Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1eulem Structured version   Unicode version

Theorem hdmap1eulem 35481
Description: Lemma for hdmap1eu 35483. TODO: combine with hdmap1eu 35483 or at least share some hypotheses. (Contributed by NM, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1eulem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap1eulem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap1eulem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap1eulem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
hdmap1eulem.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmap1eulem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmap1eulem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap1eulem.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmap1eulem.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
hdmap1eulem.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmap1eulem.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
hdmap1eulem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmap1eulem.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmap1eulem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap1eulem.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
hdmap1eulem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1eulem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
hdmap1eulem.y  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
hdmap1eulem.l  |-  L  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
hdmap1eulem  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Distinct variable groups:    C, h    x, h, y, z, D   
h, F, x, y, z    h, J, x   
h, L, x, y, z    h, M, x   
h, N, x, y, z    .0. , h, x, y, z    x, Q    R, h, x    .- , h, x    T, h, x, y, z    U, h, z    h, V, y, z    h, X, x, y, z    ph, h, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x, y, z)    Q( y, z, h)    R( y,
z)    U( x, y)    H( x, y, z, h)    I( x, y, z, h)    J( y, z)    K( x, y, z, h)    M( y,
z)    .- ( y, z)    V( x)    W( x, y, z, h)

Proof of Theorem hdmap1eulem
StepHypRef Expression
1 hdmap1eulem.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap1eulem.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap1eulem.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 hdmap1eulem.s . . 3  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 hdmap1eulem.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 hdmap1eulem.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 hdmap1eulem.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 hdmap1eulem.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 hdmap1eulem.r . . 3  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 hdmap1eulem.q . . 3  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 hdmap1eulem.j . . 3  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 hdmap1eulem.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 hdmap1eulem.l . . 3  |-  L  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 hdmap1eulem.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 hdmap1eulem.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
16 hdmap1eulem.mn . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
17 hdmap1eulem.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
18 hdmap1eulem.y . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18mapdh9a 35447 . 2  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( L `
 <. z ,  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
20 hdmap1eulem.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
2114ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2217ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
2315ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  F  e.  D
)
24 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  z  e.  V
)
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 13hdmap1valc 35461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( I `  <. X ,  F , 
z >. )  =  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) )
2625oteq2d 4084 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >.  =  <. z ,  ( L `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )
2726fveq2d 5707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. z ,  ( L `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )
28 elun1 3535 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( N `  { X } )  -> 
z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )
2928con3i 135 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
3014ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
31 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
321, 2, 14dvhlmod 34767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  U  e.  LMod )
3417eldifad 3352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  X  e.  V )
363, 31, 6lspsncl 17070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
3733, 35, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( N `  { X } )  e.  ( LSubSp `  U
) )
38 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  z  e.  V )
39 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
403, 5, 31, 33, 37, 38, 39lssneln0 17045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4115ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  F  e.  D )
4216ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
4317ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
443, 6, 33, 38, 35, 39lspsnne2 17211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
4544necomd 2707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { z } ) )
4610, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 30, 41, 42, 43, 38, 45mapdhcl 35384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( L `  <. X ,  F ,  z >. )  e.  D )
4718ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  T  e.  V )
481, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 30, 40, 46, 47, 13hdmap1valc 35461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( L `  <. z ,  ( L `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. ) )
4929, 48sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( L `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( L `  <. z ,  ( L `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )
5027, 49eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( L `  <. z ,  ( L `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )
5150eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  <->  y  =  ( L `  <. z ,  ( L `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) ) )
5251pm5.74da 687 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  (
( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
)  <->  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( L `
 <. z ,  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
5352ralbidva 2743 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
)  <->  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( L `
 <. z ,  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
5453reubidv 2917 . 2  |-  ( ph  ->  ( E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
)  <->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( L `
 <. z ,  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
5519, 54mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E!wreu 2729   _Vcvv 2984    \ cdif 3337    u. cun 3338   ifcif 3803   {csn 3889   <.cotp 3897    e. cmpt 4362   ` cfv 5430   iota_crio 6063  (class class class)co 6103   1stc1st 6587   2ndc2nd 6588   Basecbs 14186   0gc0g 14390   -gcsg 15425   LModclmod 16960   LSubSpclss 17025   LSpanclspn 17064   HLchlt 33007   LHypclh 33640   DVecHcdvh 34735  LCDualclcd 35243  mapdcmpd 35281  HDMap1chdma1 35449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-riotaBAD 32616
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-ot 3898  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-tpos 6757  df-undef 6804  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-0g 14392  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-poset 15128  df-plt 15140  df-lub 15156  df-glb 15157  df-join 15158  df-meet 15159  df-p0 15221  df-p1 15222  df-lat 15228  df-clat 15290  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-subg 15690  df-cntz 15847  df-oppg 15873  df-lsm 16147  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-oppr 16727  df-dvdsr 16745  df-unit 16746  df-invr 16776  df-dvr 16787  df-drng 16846  df-lmod 16962  df-lss 17026  df-lsp 17065  df-lvec 17196  df-lsatoms 32633  df-lshyp 32634  df-lcv 32676  df-lfl 32715  df-lkr 32743  df-ldual 32781  df-oposet 32833  df-ol 32835  df-oml 32836  df-covers 32923  df-ats 32924  df-atl 32955  df-cvlat 32979  df-hlat 33008  df-llines 33154  df-lplanes 33155  df-lvols 33156  df-lines 33157  df-psubsp 33159  df-pmap 33160  df-padd 33452  df-lhyp 33644  df-laut 33645  df-ldil 33760  df-ltrn 33761  df-trl 33815  df-tgrp 34399  df-tendo 34411  df-edring 34413  df-dveca 34659  df-disoa 34686  df-dvech 34736  df-dib 34796  df-dic 34830  df-dih 34886  df-doch 35005  df-djh 35052  df-lcdual 35244  df-mapd 35282  df-hdmap1 35451
This theorem is referenced by:  hdmap1eu  35483
  Copyright terms: Public domain W3C validator