Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem14 Unicode version

Theorem hdmap14lem14 30763
Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 50 line 3. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem12.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap14lem12.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap14lem12.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap14lem12.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
hdmap14lem12.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hdmap14lem12.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hdmap14lem12.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap14lem12.e  |-  .xb  =  ( .s `  C )
hdmap14lem12.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmap14lem12.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap14lem12.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
hdmap14lem12.p  |-  P  =  (Scalar `  C )
hdmap14lem12.a  |-  A  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem14  |-  ( ph  ->  E! g  e.  A  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, g, A    B, g    C, g, x    .xb , g, x    g, F, x    P, g    R, g    S, g, x    .x. , g, x    U, g, x    g, V, x    ph, g, x
Allowed substitution hints:    B( x)    P( x)    R( x)    H( x, g)    K( x, g)    W( x, g)

Proof of Theorem hdmap14lem14
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem12.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap14lem12.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap14lem12.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2253 . . 3  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
5 hdmap14lem12.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
61, 2, 3, 4, 5dvh1dim 30321 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  V  y  =/=  ( 0g `  U ) )
7 hdmap14lem12.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  U )
8 hdmap14lem12.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  U )
9 hdmap14lem12.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
10 hdmap14lem12.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
11 hdmap14lem12.e . . . . 5  |-  .xb  =  ( .s `  C )
12 hdmap14lem12.p . . . . 5  |-  P  =  (Scalar `  C )
13 hdmap14lem12.a . . . . 5  |-  A  =  ( Base `  P
)
14 hdmap14lem12.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
1553ad2ant1 981 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 3simpc 959 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) ) )
17 eldifsn 3653 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( V  \  { ( 0g `  U ) } )  <-> 
( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) ) )
1816, 17sylibr 205 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  y  e.  ( V  \  { ( 0g `  U ) } ) )
19 hdmap14lem12.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
20193ad2ant1 981 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  F  e.  B
)
211, 2, 3, 7, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20hdmap14lem7 30756 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  E! g  e.  A  ( S `  ( F  .x.  y ) )  =  ( g 
.xb  ( S `  y ) ) )
22 simpl1 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  g  e.  A )  ->  ph )
2322, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  g  e.  A )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2422, 19syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  g  e.  A )  ->  F  e.  B )
2518adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  g  e.  A )  ->  y  e.  ( V  \  {
( 0g `  U
) } ) )
26 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  A )
271, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 23, 24, 12, 13, 4, 25, 26hdmap14lem13 30762 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  g  e.  A )  ->  (
( S `  ( F  .x.  y ) )  =  ( g  .xb  ( S `  y ) )  <->  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) ) )
2827reubidva 2682 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( E! g  e.  A  ( S `
 ( F  .x.  y ) )  =  ( g  .xb  ( S `  y )
)  <->  E! g  e.  A  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) ) )
2921, 28mpbid 203 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  E! g  e.  A  A. x  e.  V  ( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( g 
.xb  ( S `  x ) ) )
3029rexlimdv3a 2631 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  V  y  =/=  ( 0g `  U )  ->  E! g  e.  A  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) ) )
316, 30mpd 16 1  |-  ( ph  ->  E! g  e.  A  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510   E!wreu 2511    \ cdif 3075   {csn 3544   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Basecbs 13022  Scalarcsca 13085   .scvsca 13086   0gc0g 13274   HLchlt 28229   LHypclh 28862   DVecHcdvh 29957  LCDualclcd 30465  HDMapchdma 30672
This theorem is referenced by:  hdmap14lem15  30764
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-ot 3554  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-0g 13278  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-subg 14453  df-cntz 14628  df-oppg 14654  df-lsm 14782  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-dvr 15300  df-drng 15349  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-lvec 15691  df-lsatoms 27855  df-lshyp 27856  df-lcv 27898  df-lfl 27937  df-lkr 27965  df-ldual 28003  df-oposet 28055  df-ol 28057  df-oml 28058  df-covers 28145  df-ats 28146  df-atl 28177  df-cvlat 28201  df-hlat 28230  df-llines 28376  df-lplanes 28377  df-lvols 28378  df-lines 28379  df-psubsp 28381  df-pmap 28382  df-padd 28674  df-lhyp 28866  df-laut 28867  df-ldil 28982  df-ltrn 28983  df-trl 29037  df-tgrp 29621  df-tendo 29633  df-edring 29635  df-dveca 29881  df-disoa 29908  df-dvech 29958  df-dib 30018  df-dic 30052  df-dih 30108  df-doch 30227  df-djh 30274  df-lcdual 30466  df-mapd 30504  df-hvmap 30636  df-hdmap1 30673  df-hdmap 30674
  Copyright terms: Public domain W3C validator