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Theorem hbtlem6 35455
Description: There is a finite set of polynomials matching any single stage of the image. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
hbtlem.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
hbtlem.s  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
hbtlem6.n  |-  N  =  (RSpan `  P )
hbtlem6.r  |-  ( ph  ->  R  e. LNoeR )
hbtlem6.i  |-  ( ph  ->  I  e.  U )
hbtlem6.x  |-  ( ph  ->  X  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
hbtlem6  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
)
Distinct variable groups:    ph, k    k, I    R, k    S, k   
k, X
Allowed substitution hints:    P( k)    U( k)    N( k)

Proof of Theorem hbtlem6
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem6.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e. LNoeR )
2 lnrring 35438 . . . . 5  |-  ( R  e. LNoeR  ->  R  e.  Ring )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 hbtlem6.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  U )
5 hbtlem6.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  NN0 )
6 hbtlem.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
7 hbtlem.u . . . . 5  |-  U  =  (LIdeal `  P )
8 hbtlem.s . . . . 5  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
9 eqid 2404 . . . . 5  |-  (LIdeal `  R )  =  (LIdeal `  R )
106, 7, 8, 9hbtlem2 35450 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )
)
113, 4, 5, 10syl3anc 1232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  I ) `  X
)  e.  (LIdeal `  R ) )
12 eqid 2404 . . . 4  |-  (RSpan `  R )  =  (RSpan `  R )
139, 12lnr2i 35442 . . 3  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  (
( S `  I
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )
)  ->  E. a  e.  ( ~P ( ( S `  I ) `
 X )  i^i 
Fin ) ( ( S `  I ) `
 X )  =  ( (RSpan `  R
) `  a )
)
141, 11, 13syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( ~P ( ( S `
 I ) `  X )  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  =  ( (RSpan `  R ) `  a ) )
15 elfpw 7858 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( ~P (
( S `  I
) `  X )  i^i  Fin )  <->  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )
16 fvex 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( (coe1 `  b ) `  X
)  e.  _V
17 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  =  ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)
1816, 17fnmpti 5694 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  Fn 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  Fn  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } )
20 simprl 758 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  a  C_  ( ( S `  I ) `  X
) )
21 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
226, 7, 8, 21hbtlem1 35449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  =  { d  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
231, 4, 5, 22syl3anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S `  I ) `  X
)  =  { d  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) } )
2417rnmpt 5071 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { d  |  E. b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } d  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }
25 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  b  ->  (
( deg1  `
 R ) `  c )  =  ( ( deg1  `  R ) `  b ) )
2625breq1d 4407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  b  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X  <->  ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X
) )
2726rexrab 3215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } d  =  ( (coe1 `  b ) `  X )  <->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) )
2827abbii 2538 . . . . . . . . . . 11  |-  { d  |  E. b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } d  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }  =  { d  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }
2924, 28eqtri 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { d  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }
3023, 29syl6eqr 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S `  I ) `  X
)  =  ran  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) )
3130adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  (
( S `  I
) `  X )  =  ran  ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
3220, 31sseqtrd 3480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  a  C_ 
ran  ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
33 simprr 760 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  a  e.  Fin )
34 fipreima 7862 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  Fn  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  /\  a  C_  ran  ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  /\  a  e.  Fin )  ->  E. k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin ) ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a )
3519, 32, 33, 34syl3anc 1232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  E. k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin ) ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a )
36 elfpw 7858 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ~P {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin )  <->  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )
37 ssrab2 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  C_  I
38 sstr2 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  ( { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  C_  I  ->  k  C_  I ) )
3937, 38mpi 21 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  k  C_  I )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } )  ->  k  C_  I )
41 selpw 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ~P I  <->  k  C_  I )
4240, 41sylibr 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } )  ->  k  e.  ~P I )
4342adantrr 717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  e.  ~P I
)
44 simprr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  e.  Fin )
4543, 44elind 3629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )
)
463adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  R  e.  Ring )
476ply1ring 18611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
483, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  P  e.  Ring )
50 simprl 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  { c  e.  I  |  (
( deg1  `
 R ) `  c )  <_  X } )
5150, 37syl6ss 3456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  I )
52 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
5352, 7lidlss 18178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  U  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
544, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  I  C_  ( Base `  P ) )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
5651, 55sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  ( Base `  P ) )
57 hbtlem6.n . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  N  =  (RSpan `  P )
5857, 52, 7rspcl 18192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  k  C_  ( Base `  P
) )  ->  ( N `  k )  e.  U )
5949, 56, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( N `  k
)  e.  U )
605adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  X  e.  NN0 )
616, 7, 8, 9hbtlem2 35450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  k )  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )
)
6246, 59, 60, 61syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  e.  (LIdeal `  R
) )
63 df-ima 4838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  ran  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )
6457, 52rspssid 18193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  k  C_  ( Base `  P
) )  ->  k  C_  ( N `  k
) )
6549, 56, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  ( N `  k ) )
66 ssrab 3519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  <->  ( k  C_  I  /\  A. c  e.  k  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X
