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Theorem hdmapglem7 35577
Description: Lemma for hdmapg 35578. Line 15 in [Baer] p. 111, f(x,y) alpha = f(y,x). In the proof, our  E,  ( O `  { E } )  X,  Y,  k,  u,  l,  v correspond to Baer's w, H, x, y, x', x'', y' , y'', and our  ( ( S `
 Y ) `  X ) corresponds to Baer's f(x,y). (Contributed by NM, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem7.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapglem7.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapglem7.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
hdmapglem7.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapglem7.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapglem7.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmapglem7.q  |-  .x.  =  ( .s `  U )
hdmapglem7.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmapglem7.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hdmapglem7.a  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
hdmapglem7.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmapglem7.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapglem7.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hdmapglem7.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
hdmapglem7.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
hdmapglem7.c  |-  .+b  =  ( +g  `  R )
hdmapglem7.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapglem7.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hdmapglem7.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmapglem7  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  Y
) `  X )
)  =  ( ( S `  X ) `
 Y ) )

Proof of Theorem hdmapglem7
Dummy variables  k 
l  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmapglem7.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmapglem7.e . . 3  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
3 hdmapglem7.o . . 3  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 hdmapglem7.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 hdmapglem7.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 hdmapglem7.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
7 hdmapglem7.q . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  U )
8 hdmapglem7.r . . 3  |-  R  =  (Scalar `  U )
9 hdmapglem7.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
10 hdmapglem7.a . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
11 hdmapglem7.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
12 hdmapglem7.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 hdmapglem7.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13hdmapglem7a 35575 . 2  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ( O `  { E } ) E. k  e.  B  X  =  ( ( k  .x.  E )  .+  u
) )
15 hdmapglem7.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15hdmapglem7a 35575 . 2  |-  ( ph  ->  E. v  e.  ( O `  { E } ) E. l  e.  B  Y  =  ( ( l  .x.  E )  .+  v
) )
17 hdmapglem7.c . . . . . . . . . . . 12  |-  .+b  =  ( +g  `  R )
18 hdmapglem7.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
1912ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
201, 4, 12dvhlmod 34755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
218lmodrng 16956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  ->  R  e.  Ring )
24 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
k  e.  B )
25 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
l  e.  B )
261, 4, 8, 9, 18, 19, 25hgmapcl 35537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  l
)  e.  B )
27 hdmapglem7.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .X.  =  ( .r `  R )
289, 27rngcl 16658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  k  e.  B  /\  ( G `  l )  e.  B )  ->  (
k  .X.  ( G `  l ) )  e.  B )
2923, 24, 26, 28syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( k  .X.  ( G `  l )
)  e.  B )
30 hdmapglem7.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
31 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
32 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
33 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
341, 31, 32, 4, 5, 33, 2, 12dvheveccl 34757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
3534eldifad 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  E  e.  V )
3635snssd 4018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { E }  C_  V )
