Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1cl Structured version   Unicode version

Theorem hdmap1cl 34805
Description: Convert closure theorem mapdhcl 34727 to use HDMap1 function. (Contributed by NM, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1eq2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap1eq2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap1eq2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap1eq2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmap1eq2.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmap1eq2.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap1eq2.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmap1eq2.l  |-  L  =  ( LSpan `  C )
hdmap1eq2.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmap1eq2.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmap1eq2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap1eq2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
hdmap1eq2.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( L `  { F } ) )
hdmap1cl.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
hdmap1cl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1cl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmap1cl  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D )

Proof of Theorem hdmap1cl
Dummy variables  x  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap1eq2.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap1eq2.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap1eq2.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2402 . . 3  |-  ( -g `  U )  =  (
-g `  U )
5 hdmap1eq2.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 hdmap1eq2.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 hdmap1eq2.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 hdmap1eq2.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 eqid 2402 . . 3  |-  ( -g `  C )  =  (
-g `  C )
10 eqid 2402 . . 3  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
11 hdmap1eq2.l . . 3  |-  L  =  ( LSpan `  C )
12 hdmap1eq2.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 hdmap1eq2.i . . 3  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
14 hdmap1eq2.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 hdmap1cl.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
16 hdmap1eq2.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
17 hdmap1cl.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
18 eqid 2402 . . 3  |-  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  , 
( 0g `  C
) ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( L `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) ( -g `  U
) ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( L `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) (
-g `  C )
h ) } ) ) ) ) )  =  ( x  e. 
_V  |->  if ( ( 2nd `  x )  =  .0.  ,  ( 0g `  C ) ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `
 ( N `  { ( 2nd `  x
) } ) )  =  ( L `  { h } )  /\  ( M `  ( N `  { ( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) ( -g `  U
) ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( L `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) (
-g `  C )
h ) } ) ) ) ) )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18hdmap1valc 34804 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  ( ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  , 
( 0g `  C
) ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( L `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) ( -g `  U
) ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( L `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) (
-g `  C )
h ) } ) ) ) ) ) `
 <. X ,  F ,  Y >. ) )
20 hdmap1eq2.mn . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( L `  { F } ) )
21 hdmap1cl.ne . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
2210, 18, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 16, 20, 15, 17, 21mapdhcl 34727 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
_V  |->  if ( ( 2nd `  x )  =  .0.  ,  ( 0g `  C ) ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `
 ( N `  { ( 2nd `  x
) } ) )  =  ( L `  { h } )  /\  ( M `  ( N `  { ( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) ( -g `  U
) ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( L `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) (
-g `  C )
h ) } ) ) ) ) ) `
 <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D
)
2319, 22eqeltrd 2490 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   _Vcvv 3058    \ cdif 3410   ifcif 3884   {csn 3971   <.cotp 3979    |-> cmpt 4452   ` cfv 5568   iota_crio 6238  (class class class)co 6277   1stc1st 6781   2ndc2nd 6782   Basecbs 14839   0gc0g 15052   -gcsg 16377   LSpanclspn 17935   HLchlt 32348   LHypclh 32981   DVecHcdvh 34078  LCDualclcd 34586  mapdcmpd 34624  HDMap1chdma1 34792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-riotaBAD 31957
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-ot 3980  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-0g 15054  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-p1 15992  df-lat 15998  df-clat 16060  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-cntz 16677  df-oppg 16703  df-lsm 16978  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-dvr 17650  df-drng 17716  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-lvec 18067  df-lsatoms 31974  df-lshyp 31975  df-lcv 32017  df-lfl 32056  df-lkr 32084  df-ldual 32122  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-llines 32495  df-lplanes 32496  df-lvols 32497  df-lines 32498  df-psubsp 32500  df-pmap 32501  df-padd 32793  df-lhyp 32985  df-laut 32986  df-ldil 33101  df-ltrn 33102  df-trl 33157  df-tgrp 33742  df-tendo 33754  df-edring 33756  df-dveca 34002  df-disoa 34029  df-dvech 34079  df-dib 34139  df-dic 34173  df-dih 34229  df-doch 34348  df-djh 34395  df-lcdual 34587  df-mapd 34625  df-hdmap1 34794
This theorem is referenced by:  hdmap1eq2  34806  hdmap1eq4N  34807  hdmap1l6lem1  34808  hdmap1l6lem2  34809  hdmap1l6a  34810  hdmap1l6b  34812  hdmap1l6c  34813  hdmap1l6d  34814  hdmap1l6h  34818  hdmap1neglem1N  34828  hdmapval0  34836  hdmapval3lemN  34840  hdmap10lem  34842  hdmap11lem1  34844
  Copyright terms: Public domain W3C validator