A .x. Y ) ) ` X ) .+^ ( ( S ` Z ) ` X ) ) = ( ( ( ( S ` Y ) ` X ) .X. ( G ` A ) ) .+^ ( ( S ` Z ) ` X ) ) )
23	18, 22	eqtrd 2443	1 |- ( ph -> ( ( S ` ( ( A .x. Y ) .+ Z ) ) ` X ) = ( ( ( ( S ` Y ) ` X ) .X. ( G ` A ) ) .+^ ( ( S ` Z ) ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   .rcmulr 14908  Scalarcsca 14910   .scvsca 14911   LModclmod 17830   HLchlt 32348   LHypclh 32981   DVecHcdvh 34078  HDMapchdma 34793  HGMapchg 34886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-riotaBAD 31957

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-ot 3980  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-0g 15054  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-p1 15992  df-lat 15998  df-clat 16060  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-cntz 16677  df-oppg 16703  df-lsm 16978  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-dvr 17650  df-drng 17716  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-lvec 18067  df-lsatoms 31974  df-lshyp 31975  df-lcv 32017  df-lfl 32056  df-lkr 32084  df-ldual 32122  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-llines 32495  df-lplanes 32496  df-lvols 32497  df-lines 32498  df-psubsp 32500  df-pmap 32501  df-padd 32793  df-lhyp 32985  df-laut 32986  df-ldil 33101  df-ltrn 33102  df-trl 33157  df-tgrp 33742  df-tendo 33754  df-edring 33756  df-dveca 34002  df-disoa 34029  df-dvech 34079  df-dib 34139  df-dic 34173  df-dih 34229  df-doch 34348  df-djh 34395  df-lcdual 34587  df-mapd 34625  df-hvmap 34757  df-hdmap1 34794  df-hdmap 34795  df-hgmap 34887

This theorem is referenced by:  hdmapglem7b  34931