Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem14 Structured version   Unicode version

Theorem hdmap14lem14 34884
Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 50 line 3. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem12.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap14lem12.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap14lem12.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap14lem12.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
hdmap14lem12.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmap14lem12.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hdmap14lem12.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap14lem12.e  |-  .xb  =  ( .s `  C )
hdmap14lem12.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmap14lem12.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap14lem12.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
hdmap14lem12.p  |-  P  =  (Scalar `  C )
hdmap14lem12.a  |-  A  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem14  |-  ( ph  ->  E! g  e.  A  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, g, A    B, g    C, g, x    .xb , g, x    g, F, x    P, g    R, g    S, g, x    .x. , g, x    U, g, x    g, V, x    ph, g, x
Allowed substitution hints:    B( x)    P( x)    R( x)    H( x, g)    K( x, g)    W( x, g)

Proof of Theorem hdmap14lem14
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem12.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap14lem12.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap14lem12.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2402 . . 3  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
5 hdmap14lem12.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
61, 2, 3, 4, 5dvh1dim 34442 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  V  y  =/=  ( 0g `  U ) )
7 hdmap14lem12.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  U )
8 hdmap14lem12.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  U )
9 hdmap14lem12.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
10 hdmap14lem12.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
11 hdmap14lem12.e . . . . 5  |-  .xb  =  ( .s `  C )
12 hdmap14lem12.p . . . . 5  |-  P  =  (Scalar `  C )
13 hdmap14lem12.a . . . . 5  |-  A  =  ( Base `  P
)
14 hdmap14lem12.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
1553ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 3simpc 996 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) ) )
17 eldifsn 4096 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( V  \  { ( 0g `  U ) } )  <-> 
( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) ) )
1816, 17sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  y  e.  ( V  \  { ( 0g `  U ) } ) )
19 hdmap14lem12.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
20193ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  F  e.  B
)
211, 2, 3, 7, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20hdmap14lem7 34877 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  E! g  e.  A  ( S `  ( F  .x.  y ) )  =  ( g 
.xb  ( S `  y ) ) )
22 simpl1 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  g  e.  A )  ->  ph )
2322, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  g  e.  A )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2422, 19syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  g  e.  A )  ->  F  e.  B )
2518adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  g  e.  A )  ->  y  e.  ( V  \  {
( 0g `  U
) } ) )
26 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  A )
271, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 23, 24, 12, 13, 4, 25, 26hdmap14lem13 34883 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  g  e.  A )  ->  (
( S `  ( F  .x.  y ) )  =  ( g  .xb  ( S `  y ) )  <->  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) ) )
2827reubidva 2990 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( E! g  e.  A  ( S `
 ( F  .x.  y ) )  =  ( g  .xb  ( S `  y )
)  <->  E! g  e.  A  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) ) )
2921, 28mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  E! g  e.  A  A. x  e.  V  ( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( g 
.xb  ( S `  x ) ) )
3029rexlimdv3a 2897 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  V  y  =/=  ( 0g `  U )  ->  E! g  e.  A  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) ) )
316, 30mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E! g  e.  A  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   E!wreu 2755    \ cdif 3410   {csn 3971   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839  Scalarcsca 14910   .scvsca 14911   0gc0g 15052   HLchlt 32348   LHypclh 32981   DVecHcdvh 34078  LCDualclcd 34586  HDMapchdma 34793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-riotaBAD 31957
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-ot 3980  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-0g 15054  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-p1 15992  df-lat 15998  df-clat 16060  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-cntz 16677  df-oppg 16703  df-lsm 16978  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-dvr 17650  df-drng 17716  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-lvec 18067  df-lsatoms 31974  df-lshyp 31975  df-lcv 32017  df-lfl 32056  df-lkr 32084  df-ldual 32122  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-llines 32495  df-lplanes 32496  df-lvols 32497  df-lines 32498  df-psubsp 32500  df-pmap 32501  df-padd 32793  df-lhyp 32985  df-laut 32986  df-ldil 33101  df-ltrn 33102  df-trl 33157  df-tgrp 33742  df-tendo 33754  df-edring 33756  df-dveca 34002  df-disoa 34029  df-dvech 34079  df-dib 34139  df-dic 34173  df-dih 34229  df-doch 34348  df-djh 34395  df-lcdual 34587  df-mapd 34625  df-hvmap 34757  df-hdmap1 34794  df-hdmap 34795
This theorem is referenced by:  hdmap14lem15  34885
  Copyright terms: Public domain W3C validator