Theorem hdmap10lem 36514

Description: Lemma for hdmap10 36515. (Contributed by NM, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap10.h	|- H = ( LHyp ` K )
hdmap10.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
hdmap10.v	|- V = ( Base ` U )
hdmap10.n	|- N = ( LSpan ` U )
hdmap10.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
hdmap10.l	|- L = ( LSpan ` C )
hdmap10.m	|- M = ( (mapd ` K ) ` W )
hdmap10.s	|- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
hdmap10.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
hdmap10.e	|- E = <. ( _I |` ( Base ` K ) ) , ( _I |` ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) >.
hdmap10.o	|- .0. = ( 0g ` U )
hdmap10.d	|- D = ( Base ` C )
hdmap10.j	|- J = ( (HVMap ` K ) ` W )
hdmap10.i	|- I = ( (HDMap1 ` K ) ` W )
hdmap10lem.t	|- ( ph -> T e. ( V \ { .0. } ) )

Assertion

Ref	Expression
hdmap10lem	|- ( ph -> ( M ` ( N ` { T } ) ) = ( L ` { ( S ` T ) } ) )

Proof of Theorem hdmap10lem

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap10.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
2		hdmap10.u	. . 3 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3		hdmap10.v	. . 3 |- V = ( Base ` U )
4		hdmap10.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` U )
5		hdmap10.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
6		eqid 2460	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
7		eqid 2460	. . . . 5 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8		hdmap10.o	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` U )
9		hdmap10.e	. . . . 5 |- E = <. ( _I |` ( Base ` K ) ) , ( _I |` ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) >.
10	1, 6, 7, 2, 3, 8, 9, 5	dvheveccl 35784	. . . 4 |- ( ph -> E e. ( V \ { .0. } ) )
11	10	eldifad 3481	. . 3 |- ( ph -> E e. V )
12		hdmap10lem.t	. . . 4 |- ( ph -> T e. ( V \ { .0. } ) )
13	12	eldifad 3481	. . 3 |- ( ph -> T e. V )
14	1, 2, 3, 4, 5, 11, 13	dvh3dim 36118	. 2 |- ( ph -> E. x e. V -. x e. ( N ` { E , T } ) )
15		hdmap10.c	. . . . . . 7 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
16		hdmap10.d	. . . . . . 7 |- D = ( Base ` C )
17		hdmap10.j	. . . . . . 7 |- J = ( (HVMap ` K ) ` W )
18		hdmap10.i	. . . . . . 7 |- I = ( (HDMap1 ` K ) ` W )
19		hdmap10.s	. . . . . . 7 |- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
20	5	3ad2ant1 1012	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
21	13	3ad2ant1 1012	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> T e. V )
22		simp2 992	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> x e. V )
23		eqid 2460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
24	1, 2, 5	dvhlmod 35782	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U e. LMod )
25	3, 23, 4, 24, 11, 13	lspprcl 17400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` { E , T } ) e. ( LSubSp ` U ) )
26	3, 4, 24, 11, 13	lspprid1 17419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E e. ( N ` { E , T } ) )
27	23, 4, 24, 25, 26	lspsnel5a 17418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N ` { E } ) C_ ( N ` { E , T } ) )
28	3, 4, 24, 11, 13	lspprid2 17420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. ( N ` { E , T } ) )
29	23, 4, 24, 25, 28	lspsnel5a 17418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N ` { T } ) C_ ( N ` { E , T } ) )
30	27, 29	unssd 3673	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) C_ ( N ` { E , T } ) )
31	30	sseld 3496	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) -> x e. ( N ` { E , T } ) ) )
32	31	con3dimp 441	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> -. x e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) )
33	32	3adant2 1010	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> -. x e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) )
34	1, 9, 2, 3, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 33	hdmapval2 36507	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( S ` T ) = ( I ` <. x , ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) , T >. ) )
35	34	eqcomd 2468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( I ` <. x , ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) , T >. ) = ( S ` T ) )
36		eqid 2460	. . . . . 6 |- ( -g ` U ) = ( -g ` U )
37		eqid 2460	. . . . . 6 |- ( -g ` C ) = ( -g ` C )
38		hdmap10.l	. . . . . 6 |- L = ( LSpan ` C )
39		hdmap10.m	. . . . . 6 |- M = ( (mapd ` K ) ` W )
40	24	3ad2ant1 1012	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> U e. LMod )
41	25	3ad2ant1 1012	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( N ` { E , T } ) e. ( LSubSp ` U ) )
42		simp3 993	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> -. x e. ( N ` { E , T } ) )
43	3, 8, 23, 40, 41, 22, 42	lssneln0 17374	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> x e. ( V \ { .0. } ) )
44		eqid 2460	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` C ) = ( 0g ` C )
45	1, 2, 3, 8, 15, 16, 44, 17, 5, 10	hvmapcl2 36438	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( J ` E ) e. ( D \ { ( 0g ` C ) } ) )
46	45	eldifad 3481	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J ` E ) e. D )
47	46	3ad2ant1 1012	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( J ` E ) e. D )
