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Theorem hdmapfval 36636
Description: Map from vectors to functionals in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapfval.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapfval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapfval.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapfval.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmapfval.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmapfval.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmapfval.j  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hdmapfval.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmapfval.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapfval.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  A  /\  W  e.  H
) )
Assertion
Ref Expression
hdmapfval  |-  ( ph  ->  S  =  ( t  e.  V  |->  ( iota_ y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { t } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, t,
z, K    y, D    t, E, y, z    t, I, y, z    t, U, y, z    t, V, y, z    t, W, y, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z, t)    A( y, z, t)    C( y, z, t)    D( z, t)    S( y, z, t)    H( y, z, t)    J( y, z, t)    N( y, z, t)

Proof of Theorem hdmapfval
Dummy variables  w  e  a  i  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmapfval.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  A  /\  W  e.  H
) )
2 hdmapfval.s . . . 4  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
3 hdmapval.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
43hdmapffval 36635 . . . . 5  |-  ( K  e.  A  ->  (HDMap `  K )  =  ( w  e.  H  |->  { a  |  [. <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  w ) ) >.  /  e ]. [. (
( DVecH `  K ) `  w )  /  u ]. [. ( Base `  u
)  /  v ]. [. ( (HDMap1 `  K
) `  w )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) } ) )
54fveq1d 5867 . . . 4  |-  ( K  e.  A  ->  (
(HDMap `  K ) `  W )  =  ( ( w  e.  H  |->  { a  |  [. <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  w ) ) >.  /  e ]. [. (
( DVecH `  K ) `  w )  /  u ]. [. ( Base `  u
)  /  v ]. [. ( (HDMap1 `  K
) `  w )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) } ) `  W
) )
62, 5syl5eq 2520 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  S  =  ( ( w  e.  H  |->  { a  |  [. <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  w ) ) >.  /  e ]. [. (
( DVecH `  K ) `  w )  /  u ]. [. ( Base `  u
)  /  v ]. [. ( (HDMap1 `  K
) `  w )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) } ) `  W
) )
7 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  (
( LTrn `  K ) `  w )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
87reseq2d 5272 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  w
) )  =  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) )
98opeq2d 4220 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  w ) ) >.  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
)
10 dfsbcq 3333 . . . . . . . 8  |-  ( <.
(  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  w ) ) >.  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  ->  ( [. <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  w ) ) >.  /  e ]. [. (
( DVecH `  K ) `  w )  /  u ]. [. ( Base `  u
)  /  v ]. [. ( (HDMap1 `  K
) `  w )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )  <->  [. <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  /  e ]. [. (
( DVecH `  K ) `  w )  /  u ]. [. ( Base `  u
)  /  v ]. [. ( (HDMap1 `  K
) `  w )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( [. <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  w ) ) >.  /  e ]. [. (
( DVecH `  K ) `  w )  /  u ]. [. ( Base `  u
)  /  v ]. [. ( (HDMap1 `  K
) `  w )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )  <->  [. <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  /  e ]. [. (
( DVecH `  K ) `  w )  /  u ]. [. ( Base `  u
)  /  v ]. [. ( (HDMap1 `  K
) `  w )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
12 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  (
( DVecH `  K ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )
13 dfsbcq 3333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( DVecH `  K ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )  ->  ( [. ( ( DVecH `  K
) `  w )  /  u ]. [. ( Base `  u )  / 
v ]. [. ( (HDMap1 `  K ) `  w
)  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v  |->  ( iota_ y  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  w ) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  (
( ( LSpan `  u
) `  { e } )  u.  (
( LSpan `  u ) `  { t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )  <->  [. ( ( DVecH `  K
) `  W )  /  u ]. [. ( Base `  u )  / 
v ]. [. ( (HDMap1 `  K ) `  w
)  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v  |->  ( iota_ y  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  w ) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  (
( ( LSpan `  u
) `  { e } )  u.  (
( LSpan `  u ) `  { t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( [. ( ( DVecH `  K
) `  w )  /  u ]. [. ( Base `  u )  / 
v ]. [. ( (HDMap1 `  K ) `  w
