Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapevec2 Structured version   Unicode version

Theorem hdmapevec2 36636
Description: The inner product of the reference vector  E with itself is nonzero. This shows the inner product condition in the proof of Theorem 3.6 of [Holland95] p. 14 line 32,  [ e , e  ]  =/=  0 is satisfied. TODO: remove redundant hypothesis hdmapevec.j. (Contributed by NM, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapevec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapevec.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapevec.j  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hdmapevec.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapevec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapevec2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapevec2.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmapevec2.i  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
hdmapevec2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  E ) `  E
)  =  .1.  )

Proof of Theorem hdmapevec2
Dummy variables  v 
k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmapevec.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmapevec.e . . . . 5  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
3 hdmapevec.j . . . . 5  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
4 hdmapevec.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
5 hdmapevec.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
61, 2, 3, 4, 5hdmapevec 36635 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  E
)  =  ( J `
 E ) )
7 hdmapevec2.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
9 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
10 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
11 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
12 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
13 hdmapevec2.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  U )
14 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
15 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
16 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
171, 15, 16, 7, 9, 12, 2, 5dvheveccl 35909 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( (
Base `  U )  \  { ( 0g `  U ) } ) )
181, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 3, 5, 17hvmapval 36557 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J `  E
)  =  ( v  e.  ( Base `  U
)  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  R
) E. w  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  { E } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s `  U
) E ) ) ) ) )
196, 18eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  E
)  =  ( v  e.  ( Base `  U
)  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  R
) E. w  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  { E } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s `  U
) E ) ) ) ) )
2019fveq1d 5866 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  E ) `  E
)  =  ( ( v  e.  ( Base `  U )  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  R
) E. w  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  { E } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s `  U
) E ) ) ) ) `  E
) )
21 hdmapevec2.i . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
22 eqid 2467 . . 3  |-  ( v  e.  ( Base `  U
)  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  R
) E. w  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  { E } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s `  U
) E ) ) ) )  =  ( v  e.  ( Base `  U )  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  R
) E. w  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  { E } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s `  U
) E ) ) ) )
231, 8, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 21, 5, 17, 22dochfl1 36273 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( Base `  U
)  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  R
) E. w  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  { E } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s `  U
) E ) ) ) ) `  E
)  =  .1.  )
2420, 23eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  E ) `  E
)  =  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   {csn 4027   <.cop 4033    |-> cmpt 4505    _I cid 4790    |` cres 5001   ` cfv 5586   iota_crio 6242  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   +g cplusg 14551  Scalarcsca 14554   .scvsca 14555   0gc0g 14691   1rcur 16943   HLchlt 34147   LHypclh 34780   LTrncltrn 34897   DVecHcdvh 35875   ocHcoch 36144  HVMapchvm 36553  HDMapchdma 36590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-riotaBAD 33756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-undef 6999  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-0g 14693  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-poset 15429  df-plt 15441  df-lub 15457  df-glb 15458  df-join 15459  df-meet 15460  df-p0 15522  df-p1 15523  df-lat 15529  df-clat 15591  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-subg 15993  df-cntz 16150  df-oppg 16176  df-lsm 16452  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-dvr 17116  df-drng 17181  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-lsp 17401  df-lvec 17532  df-lsatoms 33773  df-lshyp 33774  df-lcv 33816  df-lfl 33855  df-lkr 33883  df-ldual 33921  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955  df-tgrp 35539  df-tendo 35551  df-edring 35553  df-dveca 35799  df-disoa 35826  df-dvech 35876  df-dib 35936  df-dic 35970  df-dih 36026  df-doch 36145  df-djh 36192  df-lcdual 36384  df-mapd 36422  df-hvmap 36554  df-hdmap1 36591  df-hdmap 36592
This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  36720  hdmapinvlem4  36721  hdmapglem7b  36728
  Copyright terms: Public domain W3C validator