371, 4, 5, 3dochssv 35000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { E }  C_  V )  ->  ( O `  { E } )  C_  V
)
3812, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( O `  { E } )  C_  V
)
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( O `  { E } )  C_  V
)
40 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  ->  u  e.  ( O `  { E } ) )
4139, 40sseldd 3357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  ->  u  e.  V )
42 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
v  e.  ( O `
 { E }
) )
4339, 42sseldd 3357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
v  e.  V )
441, 4, 5, 8, 9, 30, 19, 41, 43hdmapipcl 35553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( ( S `  v ) `  u
)  e.  B )
451, 4, 8, 9, 17, 18, 19, 29, 44hgmapadd 35542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  (
( k  .X.  ( G `  l )
)  .+b  ( ( S `  v ) `  u ) ) )  =  ( ( G `
 ( k  .X.  ( G `  l ) ) )  .+b  ( G `  ( ( S `  v ) `  u ) ) ) )
461, 4, 8, 9, 27, 18, 19, 24, 26hgmapmul 35543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  (
k  .X.  ( G `  l ) ) )  =  ( ( G `
 ( G `  l ) )  .X.  ( G `  k ) ) )
471, 4, 8, 9, 18, 19, 25hgmapvv 35574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  ( G `  l )
)  =  l )
4847oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( ( G `  ( G `  l ) )  .X.  ( G `  k ) )  =  ( l  .X.  ( G `  k )
) )
4946, 48eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  (
k  .X.  ( G `  l ) ) )  =  ( l  .X.  ( G `  k ) ) )
50 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -g `  U )  =  (
-g `  U )
51 hdmapglem7.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
521, 2, 3, 4, 5, 6, 50, 7, 8, 9, 27, 51, 30, 18, 19, 40, 42, 24, 24hdmapglem5 35570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  (
( S `  v
) `  u )
)  =  ( ( S `  u ) `
 v ) )
5349, 52oveq12d 6109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( ( G `  ( k  .X.  ( G `  l )
) )  .+b  ( G `  ( ( S `  v ) `  u ) ) )  =  ( ( l 
.X.  ( G `  k ) )  .+b  ( ( S `  u ) `  v
) ) )
5445, 53eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  (
( k  .X.  ( G `  l )
)  .+b  ( ( S `  v ) `  u ) ) )  =  ( ( l 
.X.  ( G `  k ) )  .+b  ( ( S `  u ) `  v
) ) )
5513ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  ->  X  e.  V )
561, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 55, 27, 51, 17, 30, 18, 42, 40, 25, 24hdmapglem7b 35576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( ( S `  ( ( l  .x.  E )  .+  v
) ) `  (
( k  .x.  E
)  .+  u )
)  =  ( ( k  .X.  ( G `  l ) )  .+b  ( ( S `  v ) `  u
) ) )
5756fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  (
( S `  (
( l  .x.  E
)  .+  v )
) `  ( (
k  .x.  E )  .+  u ) ) )  =  ( G `  ( ( k  .X.  ( G `  l ) )  .+b  ( ( S `  v ) `  u ) ) ) )
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 55, 27, 51, 17, 30, 18, 40, 42, 24, 25hdmapglem7b 35576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( ( S `  ( ( k  .x.  E )  .+  u
) ) `  (
( l  .x.  E
)  .+  v )
)  =  ( ( l  .X.  ( G `  k ) )  .+b  ( ( S `  u ) `  v
) ) )
5954, 57, 583eqtr4d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  (
( S `  (
( l  .x.  E
)  .+  v )
) `  ( (
k  .x.  E )  .+  u ) ) )  =  ( ( S `
 ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) ) `  ( ( l  .x.  E )  .+  v
) ) )
60593adantl3 1146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  (
( S `  (
( l  .x.  E
)  .+  v )
) `  ( (
k  .x.  E )  .+  u ) ) )  =  ( ( S `
 ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) ) `  ( ( l  .x.  E )  .+  v
) ) )
61603adant3 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  /\  Y  =  ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) )  -> 
( G `  (
( S `  (
( l  .x.  E
)  .+  v )
) `  ( (
k  .x.  E )  .+  u ) ) )  =  ( ( S `
 ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) ) `  ( ( l  .x.  E )  .+  v
) ) )
62 simp3 990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  /\  Y  =  ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) )  ->  Y  =  ( (
l  .x.  E )  .+  v ) )
6362fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  /\  Y  =  ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) )  -> 
( S `  Y
)  =  ( S `
 ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) ) )
