Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6h Structured version   Unicode version

Theorem hdmap1l6h 35826
Description: Lemmma for hdmap1l6 35830. Part (6) of [Baer] p. 48 line 2. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap1l6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap1l6.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap1l6.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmap1l6.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
hdmap1l6c.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmap1l6.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmap1l6.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap1l6.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmap1l6.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
hdmap1l6.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
hdmap1l6.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmap1l6.l  |-  L  =  ( LSpan `  C )
hdmap1l6.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmap1l6.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmap1l6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap1l6.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
hdmap1l6cl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( L `  { F } ) )
hdmap1l6d.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
hdmap1l6d.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
hdmap1l6d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6d.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6d.w  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6d.wn  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6h  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )

Proof of Theorem hdmap1l6h
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap1l6.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap1l6.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 hdmap1l6.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  U )
5 hdmap1l6.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
6 hdmap1l6c.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
7 hdmap1l6.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 hdmap1l6.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
9 hdmap1l6.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
10 hdmap1l6.a . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
11 hdmap1l6.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
12 hdmap1l6.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
13 hdmap1l6.l . . . 4  |-  L  =  ( LSpan `  C )
14 hdmap1l6.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
15 hdmap1l6.i . . . 4  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
16 hdmap1l6.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 hdmap1l6.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
18 hdmap1l6cl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
19 hdmap1l6.mn . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( L `  { F } ) )
20 hdmap1l6d.xn . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
21 hdmap1l6d.yz . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
22 hdmap1l6d.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
23 hdmap1l6d.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
24 hdmap1l6d.w . . . 4  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
25 hdmap1l6d.wn . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25hdmap1l6g 35825 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )
)  =  ( ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
271, 8, 16lcdlmod 35600 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
281, 2, 16dvhlvec 35117 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
2924eldifad 3451 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
3018eldifad 3451 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3122eldifad 3451 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
323, 7, 28, 29, 30, 31, 25lspindpi 17346 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
3332simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } ) )
3433necomd 2723 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { w } ) )
351, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 34, 18, 29hdmap1cl 35813 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  e.  D )
3623eldifad 3451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
373, 7, 28, 30, 31, 36, 20lspindpi 17346 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
3837simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
391, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 38, 18, 31hdmap1cl 35813 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D )
4037simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
411, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 40, 18, 36hdmap1cl 35813 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D )
429, 10lmodass 17096 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  (
( I `  <. X ,  F ,  w >. )  e.  D  /\  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D  /\  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D ) )  ->  ( (
( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( (
I `  <. X ,  F ,  Y >. ) 
.+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) )
4327, 35, 39, 41, 42syl13anc 1221 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 <. X ,  F ,  w >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Y >. ) )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  (
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) )
4426, 43eqtrd 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )
)  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) 
.+b  ( ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) )
453, 4, 6, 7, 28, 18, 22, 23, 24, 21, 38, 25mapdindp1 35728 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )
461, 2, 16dvhlmod 35118 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
473, 4lmodvacl 17095 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
4846, 31, 36, 47syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
491, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 45, 18, 48hdmap1cl 35813 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  e.  D
)
509, 10lmodvacl 17095 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  (
I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D  /\  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D )  -> 
( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  e.  D )
5127, 39, 41, 50syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  e.  D )
529, 10lmodlcan 17097 . . 3  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  (
( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  e.  D  /\  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  e.  D  /\  ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  e.  D ) )  ->  ( (
( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )
)  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) 
.+b  ( ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )  <->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )  =  ( ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) )
5327, 49, 51, 35, 52syl13anc 1221 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 <. X ,  F ,  w >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )
)  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) 
.+b  ( ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )  <->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )  =  ( ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) )
5444, 53mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648    \ cdif 3436   {csn 3988   {cpr 3990   <.cotp 3996   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296   +g cplusg 14361   0gc0g 14501   -gcsg 15536   LModclmod 17081   LSpanclspn 17185   HLchlt 33358   LHypclh 33991   DVecHcdvh 35086  LCDualclcd 35594  mapdcmpd 35632  HDMap1chdma1 35800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-riotaBAD 32967
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-undef 6905  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-0g 14503  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-poset 15239  df-plt 15251  df-lub 15267  df-glb 15268  df-join 15269  df-meet 15270  df-p0 15332  df-p1 15333  df-lat 15339  df-clat 15401  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-subg 15801  df-cntz 15958  df-oppg 15984  df-lsm 16260  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-oppr 16848  df-dvdsr 16866  df-unit 16867  df-invr 16897  df-dvr 16908  df-drng 16967  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-lsp 17186  df-lvec 17317  df-lsatoms 32984  df-lshyp 32985  df-lcv 33027  df-lfl 33066  df-lkr 33094  df-ldual 33132  df-oposet 33184  df-ol 33186  df-oml 33187  df-covers 33274  df-ats 33275  df-atl 33306  df-cvlat 33330  df-hlat 33359  df-llines 33505  df-lplanes 33506  df-lvols 33507  df-lines 33508  df-psubsp 33510  df-pmap 33511  df-padd 33803  df-lhyp 33995  df-laut 33996  df-ldil 34111  df-ltrn 34112  df-trl 34166  df-tgrp 34750  df-tendo 34762  df-edring 34764  df-dveca 35010  df-disoa 35037  df-dvech 35087  df-dib 35147  df-dic 35181  df-dih 35237  df-doch 35356  df-djh 35403  df-lcdual 35595  df-mapd 35633  df-hdmap1 35802
This theorem is referenced by:  hdmap1l6i  35827
  Copyright terms: Public domain W3C validator