Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem14 Unicode version

Theorem hdmap14lem14 32367
Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 50 line 3. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem12.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap14lem12.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap14lem12.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap14lem12.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
hdmap14lem12.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmap14lem12.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hdmap14lem12.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap14lem12.e  |-  .xb  =  ( .s `  C )
hdmap14lem12.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmap14lem12.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap14lem12.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
hdmap14lem12.p  |-  P  =  (Scalar `  C )
hdmap14lem12.a  |-  A  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem14  |-  ( ph  ->  E! g  e.  A  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, g, A    B, g    C, g, x    .xb , g, x    g, F, x    P, g    R, g    S, g, x    .x. , g, x    U, g, x    g, V, x    ph, g, x
Allowed substitution hints:    B( x)    P( x)    R( x)    H( x, g)    K( x, g)    W( x, g)

Proof of Theorem hdmap14lem14
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem12.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap14lem12.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap14lem12.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2404 . . 3  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
5 hdmap14lem12.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
61, 2, 3, 4, 5dvh1dim 31925 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  V  y  =/=  ( 0g `  U ) )
7 hdmap14lem12.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  U )
8 hdmap14lem12.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  U )
9 hdmap14lem12.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
10 hdmap14lem12.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
11 hdmap14lem12.e . . . . 5  |-  .xb  =  ( .s `  C )
12 hdmap14lem12.p . . . . 5  |-  P  =  (Scalar `  C )
13 hdmap14lem12.a . . . . 5  |-  A  =  ( Base `  P
)
14 hdmap14lem12.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
1553ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 3simpc 956 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) ) )
17 eldifsn 3887 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( V  \  { ( 0g `  U ) } )  <-> 
( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) ) )
1816, 17sylibr 204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  y  e.  ( V  \  { ( 0g `  U ) } ) )
19 hdmap14lem12.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
20193ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  F  e.  B
)
211, 2, 3, 7, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20hdmap14lem7 32360 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  E! g  e.  A  ( S `  ( F  .x.  y ) )  =  ( g 
.xb  ( S `  y ) ) )
22 simpl1 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  g  e.  A )  ->  ph )
2322, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  g  e.  A )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2422, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  g  e.  A )  ->  F  e.  B )
2518adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  g  e.  A )  ->  y  e.  ( V  \  {
( 0g `  U
) } ) )
26 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  A )
271, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 23, 24, 12, 13, 4, 25, 26hdmap14lem13 32366 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  g  e.  A )  ->  (
( S `  ( F  .x.  y ) )  =  ( g  .xb  ( S `  y ) )  <->  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) ) )
2827reubidva 2851 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( E! g  e.  A  ( S `
 ( F  .x.  y ) )  =  ( g  .xb  ( S `  y )
)  <->  E! g  e.  A  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) ) )
2921, 28mpbid 202 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  E! g  e.  A  A. x  e.  V  ( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( g 
.xb  ( S `  x ) ) )
3029rexlimdv3a 2792 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  V  y  =/=  ( 0g `  U )  ->  E! g  e.  A  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) ) )
316, 30mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E! g  e.  A  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   E!wreu 2668    \ cdif 3277   {csn 3774   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   0gc0g 13678   HLchlt 29833   LHypclh 30466   DVecHcdvh 31561  LCDualclcd 32069  HDMapchdma 32276
This theorem is referenced by:  hdmap14lem15  32368
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-ot 3784  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-undef 6502  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-0g 13682  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130  df-lsatoms 29459  df-lshyp 29460  df-lcv 29502  df-lfl 29541  df-lkr 29569  df-ldual 29607  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tgrp 31225  df-tendo 31237  df-edring 31239  df-dveca 31485  df-disoa 31512  df-dvech 31562  df-dib 31622  df-dic 31656  df-dih 31712  df-doch 31831  df-djh 31878  df-lcdual 32070  df-mapd 32108  df-hvmap 32240  df-hdmap1 32277  df-hdmap 32278
  Copyright terms: Public domain W3C validator