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Theorem hdmapglem7 34932
Description: Lemma for hdmapg 34933. Line 15 in [Baer] p. 111, f(x,y) alpha = f(y,x). In the proof, our  E,  ( O `  { E } )  X,  Y,  k,  u,  l,  v correspond to Baer's w, H, x, y, x', x'', y' , y'', and our  ( ( S `
 Y ) `  X ) corresponds to Baer's f(x,y). (Contributed by NM, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem7.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapglem7.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapglem7.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
hdmapglem7.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapglem7.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapglem7.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmapglem7.q  |-  .x.  =  ( .s `  U )
hdmapglem7.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmapglem7.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hdmapglem7.a  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
hdmapglem7.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmapglem7.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapglem7.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hdmapglem7.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
hdmapglem7.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
hdmapglem7.c  |-  .+b  =  ( +g  `  R )
hdmapglem7.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapglem7.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hdmapglem7.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmapglem7  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  Y
) `  X )
)  =  ( ( S `  X ) `
 Y ) )

Proof of Theorem hdmapglem7
Dummy variables  k 
l  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmapglem7.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmapglem7.e . . 3  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
3 hdmapglem7.o . . 3  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 hdmapglem7.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 hdmapglem7.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 hdmapglem7.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
7 hdmapglem7.q . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  U )
8 hdmapglem7.r . . 3  |-  R  =  (Scalar `  U )
9 hdmapglem7.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
10 hdmapglem7.a . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
11 hdmapglem7.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
12 hdmapglem7.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 hdmapglem7.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13hdmapglem7a 34930 . 2  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ( O `  { E } ) E. k  e.  B  X  =  ( ( k  .x.  E )  .+  u
) )
15 hdmapglem7.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15hdmapglem7a 34930 . 2  |-  ( ph  ->  E. v  e.  ( O `  { E } ) E. l  e.  B  Y  =  ( ( l  .x.  E )  .+  v
) )
17 hdmapglem7.c . . . . . . . . . . . 12  |-  .+b  =  ( +g  `  R )
18 hdmapglem7.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
1912ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
201, 4, 12dvhlmod 34110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
218lmodring 17838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2322ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  ->  R  e.  Ring )
24 simplrr 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
k  e.  B )
25 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
l  e.  B )
261, 4, 8, 9, 18, 19, 25hgmapcl 34892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  l
)  e.  B )
27 hdmapglem7.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .X.  =  ( .r `  R )
289, 27ringcl 17530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  k  e.  B  /\  ( G `  l )  e.  B )  ->  (
k  .X.  ( G `  l ) )  e.  B )
2923, 24, 26, 28syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( k  .X.  ( G `  l )
)  e.  B )
30 hdmapglem7.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
31 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
32 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
33 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
341, 31, 32, 4, 5, 33, 2, 12dvheveccl 34112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
3534eldifad 3425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  E  e.  V )
