Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap11lem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hdmap11lem2 35413
Description: Lemma for hdmapadd 35414. (Contributed by NM, 26-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap11.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap11.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap11.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap11.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmap11.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap11.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
hdmap11.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmap11.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap11.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hdmap11.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
hdmap11.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmap11.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmap11.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmap11.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmap11.l  |-  L  =  ( LSpan `  C )
hdmap11.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmap11.j  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hdmap11.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
hdmap11lem2  |-  ( ph  ->  ( S `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( S `
 X )  .+b  ( S `  Y ) ) )

Proof of Theorem hdmap11lem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap11.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap11.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap11.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 hdmap11.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
5 hdmap11.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 hdmap11.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
7 hdmap11.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 35014 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
98adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
10 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
111, 2, 5dvhlmod 34678 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
1211adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  U  e.  LMod )
133, 10, 4, 11, 6, 7lspprcl 18201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
1413adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
15 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
1610, 4, 12, 14, 15lspsnel5a 18219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  ( N `  { E } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
1716ssneld 3434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  ->  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )
1817ancld 556 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) ) )
1918reximdv 2861 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) ) )
209, 19mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )
21 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
22 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
23 hdmap11.o . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
24 hdmap11.e . . . . . . . . . 10  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
251, 21, 22, 2, 3, 23, 24, 5dvheveccl 34680 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
2625eldifad 3416 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  V )
271, 2, 3, 4, 5, 26, 7dvh3dim 35014 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { E ,  Y } ) )
2827adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { E ,  Y }
) )
29 preq1 4051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  =  .0.  ->  { X ,  Y }  =  {  .0.  ,  Y } )
30 prcom 4050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  {  .0.  ,  Y }  =  { Y ,  .0.  }
3129, 30syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  .0.  ->  { X ,  Y }  =  { Y ,  .0.  } )
3231fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  .0.  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { Y ,  .0.  } ) )
333, 23, 4, 11, 7lsppr0 18315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  .0.  } )  =  ( N `  { Y } ) )
3432, 33sylan9eqr 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  { Y } ) )
353, 10, 4, 11, 26, 7lspprcl 18201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { E ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
363, 4, 11, 26, 7lspprid2 18221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { E ,  Y } ) )
3710, 4, 11, 35, 36lspsnel5a 18219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { E ,  Y } ) )
3837adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( N `
 { Y }
)  C_  ( N `  { E ,  Y } ) )
3934, 38eqsstrd 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( N `
 { X ,  Y } )  C_  ( N `  { E ,  Y } ) )
4039ssneld 3434 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( -.  z  e.  ( N `
 { E ,  Y } )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
413, 4, 11, 26, 7lspprid1 18220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  ( N `
 { E ,  Y } ) )
4210, 4, 11, 35, 41lspsnel5a 18219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  { E } )  C_  ( N `  { E ,  Y } ) )
4342adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( N `
 { E }
)  C_  ( N `  { E ,  Y } ) )
4443ssneld 3434 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( -.  z  e.  ( N `
 { E ,  Y } )  ->  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )
4540, 44jcad 536 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( -.  z  e.  ( N `
 { E ,  Y } )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) ) )
4645reximdv 2861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { E ,  Y } )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) ) )
4728, 46mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )
4847adantlr 721 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =  .0.  )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )
49 hdmap11.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  U )
503, 49lmodvacl 18105 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  E  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( E  .+  X )  e.  V )
5111, 26, 6, 50syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  .+  X
)  e.  V )
5251ad2antrr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
( E  .+  X
)  e.  V )
5311ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  U  e.  LMod )
5413ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
553, 4, 11, 6, 7lspprid1 18220 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
5655ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  X  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
5726ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  E  e.  V )
58 simplr 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
593, 49, 10, 53, 54, 56, 57, 58lssvancl2 18169 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  -.  ( E  .+  X
)  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
603, 10, 4lspsncl 18200 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  E  e.  V )  ->  ( N `  { E } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
