Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6a Structured version   Unicode version

Theorem hdmap1l6a 37953
Description: Lemma for hdmap1l6 37965. Part (6) in [Baer] p. 47, case 1. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap1l6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap1l6.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap1l6.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmap1l6.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
hdmap1l6c.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmap1l6.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmap1l6.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap1l6.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmap1l6.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
hdmap1l6.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
hdmap1l6.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmap1l6.l  |-  L  =  ( LSpan `  C )
hdmap1l6.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmap1l6.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmap1l6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap1l6.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
hdmap1l6cl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( L `  { F } ) )
hdmap1l6e.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6e.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6e.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
hdmap1l6.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
hdmap1l6.fg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
hdmap1l6.fe  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6a  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )

Proof of Theorem hdmap1l6a
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap1l6.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap1l6.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 hdmap1l6.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  U )
5 hdmap1l6.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
6 hdmap1l6c.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
7 hdmap1l6.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 hdmap1l6.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
9 hdmap1l6.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
10 hdmap1l6.a . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
11 hdmap1l6.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
12 hdmap1l6.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
13 hdmap1l6.l . . . 4  |-  L  =  ( LSpan `  C )
14 hdmap1l6.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
15 hdmap1l6.i . . . 4  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
16 hdmap1l6.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 hdmap1l6.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
18 hdmap1l6cl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
19 hdmap1l6.mn . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( L `  { F } ) )
20 hdmap1l6e.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21 hdmap1l6e.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
22 hdmap1l6e.xn . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
23 hdmap1l6.yz . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
24 hdmap1l6.fg . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
25 hdmap1l6.fe . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25hdmap1l6lem2 37952 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )  =  ( L `  { ( G  .+b  E ) } ) )
2724, 25oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  =  ( G 
.+b  E ) )
2827sneqd 4028 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) }  =  {
( G  .+b  E
) } )
2928fveq2d 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  {
( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) } )  =  ( L `  {
( G  .+b  E
) } ) )
3026, 29eqtr4d 2498 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )  =  ( L `  { ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) } ) )
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25hdmap1l6lem1 37951 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )  =  ( L `  { ( F R ( G 
.+b  E ) ) } ) )
3227oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F R ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )  =  ( F R ( G  .+b  E
) ) )
3332sneqd 4028 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( F R ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) }  =  { ( F R ( G  .+b  E
) ) } )
3433fveq2d 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  {
( F R ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) } )  =  ( L `  { ( F R ( G 
.+b  E ) ) } ) )
3531, 34eqtr4d 2498 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )  =  ( L `  { ( F R ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) 
.+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) } ) )
361, 2, 16dvhlmod 37253 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
3720eldifad 3473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
3821eldifad 3473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
393, 4lmodvacl 17724 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
4036, 37, 38, 39syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
413, 4, 6, 7, 36, 37, 38, 23lmodindp1 17858 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  =/=  .0.  )
42 eldifsn 4141 . . . 4  |-  ( ( Y  .+  Z )  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( ( Y  .+  Z )  e.  V  /\  ( Y 
.+  Z )  =/= 
.0.  ) )
4340, 41, 42sylanbrc 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
441, 8, 16lcdlmod 37735 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
451, 2, 16dvhlvec 37252 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
4618eldifad 3473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
473, 6, 7, 45, 37, 21, 46, 23, 22lspindp2 17979 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
4847simpld 457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
491, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 48, 18, 37hdmap1cl 37948 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D )
503, 6, 7, 45, 20, 38, 46, 23, 22lspindp1 17977 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } )  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )
5150simpld 457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
521, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 51, 18, 38hdmap1cl 37948 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D )
539, 10lmodvacl 17724 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  (
I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D  /\  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D )  -> 
( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  e.  D )
5444, 49, 52, 53syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  e.  D )
55 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
563, 55, 7, 36, 37, 38lspprcl 17822 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
573, 4, 7, 36, 37, 38lspprvacl 17843 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
5855, 7, 36, 56, 57lspsnel5a 17840 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) )
593, 55, 7, 36, 56, 46lspsnel5 17839 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
6022, 59mtbid 298 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) )
61 nssne2 3546 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } )  /\  -.  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) )  ->  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } )  =/=  ( N `  { X } ) )
6258, 60, 61syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =/=  ( N `  { X } ) )
6362necomd 2725 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )
641, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 18, 17, 43, 54, 63, 19hdmap1eq 37945 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F , 
( Y  .+  Z
) >. )  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  <->  ( ( M `  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )  =  ( L `
 { ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) 
.+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) } )  /\  ( M `
 ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )  =  ( L `  { ( F R ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) } ) ) ) )
6530, 35, 64mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4016   {cpr 4018   <.cotp 4024   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14719   +g cplusg 14787   0gc0g 14932   -gcsg 16257   LModclmod 17710   LSubSpclss 17776   LSpanclspn 17815   HLchlt 35491   LHypclh 36124   DVecHcdvh 37221  LCDualclcd 37729  mapdcmpd 37767  HDMap1chdma1 37935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 35100
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-undef 6994  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-0g 14934  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-preset 15759  df-poset 15777  df-plt 15790  df-lub 15806  df-glb 15807  df-join 15808  df-meet 15809  df-p0 15871  df-p1 15872  df-lat 15878  df-clat 15940  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-subg 16400  df-cntz 16557  df-oppg 16583  df-lsm 16858  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-oppr 17470  df-dvdsr 17488  df-unit 17489  df-invr 17519  df-dvr 17530  df-drng 17596  df-lmod 17712  df-lss 17777  df-lsp 17816  df-lvec 17947  df-lsatoms 35117  df-lshyp 35118  df-lcv 35160  df-lfl 35199  df-lkr 35227  df-ldual 35265  df-oposet 35317  df-ol 35319  df-oml 35320  df-covers 35407  df-ats 35408  df-atl 35439  df-cvlat 35463  df-hlat 35492  df-llines 35638  df-lplanes 35639  df-lvols 35640  df-lines 35641  df-psubsp 35643  df-pmap 35644  df-padd 35936  df-lhyp 36128  df-laut 36129  df-ldil 36244  df-ltrn 36245  df-trl 36300  df-tgrp 36885  df-tendo 36897  df-edring 36899  df-dveca 37145  df-disoa 37172  df-dvech 37222  df-dib 37282  df-dic 37316  df-dih 37372  df-doch 37491  df-djh 37538  df-lcdual 37730  df-mapd 37768  df-hdmap1 37937
This theorem is referenced by:  hdmap1l6d  37957  hdmap1l6e  37958  hdmap1l6f  37959  hdmap1l6j  37963
  Copyright terms: Public domain W3C validator