Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapevec Structured version   Unicode version

Theorem hdmapevec 35822
Description: Value of map from vectors to functionals at the reference vector  E. (Contributed by NM, 16-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapevec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapevec.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapevec.j  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hdmapevec.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapevec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
hdmapevec  |-  ( ph  ->  ( S `  E
)  =  ( J `
 E ) )

Proof of Theorem hdmapevec
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmapevec.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2454 . . 3  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
3 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
4 eqid 2454 . . 3  |-  ( LSpan `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( LSpan `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
5 hdmapevec.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
8 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( 0g
`  ( ( DVecH `  K ) `  W
) )  =  ( 0g `  ( (
DVecH `  K ) `  W ) )
9 hdmapevec.e . . . . 5  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
101, 6, 7, 2, 3, 8, 9, 5dvheveccl 35096 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) } ) )
1110eldifad 3449 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
121, 2, 3, 4, 5, 11dvh2dim 35429 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  -.  z  e.  ( (
LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) `  { E } ) )
13 hdmapevec.j . . . 4  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
14 hdmapevec.s . . . 4  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
1553ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  /\  -.  z  e.  (
( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 eqid 2454 . . . 4  |-  ( (LCDual `  K ) `  W
)  =  ( (LCDual `  K ) `  W
)
17 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)
18 eqid 2454 . . . 4  |-  ( (HDMap1 `  K ) `  W
)  =  ( (HDMap1 `  K ) `  W
)
19 simp2 989 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  /\  -.  z  e.  (
( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } ) )  ->  z  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) )
20 ssid 3484 . . . . . . . 8  |-  ( (
LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) `  { E } )  C_  (
( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } )
2120, 20unssi 3640 . . . . . . 7  |-  ( ( ( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } )  u.  ( ( LSpan `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } ) ) 
C_  ( ( LSpan `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) `  { E } )
2221sseli 3461 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ( (
LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) `  { E } )  u.  (
( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } ) )  ->  z  e.  ( ( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } ) )
2322con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  z  e.  ( (
LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) `  { E } )  ->  -.  z  e.  ( (
( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } )  u.  ( ( LSpan `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } ) ) )
24233ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  /\  -.  z  e.  (
( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } ) )  ->  -.  z  e.  ( ( ( LSpan `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) `  { E } )  u.  (
( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } ) ) )
251, 9, 13, 14, 15, 2, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 24hdmapeveclem 35821 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  /\  -.  z  e.  (
( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } ) )  ->  ( S `  E )  =  ( J `  E ) )
2625rexlimdv3a 2949 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )  -.  z  e.  ( (
LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) `  { E } )  ->  ( S `  E )  =  ( J `  E ) ) )
2712, 26mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( S `  E
)  =  ( J `
 E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2800    u. cun 3435   {csn 3986   <.cop 3992    _I cid 4740    |` cres 4951   ` cfv 5527   Basecbs 14293   0gc0g 14498   LSpanclspn 17176   HLchlt 33334   LHypclh 33967   LTrncltrn 34084   DVecHcdvh 35062  LCDualclcd 35570  HVMapchvm 35740  HDMap1chdma1 35776  HDMapchdma 35777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-riotaBAD 32943
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-ot 3995  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-tpos 6856  df-undef 6903  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-0g 14500  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-poset 15236  df-plt 15248  df-lub 15264  df-glb 15265  df-join 15266  df-meet 15267  df-p0 15329  df-p1 15330  df-lat 15336  df-clat 15398  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-subg 15798  df-cntz 15955  df-oppg 15981  df-lsm 16257  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-unit 16858  df-invr 16888  df-dvr 16899  df-drng 16958  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-lsp 17177  df-lvec 17308  df-lsatoms 32960  df-lshyp 32961  df-lcv 33003  df-lfl 33042  df-lkr 33070  df-ldual 33108  df-oposet 33160  df-ol 33162  df-oml 33163  df-covers 33250  df-ats 33251  df-atl 33282  df-cvlat 33306  df-hlat 33335  df-llines 33481  df-lplanes 33482  df-lvols 33483  df-lines 33484  df-psubsp 33486  df-pmap 33487  df-padd 33779  df-lhyp 33971  df-laut 33972  df-ldil 34087  df-ltrn 34088  df-trl 34142  df-tgrp 34726  df-tendo 34738  df-edring 34740  df-dveca 34986  df-disoa 35013  df-dvech 35063  df-dib 35123  df-dic 35157  df-dih 35213  df-doch 35332  df-djh 35379  df-lcdual 35571  df-mapd 35609  df-hvmap 35741  df-hdmap1 35778  df-hdmap 35779
This theorem is referenced by:  hdmapevec2  35823  hdmapval3lemN  35824
  Copyright terms: Public domain W3C validator