6111, 26, 60syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { E } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
6261ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
( N `  { E } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
633, 4lspsnid 18216 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  E  e.  V )  ->  E  e.  ( N `  { E } ) )
6411, 26, 63syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  ( N `
 { E }
) )
6564ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  E  e.  ( N `  { E } ) )
666ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  X  e.  V )
671, 2, 5dvhlvec 34677 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
6867ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  U  e.  LVec )
69 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  X  =/=  .0.  )
70 eldifsn 4097 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( X  e.  V  /\  X  =/= 
.0.  ) )
7166, 69, 70sylanbrc 670 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
7210, 4, 11, 13, 55lspsnel5a 18219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
7372sseld 3431 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ( N `  { X } )  ->  E  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
7473con3dimp 443 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  -.  E  e.  ( N `  { X } ) )
7574adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  -.  E  e.  ( N `  { X } ) )
763, 23, 4, 68, 57, 71, 75lspsnnecom 18342 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  -.  X  e.  ( N `  { E } ) )
773, 49, 10, 53, 62, 65, 66, 76lssvancl1 18168 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  -.  ( E  .+  X
)  e.  ( N `
 { E }
) )
78 eleq1 2517 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( E  .+  X )  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  Y } )  <->  ( E  .+  X )  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
7978notbid 296 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( E  .+  X )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  ( E  .+  X )  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
80 eleq1 2517 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( E  .+  X )  ->  (
z  e.  ( N `
 { E }
)  <->  ( E  .+  X )  e.  ( N `  { E } ) ) )
8180notbid 296 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( E  .+  X )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { E } )  <->  -.  ( E  .+  X )  e.  ( N `  { E } ) ) )
8279, 81anbi12d 717 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( E  .+  X )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) )  <->  ( -.  ( E  .+  X )  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  ( E  .+  X )  e.  ( N `  { E } ) ) ) )
8382rspcev 3150 . . . . 5  |-  ( ( ( E  .+  X
)  e.  V  /\  ( -.  ( E  .+  X )  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  ( E  .+  X
)  e.  ( N `
 { E }
) ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )
8452, 59, 77, 83syl12anc 1266 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  X  =/=  .0.  )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )
8548, 84pm2.61dane 2711 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  E  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )
8620, 85pm2.61dan 800 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )
87 hdmap11.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
88 hdmap11.a . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
89 hdmap11.s . . . 4  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
9053ad2ant1 1029 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9163ad2ant1 1029 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  X  e.  V
)
9273ad2ant1 1029 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  Y  e.  V
)
93 hdmap11.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
94 hdmap11.l . . . 4  |-  L  =  ( LSpan `  C )
95 hdmap11.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
96 hdmap11.j . . . 4  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
97 hdmap11.i . . . 4  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
98 simp2 1009 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  z  e.  V
)
99 simp3l 1036 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
100113ad2ant1 1029 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  U  e.  LMod )
101263ad2ant1 1029 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  E  e.  V
)
102 simp3r 1037 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { E } ) )
1033, 4, 100, 98, 101, 102lspsnne2 18341 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { E } ) )
1041, 2, 3, 49, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 24, 23, 4, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 103hdmap11lem1 35412 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) ) )  ->  ( S `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( S `  X ) 
.+b  ( S `  Y ) ) )
105104rexlimdv3a 2881 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { E } ) )  -> 
( S `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( S `
 X )  .+b  ( S `  Y ) ) ) )
10686, 105mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( S `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( S `
 X )  .+b  ( S `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   E.wrex 2738    \ cdif 3401    C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970   <.cop 3974    _I cid 4744    |` cres 4836   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   0gc0g 15338   LModclmod 18091   LSubSpclss 18155   LSpanclspn 18194   LVecclvec 18325   HLchlt 32916   LHypclh 33549   LTrncltrn 33666   DVecHcdvh 34646  LCDualclcd 35154  mapdcmpd 35192  HVMapchvm 35324  HDMap1chdma1 35360  HDMapchdma 35361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-riotaBAD 32525
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-0g 15340  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-lub 16220  df-glb 16221  df-join 16222  df-meet 16223  df-p0 16285  df-p1 16286  df-lat 16292  df-clat 16354  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-subg 16814  df-cntz 16971  df-oppg 16997  df-lsm 17288  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-drng 17977  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-lvec 18326  df-lsatoms 32542  df-lshyp 32543  df-lcv 32585  df-lfl 32624  df-lkr 32652  df-ldual 32690  df-oposet 32742  df-ol 32744  df-oml 32745  df-covers 32832  df-ats 32833  df-atl 32864  df-cvlat 32888  df-hlat 32917  df-llines 33063  df-lplanes 33064  df-lvols 33065  df-lines 33066  df-psubsp 33068  df-pmap 33069  df-padd 33361  df-lhyp 33553  df-laut 33554  df-ldil 33669  df-ltrn 33670  df-trl 33725  df-tgrp 34310  df-tendo 34322  df-edring 34324  df-dveca 34570  df-disoa 34597  df-dvech 34647  df-dib 34707  df-dic 34741  df-dih 34797  df-doch 34916  df-djh 34963  df-lcdual 35155  df-mapd 35193  df-hvmap 35325  df-hdmap1 35362  df-hdmap 35363
This theorem is referenced by:  hdmapadd  35414
  Copyright terms: Public domain W3C validator