Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap11 Structured version   Unicode version

Theorem hdmap11 35172
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4, aS=bS iff a=b in their notation (S = sigma). The sigma map is one-to-one. (Contributed by NM, 26-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap12d.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap12d.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap12d.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap12d.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmap12d.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap12d.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hdmap12d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmap11  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  =  ( S `  Y )  <-> 
X  =  Y ) )

Proof of Theorem hdmap11
StepHypRef Expression
1 hdmap12d.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap12d.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap12d.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2420 . . . . 5  |-  ( -g `  U )  =  (
-g `  U )
5 eqid 2420 . . . . 5  |-  ( (LCDual `  K ) `  W
)  =  ( (LCDual `  K ) `  W
)
6 eqid 2420 . . . . 5  |-  ( -g `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)  =  ( -g `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)
7 hdmap12d.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
8 hdmap12d.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 hdmap12d.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 hdmap12d.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hdmapsub 35171 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  ( X ( -g `  U
) Y ) )  =  ( ( S `
 X ) (
-g `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) ( S `
 Y ) ) )
1211eqeq1d 2422 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( X ( -g `  U
) Y ) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W ) )  <->  ( ( S `  X )
( -g `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) ( S `
 Y ) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W ) ) ) )
13 eqid 2420 . . . 4  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
14 eqid 2420 . . . 4  |-  ( 0g
`  ( (LCDual `  K ) `  W
) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W
) )
151, 2, 8dvhlmod 34431 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
163, 4lmodvsubcl 18074 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X ( -g `  U
) Y )  e.  V )
1715, 9, 10, 16syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X ( -g `  U ) Y )  e.  V )
181, 2, 3, 13, 5, 14, 7, 8, 17hdmapeq0 35168 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( X ( -g `  U
) Y ) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W ) )  <->  ( X
( -g `  U ) Y )  =  ( 0g `  U ) ) )
191, 5, 8lcdlmod 34913 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (LCDual `  K
) `  W )  e.  LMod )
20 lmodgrp 18039 . . . . 5  |-  ( ( (LCDual `  K ) `  W )  e.  LMod  -> 
( (LCDual `  K
) `  W )  e.  Grp )
2119, 20syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (LCDual `  K
) `  W )  e.  Grp )
22 eqid 2420 . . . . 5  |-  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)
231, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 9hdmapcl 35154 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  e.  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
241, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 10hdmapcl 35154 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  Y
)  e.  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
2522, 14, 6grpsubeq0 16692 . . . 4  |-  ( ( ( (LCDual `  K
) `  W )  e.  Grp  /\  ( S `
 X )  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) )  /\  ( S `  Y )  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) )  ->  ( ( ( S `  X ) ( -g `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) ( S `  Y ) )  =  ( 0g
`  ( (LCDual `  K ) `  W
) )  <->  ( S `  X )  =  ( S `  Y ) ) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 X ) (
-g `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) ( S `
 Y ) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W ) )  <->  ( S `  X )  =  ( S `  Y ) ) )
2712, 18, 263bitr3rd 287 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  =  ( S `  Y )  <-> 
( X ( -g `  U ) Y )  =  ( 0g `  U ) ) )
28 lmodgrp 18039 . . . 4  |-  ( U  e.  LMod  ->  U  e. 
Grp )
2915, 28syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  Grp )
303, 13, 4grpsubeq0 16692 . . 3  |-  ( ( U  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( X (
-g `  U ) Y )  =  ( 0g `  U )  <-> 
X  =  Y ) )
3129, 9, 10, 30syl3anc 1264 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X (
-g `  U ) Y )  =  ( 0g `  U )  <-> 
X  =  Y ) )
3227, 31bitrd 256 1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  =  ( S `  Y )  <-> 
X  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Basecbs 15081   0gc0g 15298   Grpcgrp 16621   -gcsg 16623   LModclmod 18032   HLchlt 32669   LHypclh 33302   DVecHcdvh 34399  LCDualclcd 34907  HDMapchdma 35114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-riotaBAD 32278
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-ot 4002  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6972  df-undef 7019  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-mulr 15164  df-sca 15166  df-vsca 15167  df-0g 15300  df-mre 15444  df-mrc 15445  df-acs 15447  df-preset 16125  df-poset 16143  df-plt 16156  df-lub 16172  df-glb 16173  df-join 16174  df-meet 16175  df-p0 16237  df-p1 16238  df-lat 16244  df-clat 16306  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-submnd 16535  df-grp 16625  df-minusg 16626  df-sbg 16627  df-subg 16766  df-cntz 16923  df-oppg 16949  df-lsm 17229  df-cmn 17373  df-abl 17374  df-mgp 17665  df-ur 17677  df-ring 17723  df-oppr 17792  df-dvdsr 17810  df-unit 17811  df-invr 17841  df-dvr 17852  df-drng 17918  df-lmod 18034  df-lss 18097  df-lsp 18136  df-lvec 18267  df-lsatoms 32295  df-lshyp 32296  df-lcv 32338  df-lfl 32377  df-lkr 32405  df-ldual 32443  df-oposet 32495  df-ol 32497  df-oml 32498  df-covers 32585  df-ats 32586  df-atl 32617  df-cvlat 32641  df-hlat 32670  df-llines 32816  df-lplanes 32817  df-lvols 32818  df-lines 32819  df-psubsp 32821  df-pmap 32822  df-padd 33114  df-lhyp 33306  df-laut 33307  df-ldil 33422  df-ltrn 33423  df-trl 33478  df-tgrp 34063  df-tendo 34075  df-edring 34077  df-dveca 34323  df-disoa 34350  df-dvech 34400  df-dib 34460  df-dic 34494  df-dih 34550  df-doch 34669  df-djh 34716  df-lcdual 34908  df-mapd 34946  df-hvmap 35078  df-hdmap1 35115  df-hdmap 35116
This theorem is referenced by:  hdmapf1oN  35189  hgmap11  35226
  Copyright terms: Public domain W3C validator