Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap11lem2 Unicode version

Theorem hdmap11lem2 32328
Description: Lemma for hdmapadd 32329. (Contributed by NM, 26-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap11.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap11.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap11.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap11.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmap11.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap11.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
hdmap11.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmap11.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap11.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hdmap11.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
hdmap11.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmap11.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmap11.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmap11.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmap11.l  |-  L  =  ( LSpan `  C )
hdmap11.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmap11.j  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hdmap11.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
hdmap11lem2  |-  ( ph  ->  ( S `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( S `
 X )  .+b  ( S `  Y ) ) )

Proof of Theorem hdmap11lem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap11.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap11.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap11.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 hdmap11.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
5 hdmap11.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 hdmap11.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
7 hdmap11.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 31929 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
98adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
10 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
111, 2, 5dvhlmod 31593 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
1211adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  U  e.  LMod )
133, 10, 4, 11, 6, 7lspprcl 16009 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
1413adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
15 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
1610, 4, 12, 14, 15lspsnel5a 16027 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  ( N `  { E } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
1716ssneld 3310 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  ->  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )
1817ancld 537 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) ) )
1918reximdv 2777 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) ) )
209, 19mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )
21 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
22 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
23 hdmap11.o . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
24 hdmap11.e . . . . . . . . . 10  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
251, 21, 22, 2, 3, 23, 24, 5dvheveccl 31595 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
2625eldifad 3292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  V )
271, 2, 3, 4, 5, 26, 7dvh3dim 31929 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { E ,  Y } ) )
2827adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { E ,  Y }
) )
29 preq1 3843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  =  .0.  ->  { X ,  Y }  =  {  .0.  ,  Y } )
30 prcom 3842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  {  .0.  ,  Y }  =  { Y ,  .0.  }
3129, 30syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  .0.  ->  { X ,  Y }  =  { Y ,  .0.  } )
3231fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  .0.  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { Y ,  .0.  } ) )
333, 23, 4, 11, 7lsppr0 16119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  .0.  } )  =  ( N `  { Y } ) )
3432, 33sylan9eqr 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  { Y } ) )
353, 10, 4, 11, 26, 7lspprcl 16009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { E ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
363, 4, 11, 26, 7lspprid2 16029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { E ,  Y } ) )
3710, 4, 11, 35, 36lspsnel5a 16027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { E ,  Y } ) )
3837adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( N `
 { Y }
)  C_  ( N `  { E ,  Y } ) )
3934, 38eqsstrd 3342 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( N `
 { X ,  Y } )  C_  ( N `  { E ,  Y } ) )
4039ssneld 3310 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( -.  z  e.  ( N `
 { E ,  Y } )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
413, 4, 11, 26, 7lspprid1 16028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  ( N `
 { E ,  Y } ) )
4210, 4, 11, 35, 41lspsnel5a 16027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  { E } )  C_  ( N `  { E ,  Y } ) )
4342adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( N `
 { E }
)  C_  ( N `  { E ,  Y } ) )
4443ssneld 3310 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( -.  z  e.  ( N `
 { E ,  Y } )  ->  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )
4540, 44jcad 520 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( -.  z  e.  ( N `
 { E ,  Y } )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) ) )
4645reximdv 2777 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { E ,  Y } )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) ) )
4728, 46mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )
4847adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =  .0.  )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )
49 hdmap11.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  U )
503, 49lmodvacl 15919 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  E  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( E  .+  X )  e.  V )
5111, 26, 6, 50syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  .+  X
)  e.  V )
5251ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
( E  .+  X
)  e.  V )
5311ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  U  e.  LMod )
5413ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
553, 4, 11, 6, 7lspprid1 16028 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
5655ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  X  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
