Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapcl Structured version   Unicode version

Theorem hdmapcl 35836
Description: Closure of map from vectors to functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapcl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapcl.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapcl.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapcl.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmapcl.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmapcl.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapcl.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapcl.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmapcl  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  e.  D )

Proof of Theorem hdmapcl
Dummy variables  y  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmapcl.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2454 . . 3  |-  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
3 hdmapcl.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 hdmapcl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 eqid 2454 . . 3  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
6 hdmapcl.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
7 hdmapcl.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  C
)
8 eqid 2454 . . 3  |-  ( (HVMap `  K ) `  W
)  =  ( (HVMap `  K ) `  W
)
9 eqid 2454 . . 3  |-  ( (HDMap1 `  K ) `  W
)  =  ( (HDMap1 `  K ) `  W
)
10 hdmapcl.s . . 3  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
11 hdmapcl.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 hdmapcl.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hdmapval 35834 . 2  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( iota_ h  e.  D  A. y  e.  V  ( -.  y  e.  ( (
( LSpan `  U ) `  { <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >. } )  u.  (
( LSpan `  U ) `  { T } ) )  ->  h  =  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. y ,  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >. ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
) ,  y >.
) ,  T >. ) ) ) )
14 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
15 eqid 2454 . . . 4  |-  ( LSpan `  C )  =  (
LSpan `  C )
16 eqid 2454 . . . 4  |-  ( (mapd `  K ) `  W
)  =  ( (mapd `  K ) `  W
)
17 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
18 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
191, 17, 18, 3, 4, 14, 2, 11dvheveccl 35115 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  e.  ( V  \  {
( 0g `  U
) } ) )
201, 3, 4, 14, 5, 6, 15, 16, 8, 11, 19mapdhvmap 35772 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( ( LSpan `  U ) `  { <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >. } ) )  =  ( ( LSpan `  C
) `  { (
( (HVMap `  K
) `  W ) `  <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
) } ) )
21 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
221, 3, 4, 14, 6, 7, 21, 8, 11, 19hvmapcl2 35769 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
)  e.  ( D 
\  { ( 0g
`  C ) } ) )
2322eldifad 3451 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
)  e.  D )
241, 3, 4, 14, 5, 6, 7, 15, 16, 9, 11, 20, 19, 23, 12hdmap1eu 35829 . . 3  |-  ( ph  ->  E! h  e.  D  A. y  e.  V  ( -.  y  e.  ( ( ( LSpan `  U ) `  { <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >. } )  u.  (
( LSpan `  U ) `  { T } ) )  ->  h  =  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. y ,  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >. ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
) ,  y >.
) ,  T >. ) ) )
25 riotacl 6179 . . 3  |-  ( E! h  e.  D  A. y  e.  V  ( -.  y  e.  (
( ( LSpan `  U
) `  { <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >. } )  u.  (
( LSpan `  U ) `  { T } ) )  ->  h  =  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. y ,  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >. ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
) ,  y >.
) ,  T >. ) )  ->  ( iota_ h  e.  D  A. y  e.  V  ( -.  y  e.  ( (
( LSpan `  U ) `  { <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >. } )  u.  (
( LSpan `  U ) `  { T } ) )  ->  h  =  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. y ,  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >. ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
) ,  y >.
) ,  T >. ) ) )  e.  D
)
2624, 25syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ h  e.  D  A. y  e.  V  ( -.  y  e.  ( ( ( LSpan `  U ) `  { <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >. } )  u.  (
( LSpan `  U ) `  { T } ) )  ->  h  =  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. y ,  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >. ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
) ,  y >.
) ,  T >. ) ) )  e.  D
)
2713, 26eqeltrd 2542 1  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   E!wreu 2801    u. cun 3437   {csn 3988   <.cop 3994   <.cotp 3996    _I cid 4742    |` cres 4953   ` cfv 5529   iota_crio 6163   Basecbs 14295   0gc0g 14500   LSpanclspn 17178   HLchlt 33353   LHypclh 33986   LTrncltrn 34103   DVecHcdvh 35081  LCDualclcd 35589  mapdcmpd 35627  HVMapchvm 35759  HDMap1chdma1 35795  HDMapchdma 35796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-riotaBAD 32962
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-undef 6905  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-0g 14502  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-poset 15238  df-plt 15250  df-lub 15266  df-glb 15267  df-join 15268  df-meet 15269  df-p0 15331  df-p1 15332  df-lat 15338  df-clat 15400  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-subg 15800  df-cntz 15957  df-oppg 15983  df-lsm 16259  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-oppr 16841  df-dvdsr 16859  df-unit 16860  df-invr 16890  df-dvr 16901  df-drng 16960  df-lmod 17076  df-lss 17140  df-lsp 17179  df-lvec 17310  df-lsatoms 32979  df-lshyp 32980  df-lcv 33022  df-lfl 33061  df-lkr 33089  df-ldual 33127  df-oposet 33179  df-ol 33181  df-oml 33182  df-covers 33269  df-ats 33270  df-atl 33301  df-cvlat 33325  df-hlat 33354  df-llines 33500  df-lplanes 33501  df-lvols 33502  df-lines 33503  df-psubsp 33505  df-pmap 33506  df-padd 33798  df-lhyp 33990  df-laut 33991  df-ldil 34106  df-ltrn 34107  df-trl 34161  df-tgrp 34745  df-tendo 34757  df-edring 34759  df-dveca 35005  df-disoa 35032  df-dvech 35082  df-dib 35142  df-dic 35176  df-dih 35232  df-doch 35351  df-djh 35398  df-lcdual 35590  df-mapd 35628  df-hvmap 35760  df-hdmap1 35797  df-hdmap 35798
This theorem is referenced by:  hdmapval2  35838  hdmap10lem  35845  hdmapeq0  35850  hdmapnzcl  35851  hdmapneg  35852  hdmapsub  35853  hdmap11  35854  hdmaprnlem3N  35856  hdmaprnlem3uN  35857  hdmaprnlem7N  35861  hdmaprnlem8N  35862  hdmaprnlem9N  35863  hdmaprnlem3eN  35864  hdmaprnN  35870  hdmap14lem2a  35873  hdmap14lem2N  35875  hdmap14lem3  35876  hdmap14lem4a  35877  hdmap14lem6  35879  hdmap14lem8  35881  hgmapval0  35898  hgmapval1  35899  hgmapadd  35900  hgmapmul  35901  hgmaprnlem1N  35902  hgmaprnlem2N  35903  hgmaprnlem4N  35905  hdmapipcl  35911  hdmapln1  35912  hdmaplna1  35913  hdmaplns1  35914  hdmaplnm1  35915  hdmaplna2  35916  hdmapglnm2  35917  hdmaplkr  35919  hdmapellkr  35920  hdmapip0  35921  hdmapinvlem1  35924  hdmapinvlem3  35926
  Copyright terms: Public domain W3C validator