Theorem hdmapgln2 35923

Description: g-linear property that will be used for inner product. (Contributed by NM, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapgln2.h	|- H = ( LHyp ` K )
hdmapgln2.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
hdmapgln2.v	|- V = ( Base ` U )
hdmapgln2.p	|- .+ = ( +g ` U )
hdmapgln2.t	|- .x. = ( .s ` U )
hdmapgln2.r	|- R = (Scalar ` U )
hdmapgln2.b	|- B = ( Base ` R )
hdmapgln2.q	|- .+^ = ( +g ` R )
hdmapgln2.m	|- .X. = ( .r ` R )
hdmapgln2.s	|- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
hdmapgln2.g	|- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
hdmapgln2.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
hdmapgln2.x	|- ( ph -> X e. V )
hdmapgln2.y	|- ( ph -> Y e. V )
hdmapgln2.z	|- ( ph -> Z e. V )
hdmapgln2.a	|- ( ph -> A e. B )

Assertion

Ref	Expression
hdmapgln2	|- ( ph -> ( ( S ` ( ( A .x. Y ) .+ Z ) ) ` X ) = ( ( ( ( S ` Y ) ` X ) .X. ( G ` A ) ) .+^ ( ( S ` Z ) ` X ) ) )

Proof of Theorem hdmapgln2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapgln2.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
2		hdmapgln2.u	. . 3 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3		hdmapgln2.v	. . 3 |- V = ( Base ` U )
4		hdmapgln2.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` U )
5		hdmapgln2.r	. . 3 |- R = (Scalar ` U )
6		hdmapgln2.q	. . 3 |- .+^ = ( +g ` R )
7		hdmapgln2.s	. . 3 |- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
8		hdmapgln2.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9		hdmapgln2.x	. . 3 |- ( ph -> X e. V )
10	1, 2, 8	dvhlmod 35118	. . . 4 |- ( ph -> U e. LMod )
11		hdmapgln2.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. B )
12		hdmapgln2.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
13		hdmapgln2.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` U )
14		hdmapgln2.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
15	3, 5, 13, 14	lmodvscl 17098	. . . 4 |- ( ( U e. LMod /\ A e. B /\ Y e. V ) -> ( A .x. Y ) e. V )
16	10, 11, 12, 15	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. Y ) e. V )
17		hdmapgln2.z	. . 3 |- ( ph -> Z e. V )
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 17	hdmaplna2 35921	. 2 |- ( ph -> ( ( S ` ( ( A .x. Y ) .+ Z ) ) ` X ) = ( ( ( S ` ( A .x. Y ) ) ` X ) .+^ ( ( S ` Z ) ` X ) ) )
19		hdmapgln2.m	. . . 4 |- .X. = ( .r ` R )
20		hdmapgln2.g	. . . 4 |- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
21	1, 2, 3, 13, 5, 14, 19, 7, 20, 8, 9, 12, 11	hdmapglnm2 35922	. . 3 |- ( ph -> ( ( S ` ( A .x. Y ) ) ` X ) = ( ( ( S ` Y ) ` X ) .X. ( G ` A ) ) )
22	21	oveq1d 6218	. 2 |- ( ph -> ( ( ( S ` ( A .x. Y ) ) ` X ) .+^ ( ( S ` Z ) ` X ) ) = ( ( ( ( S ` Y ) ` X ) .X. ( G ` A ) ) .+^ ( ( S ` Z ) ` X ) ) )
23	18, 22	eqtrd 2495	1 |- ( ph -> ( ( S ` ( ( A .x. Y ) .+ Z ) ) ` X ) = ( ( ( ( S ` Y ) ` X ) .X. ( G ` A ) ) .+^ ( ( S ` Z ) ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296   +g cplusg 14361   .rcmulr 14362  Scalarcsca 14364   .scvsca 14365   LModclmod 17081   HLchlt 33358   LHypclh 33991   DVecHcdvh 35086  HDMapchdma 35801  HGMapchg 35894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-riotaBAD 32967

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-undef 6905  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-0g 14503  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-poset 15239  df-plt 15251  df-lub 15267  df-glb 15268  df-join 15269  df-meet 15270  df-p0 15332  df-p1 15333  df-lat 15339  df-clat 15401  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-subg 15801  df-cntz 15958  df-oppg 15984  df-lsm 16260  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-oppr 16848  df-dvdsr 16866  df-unit 16867  df-invr 16897  df-dvr 16908  df-drng 16967  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-lsp 17186  df-lvec 17317  df-lsatoms 32984  df-lshyp 32985  df-lcv 33027  df-lfl 33066  df-lkr 33094  df-ldual 33132  df-oposet 33184  df-ol 33186  df-oml 33187  df-covers 33274  df-ats 33275  df-atl 33306  df-cvlat 33330  df-hlat 33359  df-llines 33505  df-lplanes 33506  df-lvols 33507  df-lines 33508  df-psubsp 33510  df-pmap 33511  df-padd 33803  df-lhyp 33995  df-laut 33996  df-ldil 34111  df-ltrn 34112  df-trl 34166  df-tgrp 34750  df-tendo 34762  df-edring 34764  df-dveca 35010  df-disoa 35037  df-dvech 35087  df-dib 35147  df-dic 35181  df-dih 35237  df-doch 35356  df-djh 35403  df-lcdual 35595  df-mapd 35633  df-hvmap 35765  df-hdmap1 35802  df-hdmap 35803  df-hgmap 35895

This theorem is referenced by:  hdmapglem7b  35939