Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapglem5 Unicode version

Theorem hdmapglem5 32408
Description: Part 1.2 in [Baer] p. 110 line 34, f(u,v) alpha = f(v,u). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem5.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapglem5.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapglem5.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
hdmapglem5.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapglem5.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapglem5.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmapglem5.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
hdmapglem5.q  |-  .x.  =  ( .s `  U )
hdmapglem5.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmapglem5.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hdmapglem5.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
hdmapglem5.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
hdmapglem5.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapglem5.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hdmapglem5.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapglem5.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( O `
 { E }
) )
hdmapglem5.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( O `
 { E }
) )
hdmapglem5.i  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
hdmapglem5.j  |-  ( ph  ->  J  e.  B )
Assertion
Ref Expression
hdmapglem5  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
)  =  ( ( S `  C ) `
 D ) )

Proof of Theorem hdmapglem5
StepHypRef Expression
1 hdmapglem5.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmapglem5.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmapglem5.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlmod 31593 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
5 hdmapglem5.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  U )
65lmodrng 15913 . . . 4  |-  ( U  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
74, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
8 hdmapglem5.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
9 hdmapglem5.g . . . 4  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
10 hdmapglem5.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
11 hdmapglem5.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
12 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
13 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
14 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
15 hdmapglem5.e . . . . . . . . . 10  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
161, 12, 13, 2, 10, 14, 15, 3dvheveccl 31595 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
1716eldifad 3292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  V )
1817snssd 3903 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { E }  C_  V )
19 hdmapglem5.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
201, 2, 10, 19dochssv 31838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { E }  C_  V )  ->  ( O `  { E } )  C_  V
)
213, 18, 20syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  { E } )  C_  V
)
22 hdmapglem5.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( O `
 { E }
) )
2321, 22sseldd 3309 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
24 hdmapglem5.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( O `
 { E }
) )
2521, 24sseldd 3309 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  V )
261, 2, 10, 5, 8, 11, 3, 23, 25hdmapipcl 32391 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S `  D ) `  C
)  e.  B )
271, 2, 5, 8, 9, 3, 26hgmapcl 32375 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
)  e.  B )
28 hdmapglem5.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
29 eqid 2404 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
308, 28, 29rnglidm 15642 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G `  ( ( S `  D ) `  C ) )  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .X.  ( G `  ( ( S `  D ) `  C
) ) )  =  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
) )
317, 27, 30syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R )  .X.  ( G `  ( ( S `  D ) `  C ) ) )  =  ( G `  ( ( S `  D ) `  C
) ) )
32 hdmapglem5.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
33 hdmapglem5.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  U )
34 hdmapglem5.q . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  U )
35 hdmapglem5.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
368, 29rngidcl 15639 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
377, 36syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  B )
381, 2, 5, 29, 9, 3hgmapval1 32379 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  R ) )
3938oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 D ) `  C )  .X.  ( G `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( ( S `  D ) `
 C )  .X.  ( 1r `  R ) ) )
408, 28, 29rngridm 15643 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( S `  D
) `  C )  e.  B )  ->  (
( ( S `  D ) `  C
)  .X.  ( 1r `  R ) )  =  ( ( S `  D ) `  C
) )
417, 26, 40syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 D ) `  C )  .X.  ( 1r `  R ) )  =  ( ( S `
 D ) `  C ) )
4239, 41eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 D ) `  C )  .X.  ( G `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( S `
 D ) `  C ) )
431, 15, 19, 2, 10, 32, 33, 34, 5, 8, 28, 35, 11, 9, 3, 22, 24, 26, 37, 42hdmapinvlem4 32407 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R )  .X.  ( G `  ( ( S `  D ) `  C ) ) )  =  ( ( S `
 C ) `  D ) )
4431, 43eqtr3d 2438 1  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( S `  D
) `  C )
)  =  ( ( S `  C ) `
 D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   {csn 3774   <.cop 3777    _I cid 4453    |` cres 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   0gc0g 13678   -gcsg 14643   Ringcrg 15615   1rcur 15617   LModclmod 15905   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   DVecHcdvh 31561   ocHcoch 31830  HDMapchdma 32276  HGMapchg 32369
This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  32409  hdmapglem7  32415
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-ot 3784  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-undef 6502  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-0g 13682  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130  df-lsatoms 29459  df-lshyp 29460  df-lcv 29502  df-lfl 29541  df-lkr 29569  df-ldual 29607  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tgrp 31225  df-tendo 31237  df-edring 31239  df-dveca 31485  df-disoa 31512  df-dvech 31562  df-dib 31622  df-dic 31656  df-dih 31712  df-doch 31831  df-djh 31878  df-lcdual 32070  df-mapd 32108  df-hvmap 32240  df-hdmap1 32277  df-hdmap 32278  df-hgmap 32370
  Copyright terms: Public domain W3C validator