)  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v  |->  ( iota_ y  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  w ) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  (
( ( LSpan `  u
) `  { e } )  u.  (
( LSpan `  u ) `  { t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )  <->  [. ( ( DVecH `  K
) `  W )  /  u ]. [. ( Base `  u )  / 
v ]. [. ( (HDMap1 `  K ) `  w
)  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v  |->  ( iota_ y  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  w ) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  (
( ( LSpan `  u
) `  { e } )  u.  (
( LSpan `  u ) `  { t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
15 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  W  ->  (
(HDMap1 `  K ) `  w )  =  ( (HDMap1 `  K ) `  W ) )
16 dfsbcq 3333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (HDMap1 `  K ) `  w )  =  ( (HDMap1 `  K ) `  W )  ->  ( [. ( (HDMap1 `  K
) `  w )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )  <->  [. ( (HDMap1 `  K
) `  W )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  W  ->  ( [. ( (HDMap1 `  K
) `  w )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )  <->  [. ( (HDMap1 `  K
) `  W )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
18 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  W  ->  (
(LCDual `  K ) `  w )  =  ( (LCDual `  K ) `  W ) )
1918fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) )  =  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) )
20 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  W  ->  (
(HVMap `  K ) `  w )  =  ( (HVMap `  K ) `  W ) )
2120fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  W  ->  (
( (HVMap `  K
) `  w ) `  e )  =  ( ( (HVMap `  K
) `  W ) `  e ) )
2221oteq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  W  ->  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w
) `  e ) ,  z >.  =  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e ) ,  z >. )
2322fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  W  ->  (
i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w
) `  e ) ,  z >. )  =  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) )
2423oteq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  W  ->  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.  =  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )
2524fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  W  ->  (
i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )  =  ( i `  <. z ,  ( i `
 <. e ,  ( ( (HVMap `  K
) `  W ) `  e ) ,  z
>. ) ,  t >.
) )
2625eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  W  ->  (
y  =  ( i `
 <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )  <->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `
 <. e ,  ( ( (HVMap `  K
) `  W ) `  e ) ,  z
>. ) ,  t >.
) ) )
2726imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  W  ->  (
( -.  z  e.  ( ( ( LSpan `  u ) `  {
e } )  u.  ( ( LSpan `  u
) `  { t } ) )  -> 
y  =  ( i `
 <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )
)  <->  ( -.  z  e.  ( ( ( LSpan `  u ) `  {
e } )  u.  ( ( LSpan `  u
) `  { t } ) )  -> 
y  =  ( i `
 <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )
) ) )
2827ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  W  ->  ( A. z  e.  v 
( -.  z  e.  ( ( ( LSpan `  u ) `  {
e } )  u.  ( ( LSpan `  u
) `  { t } ) )  -> 
y  =  ( i `
 <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )
)  <->  A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( ( ( LSpan `  u ) `  {
e } )  u.  ( ( LSpan `  u
) `  { t } ) )  -> 
y  =  ( i `
 <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )
) ) )
2919, 28riotaeqbidv 6247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  W  ->  ( iota_ y  e.  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  w )
) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( ( ( LSpan `  u ) `  {
e } )  u.  ( ( LSpan `  u
) `  { t } ) )  -> 
y  =  ( i `
 <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )
) )  =  (
iota_ y  e.  ( Base `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )
3029mpteq2dv 4534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  W  ->  (
t  e.  v  |->  (
iota_ y  e.  ( Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )  =  ( t  e.  v  |->  ( iota_ y  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  (
( ( LSpan `  u
) `  { e } )  u.  (
( LSpan `  u ) `  { t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) )
3130eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  W  ->  (
a  e.  ( t  e.  v  |->  ( iota_ y  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  w ) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  (
( ( LSpan `  u
) `  { e } )  u.  (
( LSpan `  u ) `  { t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )  <-> 
a  e.  ( t  e.  v  |->  ( iota_ y  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  (
( ( LSpan `  u
) `  { e } )  u.  (
( LSpan `  u ) `  { t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
3231sbcbidv 3390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  W  ->  ( [. ( (HDMap1 `  K
) `  W )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
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) ,  t >.
