Theorem hcau2 10688

Description: Alternate representation of a Hilbert space Cauchy sequence.

Assertion

Ref	Expression
hcau2	|- (F e. Cauchy <-> (F:NN-->~H /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((F` k) -h (F` j))) < x))))

Distinct variable group:   j,k,x,F

Proof of Theorem hcau2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hcau 10684	. 2 |- (F e. Cauchy <-> (F:NN-->~H /\ A.x e. RR (0 < x -> E.m e. NN A.j e. NN A.k e. NN ((m <_ j /\ m <_ k) -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) < x))))
2		normsub 10643	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` j) e. ~H /\ (F` k) e. ~H) -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) = (normh` ((F` k) -h (F` j))))
3		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F:NN-->~H /\ j e. NN) -> (F` j) e. ~H)
4		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F:NN-->~H /\ k e. NN) -> (F` k) e. ~H)
5	2, 3, 4	syl2an 503	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F:NN-->~H /\ j e. NN) /\ (F:NN-->~H /\ k e. NN)) -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) = (normh` ((F` k) -h (F` j))))
6	5	anandis 570	. . . . . . . . . . 11 |- ((F:NN-->~H /\ (j e. NN /\ k e. NN)) -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) = (normh` ((F` k) -h (F` j))))
7	6	anassrs 489	. . . . . . . . . 10 |- (((F:NN-->~H /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) = (normh` ((F` k) -h (F` j))))
8	7	breq1d 3348	. . . . . . . . 9 |- (((F:NN-->~H /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> ((normh` ((F` j) -h (F` k))) < x <-> (normh` ((F` k) -h (F` j))) < x))
9	8	imbi2d 674	. . . . . . . 8 |- (((F:NN-->~H /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> ((j <_ k -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) < x) <-> (j <_ k -> (normh` ((F` k) -h (F` j))) < x)))
10	9	ralbidva 2119	. . . . . . 7 |- ((F:NN-->~H /\ j e. NN) -> (A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) < x) <-> A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((F` k) -h (F` j))) < x)))
11	10	rexbidva 2120	. . . . . 6 |- (F:NN-->~H -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) < x) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((F` k) -h (F` j))) < x)))
12	11	imbi2d 674	. . . . 5 |- (F:NN-->~H -> ((0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) < x)) <-> (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((F` k) -h (F` j))) < x))))
13	12	ralbidv 2123	. . . 4 |- (F:NN-->~H -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((F` k) -h (F` j))) < x))))
14		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (k = m -> (F` k) = (F` m))
15	14	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (k = m -> ((F` j) -h (F` k)) = ((F` j) -h (F` m)))
16	15	fveq2d 4685	. . . . . 6 |- (k = m -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) = (normh` ((F` j) -h (F` m))))
17	16	breq1d 3348	. . . . 5 |- (k = m -> ((normh` ((F` j) -h (F` k))) < x <-> (normh` ((F` j) -h (F` m))) < x))
18		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (j = k -> (F` j) = (F` k))
19	18	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- (j = k -> ((F` j) -h (F` m)) = ((F` k) -h (F` m)))
20	19	fveq2d 4685	. . . . . 6 |- (j = k -> (normh` ((F` j) -h (F` m))) = (normh` ((F` k) -h (F` m))))
21	20	breq1d 3348	. . . . 5 |- (j = k -> ((normh` ((F` j) -h (F` m))) < x <-> (normh` ((F` k) -h (F` m))) < x))
22		breq2 3342	. . . . . 6 |- (x = (y / 2) -> ((normh` ((F` j) -h (F` k))) < x <-> (normh` ((F` j) -h (F` k))) < (y / 2)))
23		breq2 3342	. . . . . 6 |- (x = (y / 2) -> ((normh` ((F` j) -h (F` m))) < x <-> (normh` ((F` j) -h (F` m))) < (y / 2)))