5726ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  E  e.  V )
58 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
593, 49, 10, 53, 54, 56, 57, 58lssvancl2 15977 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  -.  ( E  .+  X
)  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
603, 10, 4lspsncl 16008 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  E  e.  V )  ->  ( N `  { E } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
6111, 26, 60syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { E } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
6261ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
( N `  { E } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
633, 4lspsnid 16024 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  E  e.  V )  ->  E  e.  ( N `  { E } ) )
6411, 26, 63syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  ( N `
 { E }
) )
6564ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  E  e.  ( N `  { E } ) )
666ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  X  e.  V )
671, 2, 5dvhlvec 31592 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
6867ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  U  e.  LVec )
69 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  X  =/=  .0.  )
70 eldifsn 3887 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( X  e.  V  /\  X  =/= 
.0.  ) )
7166, 69, 70sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
7210, 4, 11, 13, 55lspsnel5a 16027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
7372sseld 3307 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ( N `  { X } )  ->  E  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
7473con3and 429 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  -.  E  e.  ( N `  { X } ) )
7574adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  -.  E  e.  ( N `  { X } ) )
763, 23, 4, 68, 57, 71, 75lspsnnecom 16146 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  -.  X  e.  ( N `  { E } ) )
773, 49, 10, 53, 62, 65, 66, 76lssvancl1 15976 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  -.  ( E  .+  X
)  e.  ( N `
 { E }
) )
78 eleq1 2464 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( E  .+  X )  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  Y } )  <->  ( E  .+  X )  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
7978notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( E  .+  X )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  ( E  .+  X )  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
80 eleq1 2464 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( E  .+  X )  ->  (
z  e.  ( N `
 { E }
)  <->  ( E  .+  X )  e.  ( N `  { E } ) ) )
8180notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( E  .+  X )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { E } )  <->  -.  ( E  .+  X )  e.  ( N `  { E } ) ) )
8279, 81anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( E  .+  X )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) )  <->  ( -.  ( E  .+  X )  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  ( E  .+  X )  e.  ( N `  { E } ) ) ) )
8382rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( ( E  .+  X
)  e.  V  /\  ( -.  ( E  .+  X )  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  ( E  .+  X
)  e.  ( N `
 { E }
) ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )
8452, 59, 77, 83syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )
8548, 84pm2.61dane 2645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )
8620, 85pm2.61dan 767 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )
87 hdmap11.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
88 hdmap11.a . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
89 hdmap11.s . . . 4  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
9053ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9163ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  X  e.  V
)
9273ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  Y  e.  V
)
93 hdmap11.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
94 hdmap11.l . . . 4  |-  L  =  ( LSpan `  C )
95 hdmap11.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
96 hdmap11.j . . . 4  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
97 hdmap11.i . . . 4  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
98 simp2 958 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  z  e.  V
)
99 simp3l 985 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
100113ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  U  e.  LMod )
101263ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  E  e.  V
)
102 simp3r 986 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { E } ) )
1033, 4, 100, 98, 101, 102lspsnne2 16145 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { E } ) )
1041, 2, 3, 49, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 24, 23, 4, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 103hdmap11lem1 32327 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  ( S `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( S `  X ) 
.+b  ( S `  Y ) ) )
105104rexlimdv3a 2792 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) )  -> 
( S `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( S `
 X )  .+b  ( S `  Y ) ) ) )
10686, 105mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( S `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( S `
 X )  .+b  ( S `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667    \ cdif 3277    C_ wss 3280   {csn 3774   {cpr 3775   <.cop 3777    _I cid 4453    |` cres 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   LModclmod 15905   LSubSpclss 15963   LSpanclspn 16002   LVecclvec 16129   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   DVecHcdvh 31561  LCDualclcd 32069  mapdcmpd 32107  HVMapchvm 32239  HDMap1chdma1 32275  HDMapchdma 32276
This theorem is referenced by:  hdmapadd  32329
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-ot 3784  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-undef 6502  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-0g 13682  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130  df-lsatoms 29459  df-lshyp 29460  df-lcv 29502  df-lfl 29541  df-lkr 29569  df-ldual 29607  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tgrp 31225  df-tendo 31237  df-edring 31239  df-dveca 31485  df-disoa 31512  df-dvech 31562  df-dib 31622  df-dic 31656  df-dih 31712  df-doch 31831  df-djh 31878  df-lcdual 32070  df-mapd 32108  df-hvmap 32240  df-hdmap1 32277  df-hdmap 32278
  Copyright terms: Public domain W3C validator