3635snssd 4116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { E }  C_  V )
371, 4, 5, 3dochssv 34355 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { E }  C_  V )  ->  ( O `  { E } )  C_  V
)
3812, 36, 37syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( O `  { E } )  C_  V
)
3938ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( O `  { E } )  C_  V
)
40 simplrl 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  ->  u  e.  ( O `  { E } ) )
4139, 40sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  ->  u  e.  V )
42 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
v  e.  ( O `
 { E }
) )
4339, 42sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
v  e.  V )
441, 4, 5, 8, 9, 30, 19, 41, 43hdmapipcl 34908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( ( S `  v ) `  u
)  e.  B )
451, 4, 8, 9, 17, 18, 19, 29, 44hgmapadd 34897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  (
( k  .X.  ( G `  l )
)  .+b  ( ( S `  v ) `  u ) ) )  =  ( ( G `
 ( k  .X.  ( G `  l ) ) )  .+b  ( G `  ( ( S `  v ) `  u ) ) ) )
461, 4, 8, 9, 27, 18, 19, 24, 26hgmapmul 34898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  (
k  .X.  ( G `  l ) ) )  =  ( ( G `
 ( G `  l ) )  .X.  ( G `  k ) ) )
471, 4, 8, 9, 18, 19, 25hgmapvv 34929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  ( G `  l )
)  =  l )
4847oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( ( G `  ( G `  l ) )  .X.  ( G `  k ) )  =  ( l  .X.  ( G `  k )
) )
4946, 48eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  (
k  .X.  ( G `  l ) ) )  =  ( l  .X.  ( G `  k ) ) )
50 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -g `  U )  =  (
-g `  U )
51 hdmapglem7.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
521, 2, 3, 4, 5, 6, 50, 7, 8, 9, 27, 51, 30, 18, 19, 40, 42, 24, 24hdmapglem5 34925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  (
( S `  v
) `  u )
)  =  ( ( S `  u ) `
 v ) )
5349, 52oveq12d 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( ( G `  ( k  .X.  ( G `  l )
) )  .+b  ( G `  ( ( S `  v ) `  u ) ) )  =  ( ( l 
.X.  ( G `  k ) )  .+b  ( ( S `  u ) `  v
) ) )
5445, 53eqtrd 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  (
( k  .X.  ( G `  l )
)  .+b  ( ( S `  v ) `  u ) ) )  =  ( ( l 
.X.  ( G `  k ) )  .+b  ( ( S `  u ) `  v
) ) )
5513ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  ->  X  e.  V )
561, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 55, 27, 51, 17, 30, 18, 42, 40, 25, 24hdmapglem7b 34931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( ( S `  ( ( l  .x.  E )  .+  v
) ) `  (
( k  .x.  E
)  .+  u )
)  =  ( ( k  .X.  ( G `  l ) )  .+b  ( ( S `  v ) `  u
) ) )
5756fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  (
( S `  (
( l  .x.  E
)  .+  v )
) `  ( (
k  .x.  E )  .+  u ) ) )  =  ( G `  ( ( k  .X.  ( G `  l ) )  .+b  ( ( S `  v ) `  u ) ) ) )
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 55, 27, 51, 17, 30, 18, 40, 42, 24, 25hdmapglem7b 34931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( ( S `  ( ( k  .x.  E )  .+  u
) ) `  (
( l  .x.  E
)  .+  v )
)  =  ( ( l  .X.  ( G `  k ) )  .+b  ( ( S `  u ) `  v
) ) )
5954, 57, 583eqtr4d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  (
( S `  (
( l  .x.  E
)  .+  v )
) `  ( (
k  .x.  E )  .+  u ) ) )  =  ( ( S `
 ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) ) `  ( ( l  .x.  E )  .+  v
) ) )
60593adantl3 1155 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B ) )  -> 
( G `  (
( S `  (
( l  .x.  E
)  .+  v )
) `  ( (
k  .x.  E )  .+  u ) ) )  =  ( ( S `
 ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) ) `  ( ( l  .x.  E )  .+  v
) ) )
61603adant3 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  /\  Y  =  ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) )  -> 
( G `  (
( S `  (
( l  .x.  E
)  .+  v )
) `  ( (
k  .x.  E )  .+  u ) ) )  =  ( ( S `
 ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) ) `  ( ( l  .x.  E )  .+  v
) ) )
62 simp3 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  /\  Y  =  ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) )  ->  Y  =  ( (
l  .x.  E )  .+  v ) )
6362fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  /\  Y  =  ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) )  -> 
( S `  Y
)  =  ( S `
 ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) ) )
