Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6f Structured version   Unicode version

Theorem hdmap1l6f 36490
Description: Lemmma for hdmap1l6 36496. Part (6) in [Baer] p. 47 line 38. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap1l6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap1l6.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap1l6.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmap1l6.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
hdmap1l6c.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmap1l6.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmap1l6.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap1l6.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmap1l6.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
hdmap1l6.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
hdmap1l6.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmap1l6.l  |-  L  =  ( LSpan `  C )
hdmap1l6.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmap1l6.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmap1l6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap1l6.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
hdmap1l6cl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( L `  { F } ) )
hdmap1l6d.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
hdmap1l6d.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
hdmap1l6d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6d.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6d.w  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6d.wn  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6f  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) ) )

Proof of Theorem hdmap1l6f
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap1l6.u . 2  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap1l6.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 hdmap1l6.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  U )
5 hdmap1l6.s . 2  |-  .-  =  ( -g `  U )
6 hdmap1l6c.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
7 hdmap1l6.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 hdmap1l6.c . 2  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
9 hdmap1l6.d . 2  |-  D  =  ( Base `  C
)
10 hdmap1l6.a . 2  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
11 hdmap1l6.r . 2  |-  R  =  ( -g `  C
)
12 hdmap1l6.q . 2  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
13 hdmap1l6.l . 2  |-  L  =  ( LSpan `  C )
14 hdmap1l6.m . 2  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
15 hdmap1l6.i . 2  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
16 hdmap1l6.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 hdmap1l6.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
18 hdmap1l6cl.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
19 hdmap1l6.mn . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( L `  { F } ) )
20 hdmap1l6d.w . 2  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21 hdmap1l6d.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
221, 2, 16dvhlvec 35783 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
2321eldifad 3483 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
2420eldifad 3483 . . . 4  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
2518eldifad 3483 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
26 hdmap1l6d.z . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
2726eldifad 3483 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
28 hdmap1l6d.xn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
293, 7, 22, 25, 23, 27, 28lspindpi 17556 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
3029simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
31 hdmap1l6d.wn . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
323, 6, 7, 22, 18, 23, 24, 30, 31lspindp1 17557 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) ) )
3332simprd 463 . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) )
343, 7, 22, 24, 25, 23, 31lspindpi 17556 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
3534simprd 463 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
36 eqidd 2463 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) )
37 eqidd 2463 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. ) )
381, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 33, 35, 36, 37hdmap1l6a 36484 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657    \ cdif 3468   {csn 4022   {cpr 4024   <.cotp 4030   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Basecbs 14481   +g cplusg 14546   0gc0g 14686   -gcsg 15721   LSpanclspn 17395   HLchlt 34024   LHypclh 34657   DVecHcdvh 35752  LCDualclcd 36260  mapdcmpd 36298  HDMap1chdma1 36466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-riotaBAD 33633
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-ot 4031  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-undef 6994  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-0g 14688  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-poset 15424  df-plt 15436  df-lub 15452  df-glb 15453  df-join 15454  df-meet 15455  df-p0 15517  df-p1 15518  df-lat 15524  df-clat 15586  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-subg 15988  df-cntz 16145  df-oppg 16171  df-lsm 16447  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-invr 17100  df-dvr 17111  df-drng 17176  df-lmod 17292  df-lss 17357  df-lsp 17396  df-lvec 17527  df-lsatoms 33650  df-lshyp 33651  df-lcv 33693  df-lfl 33732  df-lkr 33760  df-ldual 33798  df-oposet 33850  df-ol 33852  df-oml 33853  df-covers 33940  df-ats 33941  df-atl 33972  df-cvlat 33996  df-hlat 34025  df-llines 34171  df-lplanes 34172  df-lvols 34173  df-lines 34174  df-psubsp 34176  df-pmap 34177  df-padd 34469  df-lhyp 34661  df-laut 34662  df-ldil 34777  df-ltrn 34778  df-trl 34832  df-tgrp 35416  df-tendo 35428  df-edring 35430  df-dveca 35676  df-disoa 35703  df-dvech 35753  df-dib 35813  df-dic 35847  df-dih 35903  df-doch 36022  df-djh 36069  df-lcdual 36261  df-mapd 36299  df-hdmap1 36468
This theorem is referenced by:  hdmap1l6g  36491
  Copyright terms: Public domain W3C validator