24	22, 23	anbi12d 690	. . . . 5 |- (x = (y / 2) -> (((normh` ((F` j) -h (F` k))) < x /\ (normh` ((F` j) -h (F` m))) < x) <-> ((normh` ((F` j) -h (F` k))) < (y / 2) /\ (normh` ((F` j) -h (F` m))) < (y / 2))))
25		breq2 3342	. . . . 5 |- (x = y -> ((normh` ((F` k) -h (F` m))) < x <-> (normh` ((F` k) -h (F` m))) < y))
26		hvsubcl 10519	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` j) e. ~H /\ (F` k) e. ~H) -> ((F` j) -h (F` k)) e. ~H)
27	26	ancoms 484	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F` k) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) -> ((F` j) -h (F` k)) e. ~H)
28		normcl 10624	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F` j) -h (F` k)) e. ~H -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) e. RR)
29	27, 28	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (((F` k) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) e. RR)
30	29	3adant2 895	. . . . . . . . . 10 |- (((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) e. RR)
31	30	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) /\ y e. RR) -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) e. RR)
32		hvsubcl 10519	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` j) e. ~H /\ (F` m) e. ~H) -> ((F` j) -h (F` m)) e. ~H)
33	32	ancoms 484	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) -> ((F` j) -h (F` m)) e. ~H)
34		normcl 10624	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F` j) -h (F` m)) e. ~H -> (normh` ((F` j) -h (F` m))) e. RR)
35	33, 34	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (((F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) -> (normh` ((F` j) -h (F` m))) e. RR)
36	35	3adant1 894	. . . . . . . . . 10 |- (((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) -> (normh` ((F` j) -h (F` m))) e. RR)
37	36	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) /\ y e. RR) -> (normh` ((F` j) -h (F` m))) e. RR)
38		simpr 350	. . . . . . . . 9 |- ((((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) /\ y e. RR) -> y e. RR)
39		lt2halves 7228	. . . . . . . . 9 |- (((normh` ((F` j) -h (F` k))) e. RR /\ (normh` ((F` j) -h (F` m))) e. RR /\ y e. RR) -> (((normh` ((F` j) -h (F` k))) < (y / 2) /\ (normh` ((F` j) -h (F` m))) < (y / 2)) -> ((normh` ((F` j) -h (F` k))) + (normh` ((F` j) -h (F` m)))) < y))
40	31, 37, 38, 39	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- ((((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) /\ y e. RR) -> (((normh` ((F` j) -h (F` k))) < (y / 2) /\ (normh` ((F` j) -h (F` m))) < (y / 2)) -> ((normh` ((F` j) -h (F` k))) + (normh` ((F` j) -h (F` m)))) < y))
41		norm3dif2 10651	. . . . . . . . . 10 |- (((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) -> (normh` ((F` k) -h (F` m))) <_ ((normh` ((F` j) -h (F` k))) + (normh` ((F` j) -h (F` m)))))
42	41	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) /\ y e. RR) -> (normh` ((F` k) -h (F` m))) <_ ((normh` ((F` j) -h (F` k))) + (normh` ((F` j) -h (F` m)))))
43		hvsubcl 10519	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H) -> ((F` k) -h (F` m)) e. ~H)
44		normcl 10624	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` k) -h (F` m)) e. ~H -> (normh` ((F` k) -h (F` m))) e. RR)
45	43, 44	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H) -> (normh` ((F` k) -h (F` m))) e. RR)
46	45	3adant3 896	. . . . . . . . . . 11 |- (((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) -> (normh` ((F` k) -h (F` m))) e. RR)
47	46	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) /\ y e. RR) -> (normh` ((F` k) -h (F` m))) e. RR)
48		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . 12 |- (((normh` ((F` j) -h (F` k))) e. RR /\ (normh` ((F` j) -h (F` m))) e. RR) -> ((normh` ((F` j) -h (F` k))) + (normh` ((F` j) -h (F` m)))) e. RR)
