Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapevec2 Structured version   Unicode version

Theorem hdmapevec2 35106
Description: The inner product of the reference vector  E with itself is nonzero. This shows the inner product condition in the proof of Theorem 3.6 of [Holland95] p. 14 line 32,  [ e , e  ]  =/=  0 is satisfied. TODO: remove redundant hypothesis hdmapevec.j. (Contributed by NM, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapevec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapevec.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapevec.j  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hdmapevec.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapevec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapevec2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapevec2.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmapevec2.i  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
hdmapevec2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  E ) `  E
)  =  .1.  )

Proof of Theorem hdmapevec2
Dummy variables  v 
k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmapevec.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmapevec.e . . . . 5  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
3 hdmapevec.j . . . . 5  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
4 hdmapevec.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
5 hdmapevec.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
61, 2, 3, 4, 5hdmapevec 35105 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  E
)  =  ( J `
 E ) )
7 hdmapevec2.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
9 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
10 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
11 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
12 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
13 hdmapevec2.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  U )
14 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
15 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
16 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
171, 15, 16, 7, 9, 12, 2, 5dvheveccl 34379 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( (
Base `  U )  \  { ( 0g `  U ) } ) )
181, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 3, 5, 17hvmapval 35027 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J `  E
)  =  ( v  e.  ( Base `  U
)  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  R
) E. w  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  { E } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s `  U
) E ) ) ) ) )
196, 18eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  E
)  =  ( v  e.  ( Base `  U
)  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  R
) E. w  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  { E } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s `  U
) E ) ) ) ) )
2019fveq1d 5883 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  E ) `  E
)  =  ( ( v  e.  ( Base `  U )  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  R
) E. w  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  { E } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s `  U
) E ) ) ) ) `  E
) )
21 hdmapevec2.i . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
22 eqid 2429 . . 3  |-  ( v  e.  ( Base `  U
)  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  R
) E. w  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  { E } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s `  U
) E ) ) ) )  =  ( v  e.  ( Base `  U )  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  R
) E. w  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  { E } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s `  U
) E ) ) ) )
231, 8, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 21, 5, 17, 22dochfl1 34743 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( Base `  U
)  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  R
) E. w  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  { E } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s `  U
) E ) ) ) ) `  E
)  =  .1.  )
2420, 23eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  E ) `  E
)  =  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   E.wrex 2783   {csn 4002   <.cop 4008    |-> cmpt 4484    _I cid 4764    |` cres 4856   ` cfv 5601   iota_crio 6266  (class class class)co 6305   Basecbs 15075   +g cplusg 15143  Scalarcsca 15146   .scvsca 15147   0gc0g 15288   1rcur 17661   HLchlt 32615   LHypclh 33248   LTrncltrn 33365   DVecHcdvh 34345   ocHcoch 34614  HVMapchvm 35023  HDMapchdma 35060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-riotaBAD 32224
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-undef 7028  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15077  df-ndx 15078  df-slot 15079  df-base 15080  df-sets 15081  df-ress 15082  df-plusg 15156  df-mulr 15157  df-sca 15159  df-vsca 15160  df-0g 15290  df-mre 15434  df-mrc 15435  df-acs 15437  df-preset 16115  df-poset 16133  df-plt 16146  df-lub 16162  df-glb 16163  df-join 16164  df-meet 16165  df-p0 16227  df-p1 16228  df-lat 16234  df-clat 16296  df-mgm 16430  df-sgrp 16469  df-mnd 16479  df-submnd 16525  df-grp 16615  df-minusg 16616  df-sbg 16617  df-subg 16756  df-cntz 16913  df-oppg 16939  df-lsm 17214  df-cmn 17358  df-abl 17359  df-mgp 17650  df-ur 17662  df-ring 17708  df-oppr 17777  df-dvdsr 17795  df-unit 17796  df-invr 17826  df-dvr 17837  df-drng 17903  df-lmod 18019  df-lss 18082  df-lsp 18121  df-lvec 18252  df-lsatoms 32241  df-lshyp 32242  df-lcv 32284  df-lfl 32323  df-lkr 32351  df-ldual 32389  df-oposet 32441  df-ol 32443  df-oml 32444  df-covers 32531  df-ats 32532  df-atl 32563  df-cvlat 32587  df-hlat 32616  df-llines 32762  df-lplanes 32763  df-lvols 32764  df-lines 32765  df-psubsp 32767  df-pmap 32768  df-padd 33060  df-lhyp 33252  df-laut 33253  df-ldil 33368  df-ltrn 33369  df-trl 33424  df-tgrp 34009  df-tendo 34021  df-edring 34023  df-dveca 34269  df-disoa 34296  df-dvech 34346  df-dib 34406  df-dic 34440  df-dih 34496  df-doch 34615  df-djh 34662  df-lcdual 34854  df-mapd 34892  df-hvmap 35024  df-hdmap1 35061  df-hdmap 35062
This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  35190  hdmapinvlem4  35191  hdmapglem7b  35198
  Copyright terms: Public domain W3C validator