Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapeq0 Structured version   Unicode version

Theorem hdmapeq0 34867
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 3. (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap12a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap12a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap12a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap12a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmap12a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap12a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmap12a.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmap12a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap12a.x  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmapeq0  |-  ( ph  ->  ( ( S `  T )  =  Q  <-> 
T  =  .0.  )
)

Proof of Theorem hdmapeq0
StepHypRef Expression
1 hdmap12a.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap12a.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap12a.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
5 hdmap12a.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
6 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( LSpan `  C )  =  (
LSpan `  C )
7 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( (mapd `  K ) `  W
)  =  ( (mapd `  K ) `  W
)
8 hdmap12a.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
9 hdmap12a.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
10 hdmap12a.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hdmap10 34863 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( ( LSpan `  U ) `  { T } ) )  =  ( ( LSpan `  C ) `  {
( S `  T
) } ) )
12 hdmap12a.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
13 hdmap12a.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
141, 7, 2, 12, 5, 13, 9mapd0 34685 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  {  .0.  }
)  =  { Q } )
1511, 14eqeq12d 2424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( ( LSpan `  U ) `  { T } ) )  =  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  {  .0.  }
)  <->  ( ( LSpan `  C ) `  {
( S `  T
) } )  =  { Q } ) )
16 eqid 2402 . . . 4  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
171, 2, 9dvhlmod 34130 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
183, 16, 4lspsncl 17943 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  T  e.  V )  ->  (
( LSpan `  U ) `  { T } )  e.  ( LSubSp `  U
) )
1917, 10, 18syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  U
) `  { T } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
2012, 16lsssn0 17914 . . . . 5  |-  ( U  e.  LMod  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  U
) )
2117, 20syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  U )
)
221, 2, 16, 7, 9, 19, 21mapd11 34659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( ( LSpan `  U ) `  { T } ) )  =  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  {  .0.  }
)  <->  ( ( LSpan `  U ) `  { T } )  =  {  .0.  } ) )
231, 5, 9lcdlmod 34612 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
24 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
251, 2, 3, 5, 24, 8, 9, 10hdmapcl 34853 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  e.  ( Base `  C ) )
2624, 13, 6lspsneq0 17978 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  ( S `  T )  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
( ( LSpan `  C
) `  { ( S `  T ) } )  =  { Q }  <->  ( S `  T )  =  Q ) )
2723, 25, 26syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( LSpan `  C ) `  {
( S `  T
) } )  =  { Q }  <->  ( S `  T )  =  Q ) )
2815, 22, 273bitr3rd 284 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  T )  =  Q  <-> 
( ( LSpan `  U
) `  { T } )  =  {  .0.  } ) )
293, 12, 4lspsneq0 17978 . . 3  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  T  e.  V )  ->  (
( ( LSpan `  U
) `  { T } )  =  {  .0.  }  <->  T  =  .0.  ) )
3017, 10, 29syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( LSpan `  U ) `  { T } )  =  {  .0.  }  <->  T  =  .0.  ) )
3128, 30bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  T )  =  Q  <-> 
T  =  .0.  )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {csn 3972   ` cfv 5569   Basecbs 14841   0gc0g 15054   LModclmod 17832   LSubSpclss 17898   LSpanclspn 17937   HLchlt 32368   LHypclh 33001   DVecHcdvh 34098  LCDualclcd 34606  mapdcmpd 34644  HDMapchdma 34813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-riotaBAD 31977
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-ot 3981  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-undef 7005  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-0g 15056  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-lub 15928  df-glb 15929  df-join 15930  df-meet 15931  df-p0 15993  df-p1 15994  df-lat 16000  df-clat 16062  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-subg 16522  df-cntz 16679  df-oppg 16705  df-lsm 16980  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-oppr 17592  df-dvdsr 17610  df-unit 17611  df-invr 17641  df-dvr 17652  df-drng 17718  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-lsp 17938  df-lvec 18069  df-lsatoms 31994  df-lshyp 31995  df-lcv 32037  df-lfl 32076  df-lkr 32104  df-ldual 32142  df-oposet 32194  df-ol 32196  df-oml 32197  df-covers 32284  df-ats 32285  df-atl 32316  df-cvlat 32340  df-hlat 32369  df-llines 32515  df-lplanes 32516  df-lvols 32517  df-lines 32518  df-psubsp 32520  df-pmap 32521  df-padd 32813  df-lhyp 33005  df-laut 33006  df-ldil 33121  df-ltrn 33122  df-trl 33177  df-tgrp 33762  df-tendo 33774  df-edring 33776  df-dveca 34022  df-disoa 34049  df-dvech 34099  df-dib 34159  df-dic 34193  df-dih 34249  df-doch 34368  df-djh 34415  df-lcdual 34607  df-mapd 34645  df-hvmap 34777  df-hdmap1 34814  df-hdmap 34815
This theorem is referenced by:  hdmapnzcl  34868  hdmapneg  34869  hdmap11  34871  hgmapval0  34915  hgmapval1  34916  hgmapadd  34917  hgmapmul  34918  hgmaprnlem1N  34919  hdmaplkr  34936
  Copyright terms: Public domain W3C validator