Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1eulem Structured version   Unicode version

Theorem hdmap1eulem 37027
Description: Lemma for hdmap1eu 37029. TODO: combine with hdmap1eu 37029 or at least share some hypotheses. (Contributed by NM, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1eulem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap1eulem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap1eulem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap1eulem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
hdmap1eulem.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmap1eulem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmap1eulem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap1eulem.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmap1eulem.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
hdmap1eulem.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmap1eulem.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
hdmap1eulem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmap1eulem.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmap1eulem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap1eulem.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
hdmap1eulem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1eulem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
hdmap1eulem.y  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
hdmap1eulem.l  |-  L  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
hdmap1eulem  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Distinct variable groups:    C, h    x, h, y, z, D   
h, F, x, y, z    h, J, x   
h, L, x, y, z    h, M, x   
h, N, x, y, z    .0. , h, x, y, z    x, Q    R, h, x    .- , h, x    T, h, x, y, z    U, h, z    h, V, y, z    h, X, x, y, z    ph, h, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x, y, z)    Q( y, z, h)    R( y,
z)    U( x, y)    H( x, y, z, h)    I( x, y, z, h)    J( y, z)    K( x, y, z, h)    M( y,
z)    .- ( y, z)    V( x)    W( x, y, z, h)

Proof of Theorem hdmap1eulem
StepHypRef Expression
1 hdmap1eulem.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap1eulem.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap1eulem.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 hdmap1eulem.s . . 3  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 hdmap1eulem.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 hdmap1eulem.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 hdmap1eulem.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 hdmap1eulem.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 hdmap1eulem.r . . 3  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 hdmap1eulem.q . . 3  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 hdmap1eulem.j . . 3  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 hdmap1eulem.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 hdmap1eulem.l . . 3  |-  L  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 hdmap1eulem.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 hdmap1eulem.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
16 hdmap1eulem.mn . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
17 hdmap1eulem.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
18 hdmap1eulem.y . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18mapdh9a 36993 . 2  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( L `
 <. z ,  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
20 hdmap1eulem.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
2114ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2217ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
2315ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  F  e.  D
)
24 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  z  e.  V
)
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 13hdmap1valc 37007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( I `  <. X ,  F , 
z >. )  =  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) )
2625oteq2d 4232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >.  =  <. z ,  ( L `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )
2726fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. z ,  ( L `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )
28 elun1 3676 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( N `  { X } )  -> 
z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )
2928con3i 135 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
3014ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
31 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
321, 2, 14dvhlmod 36313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  U  e.  LMod )
3417eldifad 3493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  X  e.  V )
363, 31, 6lspsncl 17492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
3733, 35, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( N `  { X } )  e.  ( LSubSp `  U
) )
38 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  z  e.  V )
39 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
403, 5, 31, 33, 37, 38, 39lssneln0 17467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4115ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  F  e.  D )
4216ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
4317ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
443, 6, 33, 38, 35, 39lspsnne2 17633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
4544necomd 2738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { z } ) )
4610, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 30, 41, 42, 43, 38, 45mapdhcl 36930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( L `  <. X ,  F ,  z >. )  e.  D )
4718ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  T  e.  V )
481, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 30, 40, 46, 47, 13hdmap1valc 37007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( L `  <. z ,  ( L `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. ) )
4929, 48sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( L `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( L `  <. z ,  ( L `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )
5027, 49eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( L `  <. z ,  ( L `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )
5150eqeq2d 2481 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  <->  y  =  ( L `  <. z ,  ( L `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) ) )
5251pm5.74da 687 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  (
( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
)  <->  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( L `
 <. z ,  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
5352ralbidva 2903 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
)  <->  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( L `
 <. z ,  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
5453reubidv 3051 . 2  |-  ( ph  ->  ( E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
)  <->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( L `
 <. z ,  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
5519, 54mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E!wreu 2819   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    u. cun 3479   ifcif 3945   {csn 4033   <.cotp 4041    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594   iota_crio 6255  (class class class)co 6295   1stc1st 6793   2ndc2nd 6794   Basecbs 14506   0gc0g 14711   -gcsg 15926   LModclmod 17381   LSubSpclss 17447   LSpanclspn 17486   HLchlt 34553   LHypclh 35186   DVecHcdvh 36281  LCDualclcd 36789  mapdcmpd 36827  HDMap1chdma1 36995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-riotaBAD 34162
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-undef 7014  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-0g 14713  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-poset 15449  df-plt 15461  df-lub 15477  df-glb 15478  df-join 15479  df-meet 15480  df-p0 15542  df-p1 15543  df-lat 15549  df-clat 15611  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-subg 16069  df-cntz 16226  df-oppg 16252  df-lsm 16527  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-ring 17070  df-oppr 17142  df-dvdsr 17160  df-unit 17161  df-invr 17191  df-dvr 17202  df-drng 17267  df-lmod 17383  df-lss 17448  df-lsp 17487  df-lvec 17618  df-lsatoms 34179  df-lshyp 34180  df-lcv 34222  df-lfl 34261  df-lkr 34289  df-ldual 34327  df-oposet 34379  df-ol 34381  df-oml 34382  df-covers 34469  df-ats 34470  df-atl 34501  df-cvlat 34525  df-hlat 34554  df-llines 34700  df-lplanes 34701  df-lvols 34702  df-lines 34703  df-psubsp 34705  df-pmap 34706  df-padd 34998  df-lhyp 35190  df-laut 35191  df-ldil 35306  df-ltrn 35307  df-trl 35361  df-tgrp 35945  df-tendo 35957  df-edring 35959  df-dveca 36205  df-disoa 36232  df-dvech 36282  df-dib 36342  df-dic 36376  df-dih 36432  df-doch 36551  df-djh 36598  df-lcdual 36790  df-mapd 36828  df-hdmap1 36997
This theorem is referenced by:  hdmap1eu  37029
  Copyright terms: Public domain W3C validator