Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapgln2 Structured version   Unicode version

Theorem hdmapgln2 34915
Description: g-linear property that will be used for inner product. (Contributed by NM, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapgln2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapgln2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapgln2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapgln2.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmapgln2.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
hdmapgln2.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmapgln2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hdmapgln2.q  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
hdmapgln2.m  |-  .X.  =  ( .r `  R )
hdmapgln2.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapgln2.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hdmapgln2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapgln2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hdmapgln2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
hdmapgln2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
hdmapgln2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
Assertion
Ref Expression
hdmapgln2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( ( A  .x.  Y )  .+  Z
) ) `  X
)  =  ( ( ( ( S `  Y ) `  X
)  .X.  ( G `  A ) )  .+^  ( ( S `  Z ) `  X
) ) )

Proof of Theorem hdmapgln2
StepHypRef Expression
1 hdmapgln2.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmapgln2.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmapgln2.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 hdmapgln2.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
5 hdmapgln2.r . . 3  |-  R  =  (Scalar `  U )
6 hdmapgln2.q . . 3  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
7 hdmapgln2.s . . 3  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
8 hdmapgln2.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 hdmapgln2.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
101, 2, 8dvhlmod 34110 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
11 hdmapgln2.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
12 hdmapgln2.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
13 hdmapgln2.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  U )
14 hdmapgln2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
153, 5, 13, 14lmodvscl 17847 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  ( A  .x.  Y )  e.  V )
1610, 11, 12, 15syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  Y
)  e.  V )
17 hdmapgln2.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 17hdmaplna2 34913 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( ( A  .x.  Y )  .+  Z
) ) `  X
)  =  ( ( ( S `  ( A  .x.  Y ) ) `
 X )  .+^  ( ( S `  Z ) `  X
) ) )
19 hdmapgln2.m . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
20 hdmapgln2.g . . . 4  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
211, 2, 3, 13, 5, 14, 19, 7, 20, 8, 9, 12, 11hdmapglnm2 34914 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( A  .x.  Y ) ) `  X )  =  ( ( ( S `  Y ) `
 X )  .X.  ( G `  A ) ) )
2221oveq1d 6292 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 ( A  .x.  Y ) ) `  X )  .+^  ( ( S `  Z ) `
 X ) )  =  ( ( ( ( S `  Y
) `  X )  .X.  ( G `  A
) )  .+^  ( ( S `  Z ) `
 X ) ) )
2318, 22eqtrd 2443 1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( ( A  .x.  Y )  .+  Z
) ) `  X
)  =  ( ( ( ( S `  Y ) `  X
)  .X.  ( G `  A ) )  .+^  ( ( S `  Z ) `  X
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   .rcmulr 14908  Scalarcsca 14910   .scvsca 14911   LModclmod 17830   HLchlt 32348   LHypclh 32981   DVecHcdvh 34078  HDMapchdma 34793  HGMapchg 34886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-riotaBAD 31957
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-ot 3980  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-0g 15054  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-p1 15992  df-lat 15998  df-clat 16060  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-cntz 16677  df-oppg 16703  df-lsm 16978  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-dvr 17650  df-drng 17716  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-lvec 18067  df-lsatoms 31974  df-lshyp 31975  df-lcv 32017  df-lfl 32056  df-lkr 32084  df-ldual 32122  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-llines 32495  df-lplanes 32496  df-lvols 32497  df-lines 32498  df-psubsp 32500  df-pmap 32501  df-padd 32793  df-lhyp 32985  df-laut 32986  df-ldil 33101  df-ltrn 33102  df-trl 33157  df-tgrp 33742  df-tendo 33754  df-edring 33756  df-dveca 34002  df-disoa 34029  df-dvech 34079  df-dib 34139  df-dic 34173  df-dih 34229  df-doch 34348  df-djh 34395  df-lcdual 34587  df-mapd 34625  df-hvmap 34757  df-hdmap1 34794  df-hdmap 34795  df-hgmap 34887
This theorem is referenced by:  hdmapglem7b  34931
  Copyright terms: Public domain W3C validator