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) `  W )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
3317, 32bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  W  ->  ( [. ( (HDMap1 `  K
) `  w )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
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) `  W )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
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Base `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
3433sbcbidv 3390 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  ( [. ( Base `  u
)  /  v ]. [. ( (HDMap1 `  K
) `  w )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
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)  /  v ]. [. ( (HDMap1 `  K
) `  W )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
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3534sbcbidv 3390 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( [. ( ( DVecH `  K
) `  W )  /  u ]. [. ( Base `  u )  / 
v ]. [. ( (HDMap1 `  K ) `  w
)  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v  |->  ( iota_ y  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  w ) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  (
( ( LSpan `  u
) `  { e } )  u.  (
( LSpan `  u ) `  { t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
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) `  W )  /  u ]. [. ( Base `  u )  / 
v ]. [. ( (HDMap1 `  K ) `  W
)  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v  |->  ( iota_ y  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  (
( ( LSpan `  u
) `  { e } )  u.  (
( LSpan `  u ) `  { t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
3614, 35bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( [. ( ( DVecH `  K
) `  w )  /  u ]. [. ( Base `  u )  / 
v ]. [. ( (HDMap1 `  K ) `  w
)  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v  |->  ( iota_ y  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  w ) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  (
( ( LSpan `  u
) `  { e } )  u.  (
( LSpan `  u ) `  { t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
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) `  W )  /  u ]. [. ( Base `  u )  / 
v ]. [. ( (HDMap1 `  K ) `  W
)  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v  |->  ( iota_ y  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  (
( ( LSpan `  u
) `  { e } )  u.  (
( LSpan `  u ) `  { t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
3736sbcbidv 3390 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( [. <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  /  e ]. [. (
( DVecH `  K ) `  w )  /  u ]. [. ( Base `  u
)  /  v ]. [. ( (HDMap1 `  K
) `  w )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )  <->  [. <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  /  e ]. [. (
( DVecH `  K ) `  W )  /  u ]. [. ( Base `  u
)  /  v ]. [. ( (HDMap1 `  K
) `  W )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
3811, 37bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( [. <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  w ) ) >.  /  e ]. [. (
( DVecH `  K ) `  w )  /  u ]. [. ( Base `  u
)  /  v ]. [. ( (HDMap1 `  K
) `  w )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )  <->  [. <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  /  e ]. [. (
( DVecH `  K ) `  W )  /  u ]. [. ( Base `  u
)  /  v ]. [. ( (HDMap1 `  K
) `  W )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
39 opex 4711 . . . . . . 7  |-  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  e.  _V
40 fvex 5875 . . . . . . 7  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  e.  _V
41 fvex 5875 . . . . . . 7  |-  ( Base `  u )  e.  _V
42 simp1 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  /\  u  =  (
( DVecH `  K ) `  W )  /\  v  =  ( Base `  u
) )  ->  e  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
)
43 hdmapfval.e . . . . . . . . 9  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
4442, 43syl6eqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  /\  u  =  (
( DVecH `  K ) `  W )  /\  v  =  ( Base `  u
) )  ->  e  =  E )
45 simp2 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  /\  u  =  (
( DVecH `  K ) `  W )  /\  v  =  ( Base `  u
) )  ->  u  =  ( ( DVecH `  K ) `  W
) )
46 hdmapfval.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4745, 46syl6eqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  /\  u  =  (
( DVecH `  K ) `  W )  /\  v  =  ( Base `  u
) )  ->  u  =  U )
48 simp3 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( e  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  /\  u  =  (
( DVecH `  K ) `  W )  /\  v  =  ( Base `  u
) )  ->  v  =  ( Base `  u
) )
4947fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( e  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  /\  u  =  (
( DVecH `  K ) `  W )  /\  v  =  ( Base `  u
) )  ->  ( Base `  u )  =  ( Base `  U
) )
