Theorem hdmap10lem 35404

Description: Lemma for hdmap10 35405. (Contributed by NM, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap10.h	|- H = ( LHyp ` K )
hdmap10.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
hdmap10.v	|- V = ( Base ` U )
hdmap10.n	|- N = ( LSpan ` U )
hdmap10.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
hdmap10.l	|- L = ( LSpan ` C )
hdmap10.m	|- M = ( (mapd ` K ) ` W )
hdmap10.s	|- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
hdmap10.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
hdmap10.e	|- E = <. ( _I |` ( Base ` K ) ) , ( _I |` ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) >.
hdmap10.o	|- .0. = ( 0g ` U )
hdmap10.d	|- D = ( Base ` C )
hdmap10.j	|- J = ( (HVMap ` K ) ` W )
hdmap10.i	|- I = ( (HDMap1 ` K ) ` W )
hdmap10lem.t	|- ( ph -> T e. ( V \ { .0. } ) )

Assertion

Ref	Expression
hdmap10lem	|- ( ph -> ( M ` ( N ` { T } ) ) = ( L ` { ( S ` T ) } ) )

Proof of Theorem hdmap10lem

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap10.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
2		hdmap10.u	. . 3 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3		hdmap10.v	. . 3 |- V = ( Base ` U )
4		hdmap10.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` U )
5		hdmap10.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
6		eqid 2450	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
7		eqid 2450	. . . . 5 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8		hdmap10.o	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` U )
9		hdmap10.e	. . . . 5 |- E = <. ( _I |` ( Base ` K ) ) , ( _I |` ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) >.
10	1, 6, 7, 2, 3, 8, 9, 5	dvheveccl 34674	. . . 4 |- ( ph -> E e. ( V \ { .0. } ) )
11	10	eldifad 3415	. . 3 |- ( ph -> E e. V )
12		hdmap10lem.t	. . . 4 |- ( ph -> T e. ( V \ { .0. } ) )
13	12	eldifad 3415	. . 3 |- ( ph -> T e. V )
14	1, 2, 3, 4, 5, 11, 13	dvh3dim 35008	. 2 |- ( ph -> E. x e. V -. x e. ( N ` { E , T } ) )
15		hdmap10.c	. . . . . . 7 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
16		hdmap10.d	. . . . . . 7 |- D = ( Base ` C )
17		hdmap10.j	. . . . . . 7 |- J = ( (HVMap ` K ) ` W )
18		hdmap10.i	. . . . . . 7 |- I = ( (HDMap1 ` K ) ` W )
19		hdmap10.s	. . . . . . 7 |- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
20	5	3ad2ant1 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
21	13	3ad2ant1 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> T e. V )
22		simp2 1008	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> x e. V )
23		eqid 2450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
24	1, 2, 5	dvhlmod 34672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U e. LMod )
25	3, 23, 4, 24, 11, 13	lspprcl 18194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` { E , T } ) e. ( LSubSp ` U ) )
26	3, 4, 24, 11, 13	lspprid1 18213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E e. ( N ` { E , T } ) )
27	23, 4, 24, 25, 26	lspsnel5a 18212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N ` { E } ) C_ ( N ` { E , T } ) )
28	3, 4, 24, 11, 13	lspprid2 18214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. ( N ` { E , T } ) )
29	23, 4, 24, 25, 28	lspsnel5a 18212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N ` { T } ) C_ ( N ` { E , T } ) )
30	27, 29	unssd 3609	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) C_ ( N ` { E , T } ) )
31	30	sseld 3430	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) -> x e. ( N ` { E , T } ) ) )
32	31	con3dimp 443	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> -. x e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) )
33	32	3adant2 1026	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> -. x e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) )
34	1, 9, 2, 3, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 33	hdmapval2 35397	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( S ` T ) = ( I ` <. x , ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) , T >. ) )
35	34	eqcomd 2456	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( I ` <. x , ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) , T >. ) = ( S ` T ) )
36		eqid 2450	. . . . . 6 |- ( -g ` U ) = ( -g ` U )
37		eqid 2450	. . . . . 6 |- ( -g ` C ) = ( -g ` C )
38		hdmap10.l	. . . . . 6 |- L = ( LSpan ` C )
39		hdmap10.m	. . . . . 6 |- M = ( (mapd ` K ) ` W )
40	24	3ad2ant1 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> U e. LMod )
41	25	3ad2ant1 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( N ` { E , T } ) e. ( LSubSp ` U ) )
42		simp3 1009	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> -. x e. ( N ` { E , T } ) )
43	3, 8, 23, 40, 41, 22, 42	lssneln0 18168	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> x e. ( V \ { .0. } ) )
44		eqid 2450	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` C ) = ( 0g ` C )
45	1, 2, 3, 8, 15, 16, 44, 17, 5, 10	hvmapcl2 35328	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( J ` E ) e. ( D \ { ( 0g ` C ) } ) )
46	45	eldifad 3415	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J ` E ) e. D )
47	46	3ad2ant1 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( J ` E ) e. D )
48	1, 2, 3, 8, 4, 15, 38, 39, 17, 5, 10	mapdhvmap 35331	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { E } ) ) = ( L ` { ( J ` E ) } ) )
49	48	3ad2ant1 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( M ` ( N ` { E } ) ) = ( L ` { ( J ` E ) } ) )
50	1, 2, 5	dvhlvec 34671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. LVec )
51	50	3ad2ant1 1028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> U e. LVec )
52	11	3ad2ant1 1028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> E e. V )
53	3, 4, 51, 22, 52, 21, 42	lspindpi 18348	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( ( N ` { x } ) =/= ( N ` { E } ) /\ ( N ` { x } ) =/= ( N ` { T } ) ) )
54	53	simpld 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( N ` { x } ) =/= ( N ` { E } ) )
55	54	necomd 2678	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( N ` { E } ) =/= ( N ` { x } ) )
56	10	3ad2ant1 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> E e. ( V \ { .0. } ) )
57	1, 2, 3, 8, 4, 15, 16, 38, 39, 18, 20, 47, 49, 55, 56, 22	hdmap1cl 35367	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) e. D )
58	12	3ad2ant1 1028	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> T e. ( V \ { .0. } ) )
59	1, 2, 3, 15, 16, 19, 5, 13	hdmapcl 35395	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S ` T ) e. D )
60	59	3ad2ant1 1028	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( S ` T ) e. D )
61	53	simprd 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( N ` { x } ) =/= ( N ` { T } ) )
62		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) = ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. )
63	1, 2, 3, 36, 8, 4, 15, 16, 37, 38, 39, 18, 20, 56, 47, 43, 57, 55, 49	hdmap1eq 35364	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) = ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) <-> ( ( M ` ( N ` { x } ) ) = ( L ` { ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) } ) /\ ( M ` ( N ` { ( E ( -g ` U ) x ) } ) ) = ( L ` { ( ( J ` E ) ( -g ` C ) ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) ) } ) ) ) )
64	62, 63	mpbii 215	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( ( M ` ( N ` { x } ) ) = ( L ` { ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) } ) /\ ( M ` ( N ` { ( E ( -g ` U ) x ) } ) ) = ( L ` { ( ( J ` E ) ( -g ` C ) ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) ) } ) ) )
65	64	simpld 461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( M ` ( N ` { x } ) ) = ( L ` { ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) } ) )
66	1, 2, 3, 36, 8, 4, 15, 16, 37, 38, 39, 18, 20, 43, 57, 58, 60, 61, 65	hdmap1eq 35364	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( ( I ` <. x , ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) , T >. ) = ( S ` T ) <-> ( ( M ` ( N ` { T } ) ) = ( L ` { ( S ` T ) } ) /\ ( M ` ( N ` { ( x ( -g ` U ) T ) } ) ) = ( L ` { ( ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) ( -g ` C ) ( S ` T ) ) } ) ) ) )
67	35, 66	mpbid 214	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( ( M ` ( N ` { T } ) ) = ( L ` { ( S ` T ) } ) /\ ( M ` ( N ` { ( x ( -g ` U ) T ) } ) ) = ( L ` { ( ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) ( -g ` C ) ( S ` T ) ) } ) ) )
68	67	simpld 461	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. V /\ -. x e. ( N ` { E , T } ) ) -> ( M ` ( N ` { T } ) ) = ( L ` { ( S ` T ) } ) )
69	68	rexlimdv3a 2880	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. V -. x e. ( N ` { E , T } ) -> ( M ` ( N ` { T } ) ) = ( L ` { ( S ` T ) } ) ) )
70	14, 69	mpd 15	1 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { T } ) ) = ( L ` { ( S ` T ) } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   E.wrex 2737   \ cdif 3400   u. cun 3401   {csn 3967   {cpr 3969   <.cop 3973   <.cotp 3975   _I cid 4743   |` cres 4835   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Basecbs 15114   0gc0g 15331   -gcsg 16664   LModclmod 18084   LSubSpclss 18148   LSpanclspn 18187   LVecclvec 18318   HLchlt 32910   LHypclh 33543   LTrncltrn 33660   DVecHcdvh 34640  LCDualclcd 35148  mapdcmpd 35186  HVMapchvm 35318  HDMap1chdma1 35354  HDMapchdma 35355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-riotaBAD 32519