64 simp13 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  /\  Y  =  ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) )  ->  X  =  ( (
k  .x.  E )  .+  u ) )
6563, 64fveq12d 5854 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  /\  Y  =  ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) )  -> 
( ( S `  Y ) `  X
)  =  ( ( S `  ( ( l  .x.  E ) 
.+  v ) ) `
 ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) ) )
6665fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  /\  Y  =  ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) )  -> 
( G `  (
( S `  Y
) `  X )
)  =  ( G `
 ( ( S `
 ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) ) `  ( ( k  .x.  E )  .+  u
) ) ) )
6764fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  /\  Y  =  ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) )  -> 
( S `  X
)  =  ( S `
 ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) ) )
6867, 62fveq12d 5854 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  /\  Y  =  ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) )  -> 
( ( S `  X ) `  Y
)  =  ( ( S `  ( ( k  .x.  E ) 
.+  u ) ) `
 ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) ) )
6961, 66, 683eqtr4d 2453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( O `
 { E }
)  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  /\  ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  /\  Y  =  ( ( l 
.x.  E )  .+  v ) )  -> 
( G `  (
( S `  Y
) `  X )
)  =  ( ( S `  X ) `
 Y ) )
70693exp 1196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( O `  { E } )  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  -> 
( ( v  e.  ( O `  { E } )  /\  l  e.  B )  ->  ( Y  =  ( (
l  .x.  E )  .+  v )  ->  ( G `  ( ( S `  Y ) `  X ) )  =  ( ( S `  X ) `  Y
) ) ) )
7170rexlimdvv 2901 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( O `  { E } )  /\  k  e.  B )  /\  X  =  ( ( k 
.x.  E )  .+  u ) )  -> 
( E. v  e.  ( O `  { E } ) E. l  e.  B  Y  =  ( ( l  .x.  E )  .+  v
)  ->  ( G `  ( ( S `  Y ) `  X
) )  =  ( ( S `  X
) `  Y )
) )
72713exp 1196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( O `  { E } )  /\  k  e.  B )  ->  ( X  =  ( (
k  .x.  E )  .+  u )  ->  ( E. v  e.  ( O `  { E } ) E. l  e.  B  Y  =  ( ( l  .x.  E )  .+  v
)  ->  ( G `  ( ( S `  Y ) `  X
) )  =  ( ( S `  X
) `  Y )
) ) ) )
7372rexlimdvv 2901 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( O `  { E } ) E. k  e.  B  X  =  ( ( k  .x.  E )  .+  u
)  ->  ( E. v  e.  ( O `  { E } ) E. l  e.  B  Y  =  ( (
l  .x.  E )  .+  v )  ->  ( G `  ( ( S `  Y ) `  X ) )  =  ( ( S `  X ) `  Y
) ) ) )
7414, 16, 73mp2d 43 1  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  Y
) `  X )
)  =  ( ( S `  X ) `
 Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2754    C_ wss 3413   {csn 3971   <.cop 3977    _I cid 4732    |` cres 4824   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   .rcmulr 14908  Scalarcsca 14910   .scvsca 14911   0gc0g 15052   -gcsg 16377   LSSumclsm 16976   Ringcrg 17516   LModclmod 17830   LSpanclspn 17935   HLchlt 32348   LHypclh 32981   LTrncltrn 33098   DVecHcdvh 34078   ocHcoch 34347  HDMapchdma 34793  HGMapchg 34886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-riotaBAD 31957
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-ot 3980  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-0g 15054  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-p1 15992  df-lat 15998  df-clat 16060  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-cntz 16677  df-oppg 16703  df-lsm 16978  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-dvr 17650  df-drng 17716  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-lvec 18067  df-lsatoms 31974  df-lshyp 31975  df-lcv 32017  df-lfl 32056  df-lkr 32084  df-ldual 32122  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-llines 32495  df-lplanes 32496  df-lvols 32497  df-lines 32498  df-psubsp 32500  df-pmap 32501  df-padd 32793  df-lhyp 32985  df-laut 32986  df-ldil 33101  df-ltrn 33102  df-trl 33157  df-tgrp 33742  df-tendo 33754  df-edring 33756  df-dveca 34002  df-disoa 34029  df-dvech 34079  df-dib 34139  df-dic 34173  df-dih 34229  df-doch 34348  df-djh 34395  df-lcdual 34587  df-mapd 34625  df-hvmap 34757  df-hdmap1 34794  df-hdmap 34795  df-hgmap 34887
This theorem is referenced by:  hdmapg  34933
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