5048, 49eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  /\  u  =  (
( DVecH `  K ) `  W )  /\  v  =  ( Base `  u
) )  ->  v  =  ( Base `  U
) )
51 hdmapfval.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  U
)
5250, 51syl6eqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  /\  u  =  (
( DVecH `  K ) `  W )  /\  v  =  ( Base `  u
) )  ->  v  =  V )
53 fvex 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( (HDMap1 `  K ) `  W
)  e.  _V
54 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( (HDMap1 `  K ) `  W
)  ->  i  =  ( (HDMap1 `  K ) `  W ) )
55 hdmapfval.i . . . . . . . . . . . 12  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
5654, 55syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( (HDMap1 `  K ) `  W
)  ->  i  =  I )
57 fveq1 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  I  ->  (
i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )  =  ( I `  <. z ,  ( i `
 <. e ,  ( ( (HVMap `  K
) `  W ) `  e ) ,  z
>. ) ,  t >.
) )
58 fveq1 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  I  ->  (
i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e ) ,  z >. )  =  ( I `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) )
5958oteq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  I  ->  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.  =  <. z ,  ( I `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )
6059fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  I  ->  (
I `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )  =  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. e ,  ( ( (HVMap `  K
) `  W ) `  e ) ,  z
>. ) ,  t >.
) )
6157, 60eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  I  ->  (
i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )  =  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. e ,  ( ( (HVMap `  K
) `  W ) `  e ) ,  z
>. ) ,  t >.
) )
6261eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  I  ->  (
y  =  ( i `
 <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )  <->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. e ,  ( ( (HVMap `  K
) `  W ) `  e ) ,  z
>. ) ,  t >.
) ) )
6362imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  I  ->  (
( -.  z  e.  ( ( ( LSpan `  u ) `  {
e } )  u.  ( ( LSpan `  u
) `  { t } ) )  -> 
y  =  ( i `
 <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )
)  <->  ( -.  z  e.  ( ( ( LSpan `  u ) `  {
e } )  u.  ( ( LSpan `  u
) `  { t } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )
) ) )
6463ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  I  ->  ( A. z  e.  v 
( -.  z  e.  ( ( ( LSpan `  u ) `  {
e } )  u.  ( ( LSpan `  u
) `  { t } ) )  -> 
y  =  ( i `
 <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )
)  <->  A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( ( ( LSpan `  u ) `  {
e } )  u.  ( ( LSpan `  u
) `  { t } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )
) ) )
6564riotabidv 6246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  I  ->  ( iota_ y  e.  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( ( ( LSpan `  u ) `  {
e } )  u.  ( ( LSpan `  u
) `  { t } ) )  -> 
y  =  ( i `
 <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )
) )  =  (
iota_ y  e.  ( Base `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )
6665mpteq2dv 4534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  I  ->  (
t  e.  v  |->  (
iota_ y  e.  ( Base `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )  =  ( t  e.  v  |->  ( iota_ y  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  (
( ( LSpan `  u
) `  { e } )  u.  (
( LSpan `  u ) `  { t } ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) )
6766eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  I  ->  (
a  e.  ( t  e.  v  |->  ( iota_ y  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  (
( ( LSpan `  u
) `  { e } )  u.  (
( LSpan `  u ) `  { t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )  <-> 
a  e.  ( t  e.  v  |->  ( iota_ y  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  (
( ( LSpan `  u
) `  { e } )  u.  (
( LSpan `  u ) `  { t } ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
6856, 67syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( (HDMap1 `  K ) `  W
)  ->  ( a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )  <-> 
a  e.  ( t  e.  v  |->  ( iota_ y  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  (
( ( LSpan `  u
) `  { e } )  u.  (
( LSpan `  u ) `  { t } ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
6953, 68sbcie 3366 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( (HDMap1 `  K ) `  W )  /  i ]. a  e.  (
t  e.  v  |->  (
iota_ y  e.  ( Base `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )  <-> 
a  e.  ( t  e.  v  |->  ( iota_ y  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  (
( ( LSpan `  u
) `  { e } )  u.  (
( LSpan `  u ) `  { t } ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) )
