Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbtlem7 Structured version   Unicode version

Theorem hbtlem7 31278
Description: Functionality of leading coefficient ideal sequence. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
hbtlem.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
hbtlem.s  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
hbtlem7.t  |-  T  =  (LIdeal `  R )
Assertion
Ref Expression
hbtlem7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( S `  I ) : NN0 --> T )

Proof of Theorem hbtlem7
Dummy variables  i 
j  x  y  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) )  -> 
y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) )
21reximi 2925 . . . . . . . 8  |-  ( E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) )  ->  E. j  e.  I 
y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) )
32ss2abi 3568 . . . . . . 7  |-  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) }  C_  { y  |  E. j  e.  I  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) }
4 abrexexg 6774 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  U  ->  { y  |  E. j  e.  I  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) }  e.  _V )
5 ssexg 4602 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  |  E. j  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) } 
C_  { y  |  E. j  e.  I 
y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) }  /\  {
y  |  E. j  e.  I  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) }  e.  _V )  ->  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) }  e.  _V )
63, 4, 5sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( I  e.  U  ->  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) }  e.  _V )
76ralrimivw 2872 . . . . 5  |-  ( I  e.  U  ->  A. x  e.  NN0  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) }  e.  _V )
87adantl 466 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  A. x  e.  NN0  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) }  e.  _V )
9 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } )  =  ( x  e. 
NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } )
109fnmpt 5713 . . . 4  |-  ( A. x  e.  NN0  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) }  e.  _V  ->  ( x  e. 
NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } )  Fn  NN0 )
118, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } )  Fn  NN0 )
12 hbtlem.s . . . . . . 7  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
13 elex 3118 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
_V )
14 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (Poly1 `  r )  =  (Poly1 `  R ) )
15 hbtlem.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  =  (Poly1 `  R )
1614, 15syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (Poly1 `  r )  =  P )
1716fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (LIdeal `  (Poly1 `  r ) )  =  (LIdeal `  P
) )
18 hbtlem.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  (LIdeal `  P )
1917, 18syl6eqr 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (LIdeal `  (Poly1 `  r ) )  =  U )
20 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  R  ->  ( deg1  `  r )  =  ( deg1  `  R ) )
2120fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  R  ->  (
( deg1  `
 r ) `  j )  =  ( ( deg1  `  R ) `  j ) )
2221breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( deg1  `  r ) `  j )  <_  x  <->  ( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x
) )
2322anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( ( deg1  `  r
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) ) )
2423rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  ( E. j  e.  i 
( ( ( deg1  `  r
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) )  <->  E. j  e.  i  ( (
( deg1  `
 R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) ) )
2524abbidv 2593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  r ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) }  =  { y  |  E. j  e.  i  (
( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) } )
2625mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  r ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } )  =  ( x  e. 
NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } ) )
2719, 26mpteq12dv 4535 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
i  e.  (LIdeal `  (Poly1 `  r ) )  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  r ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) )  =  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) ) )
28 df-ldgis 31275 . . . . . . . . 9  |- ldgIdlSeq  =  ( r  e.  _V  |->  ( i  e.  (LIdeal `  (Poly1 `  r ) )  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  r ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) ) )
29 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  (LIdeal `  P )  e.  _V
3018, 29eqeltri 2541 . . . . . . . . . 10  |-  U  e. 
_V
3130mptex 6144 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) )  e.  _V
3227, 28, 31fvmpt 5956 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  _V  ->  (ldgIdlSeq `  R )  =  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) ) )
3313, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ldgIdlSeq `  R
)  =  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) ) )
3412, 33syl5eq 2510 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  S  =  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  (
( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) } ) ) )
3534fveq1d 5874 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( S `
 I )  =  ( ( i  e.  U  |->  ( x  e. 
NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } ) ) `  I
) )
36 rexeq 3055 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  ( E. j  e.  i 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) )  <->  E. j  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) ) )
3736abbidv 2593 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) }  =  { y  |  E. j  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) } )
3837mpteq2dv 4544 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } )  =  ( x  e. 
NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } ) )
39 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) )  =  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) )
40 nn0ex 10822 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
4140mptex 6144 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } )  e.  _V
4238, 39, 41fvmpt 5956 . . . . 5  |-  ( I  e.  U  ->  (
( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  (
( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) } ) ) `  I
)  =  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) )
4335, 42sylan9eq 2518 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( S `  I )  =  ( x  e. 
NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } ) )
4443fneq1d 5677 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
( S `  I
)  Fn  NN0  <->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } )  Fn  NN0 )
)
4511, 44mpbird 232 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( S `  I )  Fn  NN0 )
46 hbtlem7.t . . . . 5  |-  T  =  (LIdeal `  R )
4715, 18, 12, 46hbtlem2 31277 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  x )  e.  T )
48473expa 1196 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( S `
 I ) `  x )  e.  T
)
4948ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  A. x  e.  NN0  ( ( S `
 I ) `  x )  e.  T
)
50 ffnfv 6058 . 2  |-  ( ( S `  I ) : NN0 --> T  <->  ( ( S `  I )  Fn  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( ( S `
 I ) `  x )  e.  T
) )
5145, 49, 50sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( S `  I ) : NN0 --> T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594    <_ cle 9646   NN0cn0 10816   Ringcrg 17325  LIdealclidl 17943  Poly1cpl1 18343  coe1cco1 18344   deg1 cdg1 22578  ldgIdlSeqcldgis 31274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-lidl 17947  df-ascl 18090  df-psr 18132  df-mvr 18133  df-mpl 18134  df-opsr 18136  df-psr1 18346  df-vr1 18347  df-ply1 18348  df-coe1 18349  df-cnfld 18548  df-mdeg 22579  df-deg1 22580  df-ldgis 31275
This theorem is referenced by:  hbt  31283
  Copyright terms: Public domain W3C validator