48	1, 2, 3, 8, 4, 15, 38, 39, 17, 5, 10	mapdhvmap 36441	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { E } ) ) = ( L ` { ( J ` E ) } ) )
49	48	3ad2ant1 1012	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( M ` ( N ` { E } ) ) = ( L ` { ( J ` E ) } ) )
50	1, 2, 5	dvhlvec 35781	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. LVec )
51	50	3ad2ant1 1012	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> U e. LVec )
52	11	3ad2ant1 1012	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> E e. V )
53	3, 4, 51, 22, 52, 21, 42	lspindpi 17554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( ( N ` { x } ) =/= ( N ` { E } ) /\ ( N ` { x } ) =/= ( N ` { T } ) ) )
54	53	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( N ` { x } ) =/= ( N ` { E } ) )
55	54	necomd 2731	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( N ` { E } ) =/= ( N ` { x } ) )
56	10	3ad2ant1 1012	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> E e. ( V \ { .0. } ) )
57	1, 2, 3, 8, 4, 15, 16, 38, 39, 18, 20, 47, 49, 55, 56, 22	hdmap1cl 36477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) e. D )
58	12	3ad2ant1 1012	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> T e. ( V \ { .0. } ) )
59	1, 2, 3, 15, 16, 19, 5, 13	hdmapcl 36505	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S ` T ) e. D )
60	59	3ad2ant1 1012	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( S ` T ) e. D )
61	53	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( N ` { x } ) =/= ( N ` { T } ) )
62		eqid 2460	. . . . . . . 8 |- ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) = ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. )
63	1, 2, 3, 36, 8, 4, 15, 16, 37, 38, 39, 18, 20, 56, 47, 43, 57, 55, 49	hdmap1eq 36474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) = ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) <-> ( ( M ` ( N ` { x } ) ) = ( L ` { ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) } ) /\ ( M ` ( N ` { ( E ( -g ` U ) x ) } ) ) = ( L ` { ( ( J ` E ) ( -g ` C ) ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) ) } ) ) ) )
64	62, 63	mpbii 211	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( ( M ` ( N ` { x } ) ) = ( L ` { ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) } ) /\ ( M ` ( N ` { ( E ( -g ` U ) x ) } ) ) = ( L ` { ( ( J ` E ) ( -g ` C ) ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) ) } ) ) )
65	64	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( M ` ( N ` { x } ) ) = ( L ` { ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) } ) )
66	1, 2, 3, 36, 8, 4, 15, 16, 37, 38, 39, 18, 20, 43, 57, 58, 60, 61, 65	hdmap1eq 36474	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( ( I ` <. x , ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) , T >. ) = ( S ` T ) <-> ( ( M ` ( N ` { T } ) ) = ( L ` { ( S ` T ) } ) /\ ( M ` ( N ` { ( x ( -g ` U ) T ) } ) ) = ( L ` { ( ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) ( -g ` C ) ( S ` T ) ) } ) ) ) )
67	35, 66	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( ( M ` ( N ` { T } ) ) = ( L ` { ( S ` T ) } ) /\ ( M ` ( N ` { ( x ( -g ` U ) T ) } ) ) = ( L ` { ( ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) ( -g ` C ) ( S ` T ) ) } ) ) )
68	67	simpld 459	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( M ` ( N ` { T } ) ) = ( L ` { ( S ` T ) } ) )
69	68	rexlimdv3a 2950	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. V -. x e. ( N ` { E , T } ) -> ( M ` ( N ` { T } ) ) = ( L ` { ( S ` T ) } ) ) )
70	14, 69	mpd 15	1 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { T } ) ) = ( L ` { ( S ` T ) } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2655   E.wrex 2808   \ cdif 3466   u. cun 3467   {csn 4020   {cpr 4022   <.cop 4026   <.cotp 4028   _I cid 4783   |` cres 4994   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   0gc0g 14684   -gcsg 15719   LModclmod 17288   LSubSpclss 17354   LSpanclspn 17393   LVecclvec 17524   HLchlt 34022   LHypclh 34655   LTrncltrn 34772   DVecHcdvh 35750  LCDualclcd 36258  mapdcmpd 36296  HVMapchvm 36428  HDMap1chdma1 36464  HDMapchdma 36465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 33631

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-ot 4029  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-undef 6992  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-0g 14686  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-cntz 16143  df-oppg 16169  df-lsm 16445  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-drng 17174  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-lvec 17525  df-lsatoms 33648  df-lshyp 33649  df-lcv 33691  df-lfl 33730  df-lkr 33758  df-ldual 33796  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171  df-lines 34172  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776  df-trl 34830  df-tgrp 35414  df-tendo 35426  df-edring 35428  df-dveca 35674  df-disoa 35701  df-dvech 35751  df-dib 35811  df-dic 35845  df-dih 35901  df-doch 36020  df-djh 36067  df-lcdual 36259  df-mapd 36297  df-hvmap 36429  df-hdmap1 36466  df-hdmap 36467

This theorem is referenced by:  hdmap10  36515