70 simp3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  v  =  V )
71 hdmapfval.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  =  ( Base `  C
)
72 hdmapfval.c . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
7372fveq2i 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  W
) )
7471, 73eqtr2i 2497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)  =  D
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) )  =  D )
76 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  u  =  U )
7776fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( LSpan `  u )  =  ( LSpan `  U
) )
78 hdmapfval.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7977, 78syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( LSpan `  u )  =  N )
80 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  e  =  E )
8180sneqd 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  { e }  =  { E } )
8279, 81fveq12d 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( ( LSpan `  u
) `  { e } )  =  ( N `  { E } ) )
8379fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( ( LSpan `  u
) `  { t } )  =  ( N `  { t } ) )
8482, 83uneq12d 3659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( ( ( LSpan `  u ) `  {
e } )  u.  ( ( LSpan `  u
) `  { t } ) )  =  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  {
t } ) ) )
8584eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( z  e.  ( ( ( LSpan `  u
) `  { e } )  u.  (
( LSpan `  u ) `  { t } ) )  <->  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { t } ) ) ) )
8685notbid 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( -.  z  e.  ( ( ( LSpan `  u ) `  {
e } )  u.  ( ( LSpan `  u
) `  { t } ) )  <->  -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  {
t } ) ) ) )
8780oteq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  -> 
<. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.  =  <. E ,  ( ( (HVMap `  K
) `  W ) `  e ) ,  z
>. )
8880fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e )  =  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  E )
)
89 hdmapfval.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
9089fveq1i 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( J `
 E )  =  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  E )
9188, 90syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e )  =  ( J `  E ) )
9291oteq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  -> 
<. E ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.  =  <. E ,  ( J `  E ) ,  z >. )
9387, 92eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  -> 
<. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.  =  <. E ,  ( J `  E ) ,  z >. )
9493fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( I `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e ) ,  z >. )  =  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  z >. ) )
9594oteq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  -> 
<. z ,  ( I `
 <. e ,  ( ( (HVMap `  K
) `  W ) `  e ) ,  z
>. ) ,  t >.  =  <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  t >.
)
9695fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  t >.
) )
9796eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
)  <->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  z >. ) ,  t
>. ) ) )
9886, 97imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( ( -.  z  e.  ( ( ( LSpan `  u ) `  {
e } )  u.  ( ( LSpan `  u
) `  { t } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )
)  <->  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  {
t } ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  z >. ) ,  t
>. ) ) ) )
9970, 98raleqbidv 3072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( ( ( LSpan `  u ) `  {
e } )  u.  ( ( LSpan `  u
) `  { t } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  e ) ,  z >. ) ,  t >. )
)  <->  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  {
t } ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  z >. ) ,  t
>. ) ) ) )
10075, 99riotaeqbidv 6247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) )  =  ( iota_ y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  {
t } ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  z >. ) ,  t
>. ) ) ) )
10170, 100mpteq12dv 4525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )  =  ( t  e.  V  |->  ( iota_ y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  {
t } ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  z >. ) ,  t
>. ) ) ) ) )
102101eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( a  e.  ( t  e.  v  |->  (
iota_ y  e.  ( Base `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )  <-> 
a  e.  ( t  e.  V  |->  ( iota_ y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { t } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
10369, 102syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  =  E  /\  u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( [. ( (HDMap1 `  K ) `  W
