Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap11 Structured version   Unicode version

Theorem hdmap11 36865
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4, aS=bS iff a=b in their notation (S = sigma). The sigma map is one-to-one. (Contributed by NM, 26-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap12d.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap12d.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap12d.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap12d.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmap12d.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap12d.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hdmap12d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmap11  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  =  ( S `  Y )  <-> 
X  =  Y ) )

Proof of Theorem hdmap11
StepHypRef Expression
1 hdmap12d.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap12d.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap12d.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( -g `  U )  =  (
-g `  U )
5 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( (LCDual `  K ) `  W
)  =  ( (LCDual `  K ) `  W
)
6 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( -g `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)  =  ( -g `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)
7 hdmap12d.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
8 hdmap12d.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 hdmap12d.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 hdmap12d.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hdmapsub 36864 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  ( X ( -g `  U
) Y ) )  =  ( ( S `
 X ) (
-g `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) ( S `
 Y ) ) )
1211eqeq1d 2469 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( X ( -g `  U
) Y ) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W ) )  <->  ( ( S `  X )
( -g `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) ( S `
 Y ) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W ) ) ) )
13 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
14 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  ( (LCDual `  K ) `  W
) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W
) )
151, 2, 8dvhlmod 36124 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
163, 4lmodvsubcl 17367 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X ( -g `  U
) Y )  e.  V )
1715, 9, 10, 16syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X ( -g `  U ) Y )  e.  V )
181, 2, 3, 13, 5, 14, 7, 8, 17hdmapeq0 36861 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( X ( -g `  U
) Y ) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W ) )  <->  ( X
( -g `  U ) Y )  =  ( 0g `  U ) ) )
191, 5, 8lcdlmod 36606 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (LCDual `  K
) `  W )  e.  LMod )
20 lmodgrp 17331 . . . . 5  |-  ( ( (LCDual `  K ) `  W )  e.  LMod  -> 
( (LCDual `  K
) `  W )  e.  Grp )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (LCDual `  K
) `  W )  e.  Grp )
22 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)
231, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 9hdmapcl 36847 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  e.  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
241, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 10hdmapcl 36847 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  Y
)  e.  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
2522, 14, 6grpsubeq0 15938 . . . 4  |-  ( ( ( (LCDual `  K
) `  W )  e.  Grp  /\  ( S `
 X )  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) )  /\  ( S `  Y )  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) )  ->  ( ( ( S `  X ) ( -g `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) ( S `  Y ) )  =  ( 0g
`  ( (LCDual `  K ) `  W
) )  <->  ( S `  X )  =  ( S `  Y ) ) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 X ) (
-g `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) ( S `
 Y ) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W ) )  <->  ( S `  X )  =  ( S `  Y ) ) )
2712, 18, 263bitr3rd 284 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  =  ( S `  Y )  <-> 
( X ( -g `  U ) Y )  =  ( 0g `  U ) ) )
28 lmodgrp 17331 . . . 4  |-  ( U  e.  LMod  ->  U  e. 
Grp )
2915, 28syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  Grp )
303, 13, 4grpsubeq0 15938 . . 3  |-  ( ( U  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( X (
-g `  U ) Y )  =  ( 0g `  U )  <-> 
X  =  Y ) )
3129, 9, 10, 30syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X (
-g `  U ) Y )  =  ( 0g `  U )  <-> 
X  =  Y ) )
3227, 31bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  =  ( S `  Y )  <-> 
X  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Basecbs 14493   0gc0g 14698   Grpcgrp 15730   -gcsg 15733   LModclmod 17324   HLchlt 34364   LHypclh 34997   DVecHcdvh 36092  LCDualclcd 36600  HDMapchdma 36807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-riotaBAD 33973
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6956  df-undef 7003  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-0g 14700  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-poset 15436  df-plt 15448  df-lub 15464  df-glb 15465  df-join 15466  df-meet 15467  df-p0 15529  df-p1 15530  df-lat 15536  df-clat 15598  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-subg 16012  df-cntz 16169  df-oppg 16195  df-lsm 16471  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-oppr 17085  df-dvdsr 17103  df-unit 17104  df-invr 17134  df-dvr 17145  df-drng 17210  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-lsp 17430  df-lvec 17561  df-lsatoms 33990  df-lshyp 33991  df-lcv 34033  df-lfl 34072  df-lkr 34100  df-ldual 34138  df-oposet 34190  df-ol 34192  df-oml 34193  df-covers 34280  df-ats 34281  df-atl 34312  df-cvlat 34336  df-hlat 34365  df-llines 34511  df-lplanes 34512  df-lvols 34513  df-lines 34514  df-psubsp 34516  df-pmap 34517  df-padd 34809  df-lhyp 35001  df-laut 35002  df-ldil 35117  df-ltrn 35118  df-trl 35172  df-tgrp 35756  df-tendo 35768  df-edring 35770  df-dveca 36016  df-disoa 36043  df-dvech 36093  df-dib 36153  df-dic 36187  df-dih 36243  df-doch 36362  df-djh 36409  df-lcdual 36601  df-mapd 36639  df-hvmap 36771  df-hdmap1 36808  df-hdmap 36809
This theorem is referenced by:  hdmapf1oN  36882  hgmap11  36919
  Copyright terms: Public domain W3C validator