Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem1a Structured version   Unicode version

Theorem hdmap14lem1a 35817
Description: Prior to part 14 in [Baer] p. 49, line 25. (Contributed by NM, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem1a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap14lem1a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap14lem1a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap14lem1a.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
hdmap14lem1a.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmap14lem1a.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hdmap14lem1a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap14lem2a.e  |-  .xb  =  ( .s `  C )
hdmap14lem1a.l  |-  L  =  ( LSpan `  C )
hdmap14lem2a.p  |-  P  =  (Scalar `  C )
hdmap14lem2a.a  |-  A  =  ( Base `  P
)
hdmap14lem1a.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmap14lem1a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap14lem3a.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hdmap14lem1a.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
hdmap14lem1a.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
hdmap14lem1a.fn  |-  ( ph  ->  F  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem1a  |-  ( ph  ->  ( L `  {
( S `  X
) } )  =  ( L `  {
( S `  ( F  .x.  X ) ) } ) )

Proof of Theorem hdmap14lem1a
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem1a.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap14lem1a.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap14lem1a.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlvec 35057 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
5 hdmap14lem1a.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
6 hdmap14lem1a.fn . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =/=  .0.  )
7 hdmap14lem3a.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
8 hdmap14lem1a.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
9 hdmap14lem1a.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  U )
10 hdmap14lem1a.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  U )
11 hdmap14lem1a.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
12 hdmap14lem1a.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
13 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
148, 9, 10, 11, 12, 13lspsnvs 17298 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LVec  /\  ( F  e.  B  /\  F  =/=  .0.  )  /\  X  e.  V )  ->  ( ( LSpan `  U
) `  { ( F  .x.  X ) } )  =  ( (
LSpan `  U ) `  { X } ) )
154, 5, 6, 7, 14syl121anc 1224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  U
) `  { ( F  .x.  X ) } )  =  ( (
LSpan `  U ) `  { X } ) )
1615fveq2d 5790 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( ( LSpan `  U ) `  { ( F  .x.  X ) } ) )  =  ( ( (mapd `  K ) `  W ) `  (
( LSpan `  U ) `  { X } ) ) )
17 hdmap14lem1a.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
18 hdmap14lem1a.l . . 3  |-  L  =  ( LSpan `  C )
19 eqid 2451 . . 3  |-  ( (mapd `  K ) `  W
)  =  ( (mapd `  K ) `  W
)
20 hdmap14lem1a.s . . 3  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
211, 2, 3dvhlmod 35058 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
228, 9, 10, 11lmodvscl 17068 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  F  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  ( F  .x.  X )  e.  V )
2321, 5, 7, 22syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  X
)  e.  V )
241, 2, 8, 13, 17, 18, 19, 20, 3, 23hdmap10 35791 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( ( LSpan `  U ) `  { ( F  .x.  X ) } ) )  =  ( L `
 { ( S `
 ( F  .x.  X ) ) } ) )
251, 2, 8, 13, 17, 18, 19, 20, 3, 7hdmap10 35791 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( ( LSpan `  U ) `  { X } ) )  =  ( L `  { ( S `  X ) } ) )
2616, 24, 253eqtr3rd 2500 1  |-  ( ph  ->  ( L `  {
( S `  X
) } )  =  ( L `  {
( S `  ( F  .x.  X ) ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2642   {csn 3972   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   Basecbs 14273  Scalarcsca 14340   .scvsca 14341   0gc0g 14477   LModclmod 17051   LSpanclspn 17155   LVecclvec 17286   HLchlt 33298   LHypclh 33931   DVecHcdvh 35026  LCDualclcd 35534  mapdcmpd 35572  HDMapchdma 35741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-riotaBAD 32907
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-ot 3981  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-iin 4269  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-of 6417  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-tpos 6842  df-undef 6889  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-fz 11536  df-struct 14275  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-ress 14280  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-sca 14353  df-vsca 14354  df-0g 14479  df-mre 14623  df-mrc 14624  df-acs 14626  df-poset 15215  df-plt 15227  df-lub 15243  df-glb 15244  df-join 15245  df-meet 15246  df-p0 15308  df-p1 15309  df-lat 15315  df-clat 15377  df-mnd 15514  df-submnd 15564  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-sbg 15646  df-subg 15777  df-cntz 15934  df-oppg 15960  df-lsm 16236  df-cmn 16380  df-abl 16381  df-mgp 16694  df-ur 16706  df-rng 16750  df-oppr 16818  df-dvdsr 16836  df-unit 16837  df-invr 16867  df-dvr 16878  df-drng 16937  df-lmod 17053  df-lss 17117  df-lsp 17156  df-lvec 17287  df-lsatoms 32924  df-lshyp 32925  df-lcv 32967  df-lfl 33006  df-lkr 33034  df-ldual 33072  df-oposet 33124  df-ol 33126  df-oml 33127  df-covers 33214  df-ats 33215  df-atl 33246  df-cvlat 33270  df-hlat 33299  df-llines 33445  df-lplanes 33446  df-lvols 33447  df-lines 33448  df-psubsp 33450  df-pmap 33451  df-padd 33743  df-lhyp 33935  df-laut 33936  df-ldil 34051  df-ltrn 34052  df-trl 34106  df-tgrp 34690  df-tendo 34702  df-edring 34704  df-dveca 34950  df-disoa 34977  df-dvech 35027  df-dib 35087  df-dic 35121  df-dih 35177  df-doch 35296  df-djh 35343  df-lcdual 35535  df-mapd 35573  df-hvmap 35705  df-hdmap1 35742  df-hdmap 35743
This theorem is referenced by:  hdmap14lem2a  35818  hdmap14lem1  35819
  Copyright terms: Public domain W3C validator