Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapevec2 Structured version   Unicode version

Theorem hdmapevec2 35792
Description: The inner product of the reference vector  E with itself is nonzero. This shows the inner product condition in the proof of Theorem 3.6 of [Holland95] p. 14 line 32,  [ e , e  ]  =/=  0 is satisfied. TODO: remove redundant hypothesis hdmapevec.j. (Contributed by NM, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapevec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapevec.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapevec.j  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hdmapevec.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapevec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapevec2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapevec2.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmapevec2.i  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
hdmapevec2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  E ) `  E
)  =  .1.  )

Proof of Theorem hdmapevec2
Dummy variables  v 
k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmapevec.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmapevec.e . . . . 5  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
3 hdmapevec.j . . . . 5  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
4 hdmapevec.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
5 hdmapevec.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
61, 2, 3, 4, 5hdmapevec 35791 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  E
)  =  ( J `
 E ) )
7 hdmapevec2.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
9 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
10 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
11 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
12 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
13 hdmapevec2.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  U )
14 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
15 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
16 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
171, 15, 16, 7, 9, 12, 2, 5dvheveccl 35065 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( (
Base `  U )  \  { ( 0g `  U ) } ) )
181, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 3, 5, 17hvmapval 35713 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J `  E
)  =  ( v  e.  ( Base `  U
)  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  R
) E. w  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  { E } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s `  U
) E ) ) ) ) )
196, 18eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  E
)  =  ( v  e.  ( Base `  U
)  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  R
) E. w  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  { E } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s `  U
) E ) ) ) ) )
2019fveq1d 5793 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  E ) `  E
)  =  ( ( v  e.  ( Base `  U )  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  R
) E. w  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  { E } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s `  U
) E ) ) ) ) `  E
) )
21 hdmapevec2.i . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
22 eqid 2451 . . 3  |-  ( v  e.  ( Base `  U
)  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  R
) E. w  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  { E } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s `  U
) E ) ) ) )  =  ( v  e.  ( Base `  U )  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  R
) E. w  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  { E } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s `  U
) E ) ) ) )
231, 8, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 21, 5, 17, 22dochfl1 35429 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( Base `  U
)  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  R
) E. w  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  { E } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s `  U
) E ) ) ) ) `  E
)  =  .1.  )
2420, 23eqtrd 2492 1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  E ) `  E
)  =  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2796   {csn 3977   <.cop 3983    |-> cmpt 4450    _I cid 4731    |` cres 4942   ` cfv 5518   iota_crio 6152  (class class class)co 6192   Basecbs 14278   +g cplusg 14342  Scalarcsca 14345   .scvsca 14346   0gc0g 14482   1rcur 16710   HLchlt 33303   LHypclh 33936   LTrncltrn 34053   DVecHcdvh 35031   ocHcoch 35300  HVMapchvm 35709  HDMapchdma 35746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-riotaBAD 32912
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-ot 3986  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-tpos 6847  df-undef 6894  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-0g 14484  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-poset 15220  df-plt 15232  df-lub 15248  df-glb 15249  df-join 15250  df-meet 15251  df-p0 15313  df-p1 15314  df-lat 15320  df-clat 15382  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-subg 15782  df-cntz 15939  df-oppg 15965  df-lsm 16241  df-cmn 16385  df-abl 16386  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-oppr 16823  df-dvdsr 16841  df-unit 16842  df-invr 16872  df-dvr 16883  df-drng 16942  df-lmod 17058  df-lss 17122  df-lsp 17161  df-lvec 17292  df-lsatoms 32929  df-lshyp 32930  df-lcv 32972  df-lfl 33011  df-lkr 33039  df-ldual 33077  df-oposet 33129  df-ol 33131  df-oml 33132  df-covers 33219  df-ats 33220  df-atl 33251  df-cvlat 33275  df-hlat 33304  df-llines 33450  df-lplanes 33451  df-lvols 33452  df-lines 33453  df-psubsp 33455  df-pmap 33456  df-padd 33748  df-lhyp 33940  df-laut 33941  df-ldil 34056  df-ltrn 34057  df-trl 34111  df-tgrp 34695  df-tendo 34707  df-edring 34709  df-dveca 34955  df-disoa 34982  df-dvech 35032  df-dib 35092  df-dic 35126  df-dih 35182  df-doch 35301  df-djh 35348  df-lcdual 35540  df-mapd 35578  df-hvmap 35710  df-hdmap1 35747  df-hdmap 35748
This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  35876  hdmapinvlem4  35877  hdmapglem7b  35884
  Copyright terms: Public domain W3C validator