Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapgln2 Structured version   Unicode version

Theorem hdmapgln2 35923
Description: g-linear property that will be used for inner product. (Contributed by NM, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapgln2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapgln2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapgln2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapgln2.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmapgln2.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
hdmapgln2.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmapgln2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hdmapgln2.q  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
hdmapgln2.m  |-  .X.  =  ( .r `  R )
hdmapgln2.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapgln2.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hdmapgln2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapgln2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hdmapgln2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
hdmapgln2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
hdmapgln2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
Assertion
Ref Expression
hdmapgln2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( ( A  .x.  Y )  .+  Z
) ) `  X
)  =  ( ( ( ( S `  Y ) `  X
)  .X.  ( G `  A ) )  .+^  ( ( S `  Z ) `  X
) ) )

Proof of Theorem hdmapgln2
StepHypRef Expression
1 hdmapgln2.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmapgln2.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmapgln2.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 hdmapgln2.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
5 hdmapgln2.r . . 3  |-  R  =  (Scalar `  U )
6 hdmapgln2.q . . 3  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
7 hdmapgln2.s . . 3  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
8 hdmapgln2.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 hdmapgln2.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
101, 2, 8dvhlmod 35118 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
11 hdmapgln2.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
12 hdmapgln2.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
13 hdmapgln2.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  U )
14 hdmapgln2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
153, 5, 13, 14lmodvscl 17098 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  ( A  .x.  Y )  e.  V )
1610, 11, 12, 15syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  Y
)  e.  V )
17 hdmapgln2.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 17hdmaplna2 35921 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( ( A  .x.  Y )  .+  Z
) ) `  X
)  =  ( ( ( S `  ( A  .x.  Y ) ) `
 X )  .+^  ( ( S `  Z ) `  X
) ) )
19 hdmapgln2.m . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
20 hdmapgln2.g . . . 4  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
211, 2, 3, 13, 5, 14, 19, 7, 20, 8, 9, 12, 11hdmapglnm2 35922 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( A  .x.  Y ) ) `  X )  =  ( ( ( S `  Y ) `
 X )  .X.  ( G `  A ) ) )
2221oveq1d 6218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 ( A  .x.  Y ) ) `  X )  .+^  ( ( S `  Z ) `
 X ) )  =  ( ( ( ( S `  Y
) `  X )  .X.  ( G `  A
) )  .+^  ( ( S `  Z ) `
 X ) ) )
2318, 22eqtrd 2495 1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( ( A  .x.  Y )  .+  Z
) ) `  X
)  =  ( ( ( ( S `  Y ) `  X
)  .X.  ( G `  A ) )  .+^  ( ( S `  Z ) `  X
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296   +g cplusg 14361   .rcmulr 14362  Scalarcsca 14364   .scvsca 14365   LModclmod 17081   HLchlt 33358   LHypclh 33991   DVecHcdvh 35086  HDMapchdma 35801  HGMapchg 35894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-riotaBAD 32967
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-undef 6905  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-0g 14503  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-poset 15239  df-plt 15251  df-lub 15267  df-glb 15268  df-join 15269  df-meet 15270  df-p0 15332  df-p1 15333  df-lat 15339  df-clat 15401  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-subg 15801  df-cntz 15958  df-oppg 15984  df-lsm 16260  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-oppr 16848  df-dvdsr 16866  df-unit 16867  df-invr 16897  df-dvr 16908  df-drng 16967  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-lsp 17186  df-lvec 17317  df-lsatoms 32984  df-lshyp 32985  df-lcv 33027  df-lfl 33066  df-lkr 33094  df-ldual 33132  df-oposet 33184  df-ol 33186  df-oml 33187  df-covers 33274  df-ats 33275  df-atl 33306  df-cvlat 33330  df-hlat 33359  df-llines 33505  df-lplanes 33506  df-lvols 33507  df-lines 33508  df-psubsp 33510  df-pmap 33511  df-padd 33803  df-lhyp 33995  df-laut 33996  df-ldil 34111  df-ltrn 34112  df-trl 34166  df-tgrp 34750  df-tendo 34762  df-edring 34764  df-dveca 35010  df-disoa 35037  df-dvech 35087  df-dib 35147  df-dic 35181  df-dih 35237  df-doch 35356  df-djh 35403  df-lcdual 35595  df-mapd 35633  df-hvmap 35765  df-hdmap1 35802  df-hdmap 35803  df-hgmap 35895
This theorem is referenced by:  hdmapglem7b  35939
  Copyright terms: Public domain W3C validator