Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbtlem7 Structured version   Unicode version

Theorem hbtlem7 29484
Description: Functionality of leading coefficient ideal sequence. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
hbtlem.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
hbtlem.s  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
hbtlem7.t  |-  T  =  (LIdeal `  R )
Assertion
Ref Expression
hbtlem7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( S `  I ) : NN0 --> T )

Proof of Theorem hbtlem7
Dummy variables  i 
j  x  y  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) )  -> 
y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) )
21reximi 2826 . . . . . . . 8  |-  ( E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) )  ->  E. j  e.  I 
y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) )
32ss2abi 3427 . . . . . . 7  |-  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) }  C_  { y  |  E. j  e.  I  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) }
4 abrexexg 6555 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  U  ->  { y  |  E. j  e.  I  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) }  e.  _V )
5 ssexg 4441 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  |  E. j  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) } 
C_  { y  |  E. j  e.  I 
y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) }  /\  {
y  |  E. j  e.  I  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) }  e.  _V )  ->  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) }  e.  _V )
63, 4, 5sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( I  e.  U  ->  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) }  e.  _V )
76ralrimivw 2803 . . . . 5  |-  ( I  e.  U  ->  A. x  e.  NN0  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) }  e.  _V )
87adantl 466 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  A. x  e.  NN0  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) }  e.  _V )
9 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } )  =  ( x  e. 
NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } )
109fnmpt 5540 . . . 4  |-  ( A. x  e.  NN0  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) }  e.  _V  ->  ( x  e. 
NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } )  Fn  NN0 )
118, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } )  Fn  NN0 )
12 hbtlem.s . . . . . . 7  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
13 elex 2984 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
_V )
14 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (Poly1 `  r )  =  (Poly1 `  R ) )
15 hbtlem.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  =  (Poly1 `  R )
1614, 15syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (Poly1 `  r )  =  P )
1716fveq2d 5698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (LIdeal `  (Poly1 `  r ) )  =  (LIdeal `  P
) )
18 hbtlem.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  (LIdeal `  P )
1917, 18syl6eqr 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (LIdeal `  (Poly1 `  r ) )  =  U )
20 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  R  ->  ( deg1  `  r )  =  ( deg1  `  R ) )
2120fveq1d 5696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  R  ->  (
( deg1  `
 r ) `  j )  =  ( ( deg1  `  R ) `  j ) )
2221breq1d 4305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( deg1  `  r ) `  j )  <_  x  <->  ( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x
) )
2322anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( ( deg1  `  r
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) ) )
2423rexbidv 2739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  ( E. j  e.  i 
( ( ( deg1  `  r
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) )  <->  E. j  e.  i  ( (
( deg1  `
 R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) ) )
2524abbidv 2560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  r ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) }  =  { y  |  E. j  e.  i  (
( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) } )
2625mpteq2dv 4382 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  r ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } )  =  ( x  e. 
NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } ) )
2719, 26mpteq12dv 4373 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
i  e.  (LIdeal `  (Poly1 `  r ) )  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  r ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) )  =  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) ) )
28 df-ldgis 29481 . . . . . . . . 9  |- ldgIdlSeq  =  ( r  e.  _V  |->  ( i  e.  (LIdeal `  (Poly1 `  r ) )  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  r ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) ) )
29 fvex 5704 . . . . . . . . . . 11  |-  (LIdeal `  P )  e.  _V
3018, 29eqeltri 2513 . . . . . . . . . 10  |-  U  e. 
_V
3130mptex 5951 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) )  e.  _V
3227, 28, 31fvmpt 5777 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  _V  ->  (ldgIdlSeq `  R )  =  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) ) )
3313, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ldgIdlSeq `  R
)  =  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) ) )
3412, 33syl5eq 2487 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  S  =  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  (
( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) } ) ) )
3534fveq1d 5696 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( S `
 I )  =  ( ( i  e.  U  |->  ( x  e. 
NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } ) ) `  I
) )
36 rexeq 2921 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  ( E. j  e.  i 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) )  <->  E. j  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) ) )
3736abbidv 2560 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) }  =  { y  |  E. j  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) } )
3837mpteq2dv 4382 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } )  =  ( x  e. 
NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } ) )
39 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) )  =  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) )
40 nn0ex 10588 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
4140mptex 5951 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } )  e.  _V
4238, 39, 41fvmpt 5777 . . . . 5  |-  ( I  e.  U  ->  (
( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  (
( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) } ) ) `  I
)  =  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) )
4335, 42sylan9eq 2495 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( S `  I )  =  ( x  e. 
NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } ) )
4443fneq1d 5504 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
( S `  I
)  Fn  NN0  <->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } )  Fn  NN0 )
)
4511, 44mpbird 232 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( S `  I )  Fn  NN0 )
46 hbtlem7.t . . . . 5  |-  T  =  (LIdeal `  R )
4715, 18, 12, 46hbtlem2 29483 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  x )  e.  T )
48473expa 1187 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( S `
 I ) `  x )  e.  T
)
4948ralrimiva 2802 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  A. x  e.  NN0  ( ( S `
 I ) `  x )  e.  T
)
50 ffnfv 5872 . 2  |-  ( ( S `  I ) : NN0 --> T  <->  ( ( S `  I )  Fn  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( ( S `
 I ) `  x )  e.  T
) )
5145, 49, 50sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( S `  I ) : NN0 --> T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975    C_ wss 3331   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421    <_ cle 9422   NN0cn0 10582   Ringcrg 16648  LIdealclidl 17254  Poly1cpl1 17636  coe1cco1 17637   deg1 cdg1 21526  ldgIdlSeqcldgis 29480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-ofr 6324  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-seq 11810  df-hash 12107  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-mhm 15467  df-submnd 15468  df-grp 15548  df-minusg 15549  df-sbg 15550  df-mulg 15551  df-subg 15681  df-ghm 15748  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-abl 16283  df-mgp 16595  df-ur 16607  df-rng 16650  df-cring 16651  df-subrg 16866  df-lmod 16953  df-lss 17017  df-sra 17256  df-rgmod 17257  df-lidl 17258  df-ascl 17389  df-psr 17426  df-mvr 17427  df-mpl 17428  df-opsr 17430  df-psr1 17639  df-vr1 17640  df-ply1 17641  df-coe1 17642  df-cnfld 17822  df-mdeg 21527  df-deg1 21528  df-ldgis 29481
This theorem is referenced by:  hbt  29489
  Copyright terms: Public domain W3C validator