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-ot 3976  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-tpos 6970  df-undef 7017  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-0g 15333  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-preset 16166  df-poset 16184  df-plt 16197  df-lub 16213  df-glb 16214  df-join 16215  df-meet 16216  df-p0 16278  df-p1 16279  df-lat 16285  df-clat 16347  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-subg 16807  df-cntz 16964  df-oppg 16990  df-lsm 17281  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-drng 17970  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-lvec 18319  df-lsatoms 32536  df-lshyp 32537  df-lcv 32579  df-lfl 32618  df-lkr 32646  df-ldual 32684  df-oposet 32736  df-ol 32738  df-oml 32739  df-covers 32826  df-ats 32827  df-atl 32858  df-cvlat 32882  df-hlat 32911  df-llines 33057  df-lplanes 33058  df-lvols 33059  df-lines 33060  df-psubsp 33062  df-pmap 33063  df-padd 33355  df-lhyp 33547  df-laut 33548  df-ldil 33663  df-ltrn 33664  df-trl 33719  df-tgrp 34304  df-tendo 34316  df-edring 34318  df-dveca 34564  df-disoa 34591  df-dvech 34641  df-dib 34701  df-dic 34735  df-dih 34791  df-doch 34910  df-djh 34957  df-lcdual 35149  df-mapd 35187  df-hvmap 35319  df-hdmap1 35356  df-hdmap 35357

This theorem is referenced by:  hdmap10  35405