)  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v  |->  ( iota_ y  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  (
( ( LSpan `  u
) `  { e } )  u.  (
( LSpan `  u ) `  { t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )  <-> 
a  e.  ( t  e.  V  |->  ( iota_ y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { t } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
10444, 47, 52, 103syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( e  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  /\  u  =  (
( DVecH `  K ) `  W )  /\  v  =  ( Base `  u
) )  ->  ( [. ( (HDMap1 `  K
) `  W )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) )  <-> 
a  e.  ( t  e.  V  |->  ( iota_ y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { t } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
10539, 40, 41, 104sbc3ie 3409 . . . . . 6  |-  ( [. <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  /  e ]. [. (
( DVecH `  K ) `  W )  /  u ]. [. ( Base `  u
)  /  v ]. [. ( (HDMap1 `  K
) `  W )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
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a  e.  ( t  e.  V  |->  ( iota_ y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { t } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) )
10638, 105syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( [. <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  w ) ) >.  /  e ]. [. (
( DVecH `  K ) `  w )  /  u ]. [. ( Base `  u
)  /  v ]. [. ( (HDMap1 `  K
) `  w )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
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 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) ) )
107106abbi1dv 2605 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  { a  |  [. <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  w ) ) >.  /  e ]. [. (
( DVecH `  K ) `  w )  /  u ]. [. ( Base `  u
)  /  v ]. [. ( (HDMap1 `  K
) `  w )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
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 <. z ,  ( I `  <. E , 
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108 eqid 2467 . . . 4  |-  ( w  e.  H  |->  { a  |  [. <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  w ) ) >.  /  e ]. [. (
( DVecH `  K ) `  w )  /  u ]. [. ( Base `  u
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) `  w )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
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Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
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( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
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( LTrn `  K ) `  w ) ) >.  /  e ]. [. (
( DVecH `  K ) `  w )  /  u ]. [. ( Base `  u
)  /  v ]. [. ( (HDMap1 `  K
) `  w )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
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109 fvex 5875 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  e.  _V
11051, 109eqeltri 2551 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
111110mptex 6130 . . . 4  |-  ( t  e.  V  |->  ( iota_ y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { t } ) )  -> 
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( J `  E
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) ,  t >.
) ) ) )  e.  _V
112107, 108, 111fvmpt 5949 . . 3  |-  ( W  e.  H  ->  (
( w  e.  H  |->  { a  |  [. <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  w ) ) >.  /  e ]. [. (
( DVecH `  K ) `  w )  /  u ]. [. ( Base `  u
)  /  v ]. [. ( (HDMap1 `  K
) `  w )  /  i ]. a  e.  ( t  e.  v 
|->  ( iota_ y  e.  (
Base `  ( (LCDual `  K ) `  w
) ) A. z  e.  v  ( -.  z  e.  ( (
( LSpan `  u ) `  { e } )  u.  ( ( LSpan `  u ) `  {
t } ) )  ->  y  =  ( i `  <. z ,  ( i `  <. e ,  ( ( (HVMap `  K ) `  w ) `  e
) ,  z >.
) ,  t >.
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)  =  ( t  e.  V  |->  ( iota_ y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { t } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) )
1136, 112sylan9eq 2528 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  W  e.  H )  ->  S  =  ( t  e.  V  |->  ( iota_ y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { t } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) )
1141, 113syl 16 1  |-  ( ph  ->  S  =  ( t  e.  V  |->  ( iota_ y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { t } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  t >.
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   _Vcvv 3113   [.wsbc 3331    u. cun 3474   {csn 4027   <.cop 4033   <.cotp 4035    |-> cmpt 4505    _I cid 4790    |` cres 5001   ` cfv 5587   iota_crio 6243   Basecbs 14489   LSpanclspn 17412   LHypclh 34789   LTrncltrn 34906   DVecHcdvh 35884  LCDualclcd 36392  HVMapchvm 36562  HDMap1chdma1 36598  HDMapchdma 36599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-hdmap 36601
This theorem is referenced by:  hdmapval  36637  hdmapfnN  36638
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