Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap11 Structured version   Unicode version

Theorem hdmap11 35854
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4, aS=bS iff a=b in their notation (S = sigma). The sigma map is one-to-one. (Contributed by NM, 26-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap12d.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap12d.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap12d.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap12d.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmap12d.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap12d.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hdmap12d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmap11  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  =  ( S `  Y )  <-> 
X  =  Y ) )

Proof of Theorem hdmap11
StepHypRef Expression
1 hdmap12d.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap12d.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap12d.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( -g `  U )  =  (
-g `  U )
5 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( (LCDual `  K ) `  W
)  =  ( (LCDual `  K ) `  W
)
6 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( -g `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)  =  ( -g `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)
7 hdmap12d.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
8 hdmap12d.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 hdmap12d.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 hdmap12d.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hdmapsub 35853 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  ( X ( -g `  U
) Y ) )  =  ( ( S `
 X ) (
-g `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) ( S `
 Y ) ) )
1211eqeq1d 2456 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( X ( -g `  U
) Y ) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W ) )  <->  ( ( S `  X )
( -g `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) ( S `
 Y ) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W ) ) ) )
13 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
14 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0g
`  ( (LCDual `  K ) `  W
) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W
) )
151, 2, 8dvhlmod 35113 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
163, 4lmodvsubcl 17116 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X ( -g `  U
) Y )  e.  V )
1715, 9, 10, 16syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X ( -g `  U ) Y )  e.  V )
181, 2, 3, 13, 5, 14, 7, 8, 17hdmapeq0 35850 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( X ( -g `  U
) Y ) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W ) )  <->  ( X
( -g `  U ) Y )  =  ( 0g `  U ) ) )
191, 5, 8lcdlmod 35595 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (LCDual `  K
) `  W )  e.  LMod )
20 lmodgrp 17081 . . . . 5  |-  ( ( (LCDual `  K ) `  W )  e.  LMod  -> 
( (LCDual `  K
) `  W )  e.  Grp )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (LCDual `  K
) `  W )  e.  Grp )
22 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)
231, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 9hdmapcl 35836 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  X
)  e.  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
241, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 10hdmapcl 35836 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  Y
)  e.  ( Base `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
2522, 14, 6grpsubeq0 15734 . . . 4  |-  ( ( ( (LCDual `  K
) `  W )  e.  Grp  /\  ( S `
 X )  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) )  /\  ( S `  Y )  e.  ( Base `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) )  ->  ( ( ( S `  X ) ( -g `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) ( S `  Y ) )  =  ( 0g
`  ( (LCDual `  K ) `  W
) )  <->  ( S `  X )  =  ( S `  Y ) ) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 X ) (
-g `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) ( S `
 Y ) )  =  ( 0g `  ( (LCDual `  K ) `  W ) )  <->  ( S `  X )  =  ( S `  Y ) ) )
2712, 18, 263bitr3rd 284 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  =  ( S `  Y )  <-> 
( X ( -g `  U ) Y )  =  ( 0g `  U ) ) )
28 lmodgrp 17081 . . . 4  |-  ( U  e.  LMod  ->  U  e. 
Grp )
2915, 28syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  Grp )
303, 13, 4grpsubeq0 15734 . . 3  |-  ( ( U  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( X (
-g `  U ) Y )  =  ( 0g `  U )  <-> 
X  =  Y ) )
3129, 9, 10, 30syl3anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X (
-g `  U ) Y )  =  ( 0g `  U )  <-> 
X  =  Y ) )
3227, 31bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X )  =  ( S `  Y )  <-> 
X  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   0gc0g 14500   Grpcgrp 15532   -gcsg 15535   LModclmod 17074   HLchlt 33353   LHypclh 33986   DVecHcdvh 35081  LCDualclcd 35589  HDMapchdma 35796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-riotaBAD 32962
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-undef 6905  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-0g 14502  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-poset 15238  df-plt 15250  df-lub 15266  df-glb 15267  df-join 15268  df-meet 15269  df-p0 15331  df-p1 15332  df-lat 15338  df-clat 15400  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-subg 15800  df-cntz 15957  df-oppg 15983  df-lsm 16259  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-oppr 16841  df-dvdsr 16859  df-unit 16860  df-invr 16890  df-dvr 16901  df-drng 16960  df-lmod 17076  df-lss 17140  df-lsp 17179  df-lvec 17310  df-lsatoms 32979  df-lshyp 32980  df-lcv 33022  df-lfl 33061  df-lkr 33089  df-ldual 33127  df-oposet 33179  df-ol 33181  df-oml 33182  df-covers 33269  df-ats 33270  df-atl 33301  df-cvlat 33325  df-hlat 33354  df-llines 33500  df-lplanes 33501  df-lvols 33502  df-lines 33503  df-psubsp 33505  df-pmap 33506  df-padd 33798  df-lhyp 33990  df-laut 33991  df-ldil 34106  df-ltrn 34107  df-trl 34161  df-tgrp 34745  df-tendo 34757  df-edring 34759  df-dveca 35005  df-disoa 35032  df-dvech 35082  df-dib 35142  df-dic 35176  df-dih 35232  df-doch 35351  df-djh 35398  df-lcdual 35590  df-mapd 35628  df-hvmap 35760  df-hdmap1 35797  df-hdmap 35798
This theorem is referenced by:  hdmapf1oN  35871  hgmap11  35908
  Copyright terms: Public domain W3C validator