Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapcl Structured version   Unicode version

Theorem hdmapcl 36630
Description: Closure of map from vectors to functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapcl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapcl.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapcl.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapcl.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmapcl.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmapcl.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapcl.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapcl.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmapcl  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  e.  D )

Proof of Theorem hdmapcl
Dummy variables  y  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmapcl.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2467 . . 3  |-  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
3 hdmapcl.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 hdmapcl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 eqid 2467 . . 3  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
6 hdmapcl.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
7 hdmapcl.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  C
)
8 eqid 2467 . . 3  |-  ( (HVMap `  K ) `  W
)  =  ( (HVMap `  K ) `  W
)
9 eqid 2467 . . 3  |-  ( (HDMap1 `  K ) `  W
)  =  ( (HDMap1 `  K ) `  W
)
10 hdmapcl.s . . 3  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
11 hdmapcl.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 hdmapcl.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hdmapval 36628 . 2  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( iota_ h  e.  D  A. y  e.  V  ( -.  y  e.  ( (
( LSpan `  U ) `  { <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >. } )  u.  (
( LSpan `  U ) `  { T } ) )  ->  h  =  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. y ,  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >. ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
) ,  y >.
) ,  T >. ) ) ) )
14 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
15 eqid 2467 . . . 4  |-  ( LSpan `  C )  =  (
LSpan `  C )
16 eqid 2467 . . . 4  |-  ( (mapd `  K ) `  W
)  =  ( (mapd `  K ) `  W
)
17 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
18 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
191, 17, 18, 3, 4, 14, 2, 11dvheveccl 35909 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  e.  ( V  \  {
( 0g `  U
) } ) )
201, 3, 4, 14, 5, 6, 15, 16, 8, 11, 19mapdhvmap 36566 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( ( LSpan `  U ) `  { <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >. } ) )  =  ( ( LSpan `  C
) `  { (
( (HVMap `  K
) `  W ) `  <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
) } ) )
21 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
221, 3, 4, 14, 6, 7, 21, 8, 11, 19hvmapcl2 36563 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
)  e.  ( D 
\  { ( 0g
`  C ) } ) )
2322eldifad 3488 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
)  e.  D )
241, 3, 4, 14, 5, 6, 7, 15, 16, 9, 11, 20, 19, 23, 12hdmap1eu 36623 . . 3  |-  ( ph  ->  E! h  e.  D  A. y  e.  V  ( -.  y  e.  ( ( ( LSpan `  U ) `  { <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >. } )  u.  (
( LSpan `  U ) `  { T } ) )  ->  h  =  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. y ,  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >. ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
) ,  y >.
) ,  T >. ) ) )
25 riotacl 6258 . . 3  |-  ( E! h  e.  D  A. y  e.  V  ( -.  y  e.  (
( ( LSpan `  U
) `  { <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >. } )  u.  (
( LSpan `  U ) `  { T } ) )  ->  h  =  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. y ,  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >. ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
) ,  y >.
) ,  T >. ) )  ->  ( iota_ h  e.  D  A. y  e.  V  ( -.  y  e.  ( (
( LSpan `  U ) `  { <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >. } )  u.  (
( LSpan `  U ) `  { T } ) )  ->  h  =  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. y ,  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >. ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
) ,  y >.
) ,  T >. ) ) )  e.  D
)
2624, 25syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ h  e.  D  A. y  e.  V  ( -.  y  e.  ( ( ( LSpan `  U ) `  { <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >. } )  u.  (
( LSpan `  U ) `  { T } ) )  ->  h  =  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. y ,  ( ( (HDMap1 `  K ) `  W
) `  <. <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >. ,  ( ( (HVMap `  K ) `  W
) `  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
) ,  y >.
) ,  T >. ) ) )  e.  D
)
2713, 26eqeltrd 2555 1  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E!wreu 2816    u. cun 3474   {csn 4027   <.cop 4033   <.cotp 4035    _I cid 4790    |` cres 5001   ` cfv 5586   iota_crio 6242   Basecbs 14483   0gc0g 14688   LSpanclspn 17397   HLchlt 34147   LHypclh 34780   LTrncltrn 34897   DVecHcdvh 35875  LCDualclcd 36383  mapdcmpd 36421  HVMapchvm 36553  HDMap1chdma1 36589  HDMapchdma 36590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-riotaBAD 33756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-undef 6999  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-0g 14690  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-poset 15426  df-plt 15438  df-lub 15454  df-glb 15455  df-join 15456  df-meet 15457  df-p0 15519  df-p1 15520  df-lat 15526  df-clat 15588  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-subg 15990  df-cntz 16147  df-oppg 16173  df-lsm 16449  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-oppr 17053  df-dvdsr 17071  df-unit 17072  df-invr 17102  df-dvr 17113  df-drng 17178  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-lvec 17529  df-lsatoms 33773  df-lshyp 33774  df-lcv 33816  df-lfl 33855  df-lkr 33883  df-ldual 33921  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955  df-tgrp 35539  df-tendo 35551  df-edring 35553  df-dveca 35799  df-disoa 35826  df-dvech 35876  df-dib 35936  df-dic 35970  df-dih 36026  df-doch 36145  df-djh 36192  df-lcdual 36384  df-mapd 36422  df-hvmap 36554  df-hdmap1 36591  df-hdmap 36592
This theorem is referenced by:  hdmapval2  36632  hdmap10lem  36639  hdmapeq0  36644  hdmapnzcl  36645  hdmapneg  36646  hdmapsub  36647  hdmap11  36648  hdmaprnlem3N  36650  hdmaprnlem3uN  36651  hdmaprnlem7N  36655  hdmaprnlem8N  36656  hdmaprnlem9N  36657  hdmaprnlem3eN  36658  hdmaprnN  36664  hdmap14lem2a  36667  hdmap14lem2N  36669  hdmap14lem3  36670  hdmap14lem4a  36671  hdmap14lem6  36673  hdmap14lem8  36675  hgmapval0  36692  hgmapval1  36693  hgmapadd  36694  hgmapmul  36695  hgmaprnlem1N  36696  hgmaprnlem2N  36697  hgmaprnlem4N  36699  hdmapipcl  36705  hdmapln1  36706  hdmaplna1  36707  hdmaplns1  36708  hdmaplnm1  36709  hdmaplna2  36710  hdmapglnm2  36711  hdmaplkr  36713  hdmapellkr  36714  hdmapip0  36715  hdmapinvlem1  36718  hdmapinvlem3  36720
  Copyright terms: Public domain W3C validator