Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapevec Structured version   Unicode version

Theorem hdmapevec 36510
Description: Value of map from vectors to functionals at the reference vector  E. (Contributed by NM, 16-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapevec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapevec.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapevec.j  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hdmapevec.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapevec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
hdmapevec  |-  ( ph  ->  ( S `  E
)  =  ( J `
 E ) )

Proof of Theorem hdmapevec
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmapevec.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2460 . . 3  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
3 eqid 2460 . . 3  |-  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
4 eqid 2460 . . 3  |-  ( LSpan `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( LSpan `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
5 hdmapevec.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
8 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( 0g
`  ( ( DVecH `  K ) `  W
) )  =  ( 0g `  ( (
DVecH `  K ) `  W ) )
9 hdmapevec.e . . . . 5  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
101, 6, 7, 2, 3, 8, 9, 5dvheveccl 35784 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) } ) )
1110eldifad 3481 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
121, 2, 3, 4, 5, 11dvh2dim 36117 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  -.  z  e.  ( (
LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) `  { E } ) )
13 hdmapevec.j . . . 4  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
14 hdmapevec.s . . . 4  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
1553ad2ant1 1012 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  /\  -.  z  e.  (
( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 eqid 2460 . . . 4  |-  ( (LCDual `  K ) `  W
)  =  ( (LCDual `  K ) `  W
)
17 eqid 2460 . . . 4  |-  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)
18 eqid 2460 . . . 4  |-  ( (HDMap1 `  K ) `  W
)  =  ( (HDMap1 `  K ) `  W
)
19 simp2 992 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  /\  -.  z  e.  (
( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } ) )  ->  z  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) )
20 ssid 3516 . . . . . . . 8  |-  ( (
LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) `  { E } )  C_  (
( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } )
2120, 20unssi 3672 . . . . . . 7  |-  ( ( ( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } )  u.  ( ( LSpan `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } ) ) 
C_  ( ( LSpan `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) `  { E } )
2221sseli 3493 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ( (
LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) `  { E } )  u.  (
( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } ) )  ->  z  e.  ( ( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } ) )
2322con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  z  e.  ( (
LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) `  { E } )  ->  -.  z  e.  ( (
( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } )  u.  ( ( LSpan `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } ) ) )
24233ad2ant3 1014 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  /\  -.  z  e.  (
( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } ) )  ->  -.  z  e.  ( ( ( LSpan `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) `  { E } )  u.  (
( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } ) ) )
251, 9, 13, 14, 15, 2, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 24hdmapeveclem 36509 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  /\  -.  z  e.  (
( LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  { E } ) )  ->  ( S `  E )  =  ( J `  E ) )
2625rexlimdv3a 2950 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )  -.  z  e.  ( (
LSpan `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) `  { E } )  ->  ( S `  E )  =  ( J `  E ) ) )
2712, 26mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( S `  E
)  =  ( J `
 E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   E.wrex 2808    u. cun 3467   {csn 4020   <.cop 4026    _I cid 4783    |` cres 4994   ` cfv 5579   Basecbs 14479   0gc0g 14684   LSpanclspn 17393   HLchlt 34022   LHypclh 34655   LTrncltrn 34772   DVecHcdvh 35750  LCDualclcd 36258  HVMapchvm 36428  HDMap1chdma1 36464  HDMapchdma 36465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 33631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-ot 4029  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-undef 6992  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-0g 14686  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-cntz 16143  df-oppg 16169  df-lsm 16445  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-drng 17174  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-lvec 17525  df-lsatoms 33648  df-lshyp 33649  df-lcv 33691  df-lfl 33730  df-lkr 33758  df-ldual 33796  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171  df-lines 34172  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776  df-trl 34830  df-tgrp 35414  df-tendo 35426  df-edring 35428  df-dveca 35674  df-disoa 35701  df-dvech 35751  df-dib 35811  df-dic 35845  df-dih 35901  df-doch 36020  df-djh 36067  df-lcdual 36259  df-mapd 36297  df-hvmap 36429  df-hdmap1 36466  df-hdmap 36467
This theorem is referenced by:  hdmapevec2  36511  hdmapval3lemN  36512
  Copyright terms: Public domain W3C validator