49	30, 36, 48	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- (((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) -> ((normh` ((F` j) -h (F` k))) + (normh` ((F` j) -h (F` m)))) e. RR)
50	49	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) /\ y e. RR) -> ((normh` ((F` j) -h (F` k))) + (normh` ((F` j) -h (F` m)))) e. RR)
51		lelttr 6693	. . . . . . . . . 10 |- (((normh` ((F` k) -h (F` m))) e. RR /\ ((normh` ((F` j) -h (F` k))) + (normh` ((F` j) -h (F` m)))) e. RR /\ y e. RR) -> (((normh` ((F` k) -h (F` m))) <_ ((normh` ((F` j) -h (F` k))) + (normh` ((F` j) -h (F` m)))) /\ ((normh` ((F` j) -h (F` k))) + (normh` ((F` j) -h (F` m)))) < y) -> (normh` ((F` k) -h (F` m))) < y))
52	47, 50, 38, 51	syl111anc 1100	. . . . . . . . 9 |- ((((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) /\ y e. RR) -> (((normh` ((F` k) -h (F` m))) <_ ((normh` ((F` j) -h (F` k))) + (normh` ((F` j) -h (F` m)))) /\ ((normh` ((F` j) -h (F` k))) + (normh` ((F` j) -h (F` m)))) < y) -> (normh` ((F` k) -h (F` m))) < y))
53	42, 52	mpand 765	. . . . . . . 8 |- ((((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) /\ y e. RR) -> (((normh` ((F` j) -h (F` k))) + (normh` ((F` j) -h (F` m)))) < y -> (normh` ((F` k) -h (F` m))) < y))
54	40, 53	syld 30	. . . . . . 7 |- ((((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H) /\ y e. RR) -> (((normh` ((F` j) -h (F` k))) < (y / 2) /\ (normh` ((F` j) -h (F` m))) < (y / 2)) -> (normh` ((F` k) -h (F` m))) < y))
55		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . 10 |- ((F:NN-->~H /\ m e. NN) -> (F` m) e. ~H)
56	4, 55, 3	3anim123i 1053	. . . . . . . . 9 |- (((F:NN-->~H /\ k e. NN) /\ (F:NN-->~H /\ m e. NN) /\ (F:NN-->~H /\ j e. NN)) -> ((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H))
57	56	3comr 1076	. . . . . . . 8 |- (((F:NN-->~H /\ j e. NN) /\ (F:NN-->~H /\ k e. NN) /\ (F:NN-->~H /\ m e. NN)) -> ((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H))
58	57	3anandis 1196	. . . . . . 7 |- ((F:NN-->~H /\ (j e. NN /\ k e. NN /\ m e. NN)) -> ((F` k) e. ~H /\ (F` m) e. ~H /\ (F` j) e. ~H))
59	54, 58	sylan 497	. . . . . 6 |- (((F:NN-->~H /\ (j e. NN /\ k e. NN /\ m e. NN)) /\ y e. RR) -> (((normh` ((F` j) -h (F` k))) < (y / 2) /\ (normh` ((F` j) -h (F` m))) < (y / 2)) -> (normh` ((F` k) -h (F` m))) < y))
60	59	an1rs 547	. . . . 5 |- (((F:NN-->~H /\ y e. RR) /\ (j e. NN /\ k e. NN /\ m e. NN)) -> (((normh` ((F` j) -h (F` k))) < (y / 2) /\ (normh` ((F` j) -h (F` m))) < (y / 2)) -> (normh` ((F` k) -h (F` m))) < y))
61		nnssz 7360	. . . . 5 |- NN C_ ZZ
62	17, 21, 24, 25, 60, 61	cau3i 8168	. . . 4 |- (F:NN-->~H -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.m e. NN A.j e. NN A.k e. NN ((m <_ j /\ m <_ k) -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) < x))))
63	13, 62	bitr3d 589	. . 3 |- (F:NN-->~H -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((F` k) -h (F` j))) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.m e. NN A.j e. NN A.k e. NN ((m <_ j /\ m <_ k) -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) < x))))
64	63	pm5.32i 707	. 2 |- ((F:NN-->~H /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((F` k) -h (F` j))) < x))) <-> (F:NN-->~H /\ A.x e. RR (0 < x -> E.m e. NN A.j e. NN A.k e. NN ((m <_ j /\ m <_ k) -> (normh` ((F` j) -h (F` k))) < x))))
65	1, 64	bitr4i 193	1 |- (F e. Cauchy <-> (F:NN-->~H /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((F` k) -h (F` j))) < x))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  2c2 7145  ~Hchil 10420   -h cmv 10424  normhcno 10426  Cauchyccau 10427

This theorem is referenced by:  hhcms 10705  hhsscms 10783

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hcau 10474

Copyright terms: Public domain