64 simp13 1020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  /\  Y  =  ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) )  ->  X  =  ( (
k  .x.  E )  .+  u ) )
6563, 64fveq12d 5697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  /\  Y  =  ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) )  -> 
( ( S `  Y ) `  X
)  =  ( ( S `  ( ( l  .x.  E ) 
.+  v ) ) `
 ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) ) )
6665fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  /\  Y  =  ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) )  -> 
( G `  (
( S `  Y
) `  X )
)  =  ( G `
 ( ( S `
 ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) ) `  ( ( k  .x.  E )  .+  u
) ) ) )
6764fveq2d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  /\  Y  =  ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) )  -> 
( S `  X
)  =  ( S `
 ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) ) )
6867, 62fveq12d 5697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  /\  Y  =  ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) )  -> 
( ( S `  X ) `  Y
)  =  ( ( S `  ( ( k  .x.  E ) 
.+  u ) ) `
 ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) ) )
6961, 66, 683eqtr4d 2485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  /\  Y  =  ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) )  -> 
( G `  (
( S `  Y
) `  X )
)  =  ( ( S `  X ) `
 Y ) )
70693exp 1186 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( O `  { E } )  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  -> 
( ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  ->  ( Y  =  ( (
l  .x.  E )  .+  v )  ->  ( G `  ( ( S `  Y ) `  X ) )  =  ( ( S `  X ) `  Y
) ) ) )
7170rexlimdvv 2847 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( O `  { E } )  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  -> 
( E. v  e.  ( O `  { E } ) E. l  e.  B  Y  =  ( ( l  .x.  E )  .+  v
)  ->  ( G `  ( ( S `  Y ) `  X
) )  =  ( ( S `  X
) `  Y )
) )
72713exp 1186 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( O `  { E } )  /\  k  e.  B )  ->  ( X  =  ( (
k  .x.  E )  .+  u )  ->  ( E. v  e.  ( O `  { E } ) E. l  e.  B  Y  =  ( ( l  .x.  E )  .+  v
)  ->  ( G `  ( ( S `  Y ) `  X
) )  =  ( ( S `  X
) `  Y )
) ) ) )
7372rexlimdvv 2847 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( O `  { E } ) E. k  e.  B  X  =  ( ( k  .x.  E )  .+  u
)  ->  ( E. v  e.  ( O `  { E } ) E. l  e.  B  Y  =  ( (
l  .x.  E )  .+  v )  ->  ( G `  ( ( S `  Y ) `  X ) )  =  ( ( S `  X ) `  Y
) ) ) )
7414, 16, 73mp2d 45 1  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  Y
) `  X )
)  =  ( ( S `  X ) `
 Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2716    C_ wss 3328   {csn 3877   <.cop 3883    _I cid 4631    |` cres 4842   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   .rcmulr 14239  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   0gc0g 14378   -gcsg 15413   LSSumclsm 16133   Ringcrg 16645   LModclmod 16948   LSpanclspn 17052   HLchlt 32995   LHypclh 33628   LTrncltrn 33745   DVecHcdvh 34723   ocHcoch 34992  HDMapchdma 35438  HGMapchg 35531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-riotaBAD 32604
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-ot 3886  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-undef 6792  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-0g 14380  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-p1 15210  df-lat 15216  df-clat 15278  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-cntz 15835  df-oppg 15861  df-lsm 16135  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-dvr 16775  df-drng 16834  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-lvec 17184  df-lsatoms 32621  df-lshyp 32622  df-lcv 32664  df-lfl 32703  df-lkr 32731  df-ldual 32769  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-llines 33142  df-lplanes 33143  df-lvols 33144  df-lines 33145  df-psubsp 33147  df-pmap 33148  df-padd 33440  df-lhyp 33632  df-laut 33633  df-ldil 33748  df-ltrn 33749  df-trl 33803  df-tgrp 34387  df-tendo 34399  df-edring 34401  df-dveca 34647  df-disoa 34674  df-dvech 34724  df-dib 34784  df-dic 34818  df-dih 34874  df-doch 34993  df-djh 35040  df-lcdual 35232  df-mapd 35270  df-hvmap 35402  df-hdmap1 35439  df-hdmap 35440  df-hgmap 35532
This theorem is referenced by:  hdmapg  35578
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