) )
6766simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  A. c  e.  k  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X
)
6867ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  A. c  e.  k 
( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X
)
69 ssrab 3519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k 
C_  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  <->  ( k  C_  ( N `  k )  /\  A. c  e.  k  (
( deg1  `
 R ) `  c )  <_  X
) )
7065, 68, 69sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }
)
7170resmptd 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( b  e.  k  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
72 resmpt 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( b  e.  k  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
7372ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( b  e.  k  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
7471, 73eqtr4d 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k ) )
75 resss 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )  C_  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)
7674, 75syl6eqssr 3495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  C_  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
77 rnss 5054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )  C_  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  ->  ran  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )  C_  ran  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  ran  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  C_  ran  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
7963, 78syl5eqss 3488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  C_  ran  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
806, 7, 8, 21hbtlem1 35449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  k )  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k ) ( ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
8146, 59, 60, 80syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k ) ( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } )
82 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  =  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)
8382rnmpt 5071 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { e  |  E. b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }
8426rexrab 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } e  =  ( (coe1 `  b ) `  X )  <->  E. b  e.  ( N `  k
) ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
8584abbii 2538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { e  |  E. b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k ) ( ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }
8683, 85eqtri 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k
) ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }
8781, 86syl6eqr 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  =  ran  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
8879, 87sseqtr4d 3481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
8912, 9rspssp 18196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )  /\  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )  -> 
( (RSpan `  R
) `  ( (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
9046, 62, 88, 89syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( (RSpan `  R
) `  ( (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
9145, 90jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  /\  ( (RSpan `  R ) `  (
( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
92 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a  ->  (
(RSpan `  R ) `  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
) )  =  ( (RSpan `  R ) `  a ) )
9392sseq1d 3471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a  ->  (
( (RSpan `  R
) `  ( (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  <->  ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
9493anbi2d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a  ->  (
( k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  /\  ( (RSpan `  R ) `  (
( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )  <->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
9591, 94syl5ibcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) "
k )  =  a  ->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
9636, 95sylan2b 475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  i^i  Fin ) )  -> 
( ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) "
k )  =  a  ->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
9796expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin )  /\  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  =  a )  ->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
9897adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  (
( k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  i^i  Fin )  /\  (
( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a )  -> 
( k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  /\  ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) ) )
9998reximdv2 2877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  ( E. k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  i^i  Fin ) ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) "
k )  =  a  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
10035, 99mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
10115, 100sylan2b 475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( ( S `
 I ) `  X )  i^i  Fin ) )  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
102 sseq1 3465 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  I
) `  X )  =  ( (RSpan `  R ) `  a
)  ->  ( (
( S `  I
) `  X )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  <-> 
( (RSpan `  R
) `  a )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
103102rexbidv 2920 . . . 4  |-  ( ( ( S `  I
) `  X )  =  ( (RSpan `  R ) `  a
)  ->  ( E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `  I
) `  X )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  <->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )
( (RSpan `  R
) `  a )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
104101, 103syl5ibrcom 224 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( ( S `
 I ) `  X )  i^i  Fin ) )  ->  (
( ( S `  I ) `  X
)  =  ( (RSpan `  R ) `  a
)  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) ( ( S `  I ) `
 X )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
105104rexlimdva 2898 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P ( ( S `  I ) `
 X )  i^i 
Fin ) ( ( S `  I ) `
 X )  =  ( (RSpan `  R
) `  a )  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) )
10614, 105mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   {cab 2389   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    i^i cin 3415    C_ wss 3416   ~Pcpw 3957   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   ran crn 4826    |` cres 4827   "cima 4828    Fn wfn 5566   ` cfv 5571   Fincfn 7556    <_ cle 9661   NN0cn0 10838   Basecbs 14843   Ringcrg 17520  LIdealclidl 18138  RSpancrsp 18139  Poly1cpl1 18538  coe1cco1 18539   deg1 cdg1 22746  LNoeRclnr 35435  ldgIdlSeqcldgis 35447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-ofr 6524  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-seq 12154  df-hash 12455  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mhm 16292  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-mulg 16386  df-subg 16524  df-ghm 16591  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-cring 17523  df-subrg 17749  df-lmod 17836  df-lss 17901  df-lsp 17940  df-sra 18140  df-rgmod 18141  df-lidl 18142  df-rsp 18143  df-ascl 18285  df-psr 18327  df-mvr 18328  df-mpl 18329  df-opsr 18331  df-psr1 18541  df-vr1 18542  df-ply1 18543  df-coe1 18544  df-cnfld 18743  df-mdeg 22747  df-deg1 22748  df-lfig 35389  df-lnm 35397  df-lnr 35436  df-ldgis 35448
This theorem is referenced by:  hbt  35456
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