Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbtlem6 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hbtlem6 36059
 Description: There is a finite set of polynomials matching any single stage of the image. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p Poly1
hbtlem.u LIdeal
hbtlem.s ldgIdlSeq
hbtlem6.n RSpan
hbtlem6.r LNoeR
hbtlem6.i
hbtlem6.x
Assertion
Ref Expression
hbtlem6
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem hbtlem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem6.r . . 3 LNoeR
2 lnrring 36042 . . . . 5 LNoeR
31, 2syl 17 . . . 4
4 hbtlem6.i . . . 4
5 hbtlem6.x . . . 4
6 hbtlem.p . . . . 5 Poly1
7 hbtlem.u . . . . 5 LIdeal
8 hbtlem.s . . . . 5 ldgIdlSeq
9 eqid 2471 . . . . 5 LIdeal LIdeal
106, 7, 8, 9hbtlem2 36054 . . . 4 LIdeal
113, 4, 5, 10syl3anc 1292 . . 3 LIdeal
12 eqid 2471 . . . 4 RSpan RSpan
139, 12lnr2i 36046 . . 3 LNoeR LIdeal RSpan
141, 11, 13syl2anc 673 . 2 RSpan
15 elfpw 7894 . . . . 5
16 fvex 5889 . . . . . . . . 9 coe1
17 eqid 2471 . . . . . . . . 9 deg1 coe1 deg1 coe1
1816, 17fnmpti 5716 . . . . . . . 8 deg1 coe1 deg1
1918a1i 11 . . . . . . 7 deg1 coe1 deg1
20 simprl 772 . . . . . . . 8
21 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 deg1 deg1
226, 7, 8, 21hbtlem1 36053 . . . . . . . . . . 11 LNoeR deg1 coe1
231, 4, 5, 22syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10 deg1 coe1
2417rnmpt 5086 . . . . . . . . . . 11 deg1 coe1 deg1 coe1
25 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14 deg1 deg1
2625breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13 deg1 deg1
2726rexrab 3190 . . . . . . . . . . . 12 deg1 coe1 deg1 coe1
2827abbii 2587 . . . . . . . . . . 11 deg1 coe1 deg1 coe1
2924, 28eqtri 2493 . . . . . . . . . 10 deg1 coe1 deg1 coe1
3023, 29syl6eqr 2523 . . . . . . . . 9 deg1 coe1
3130adantr 472 . . . . . . . 8 deg1 coe1
3220, 31sseqtrd 3454 . . . . . . 7 deg1 coe1
33 simprr 774 . . . . . . 7
34 fipreima 7898 . . . . . . 7 deg1 coe1 deg1 deg1 coe1 deg1 deg1 coe1
3519, 32, 33, 34syl3anc 1292 . . . . . 6 deg1 deg1 coe1
36 elfpw 7894 . . . . . . . . . 10 deg1 deg1
37 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg1
38 sstr2 3425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg1 deg1
3937, 38mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg1
4039adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg1
41 selpw 3949 . . . . . . . . . . . . . . 15
4240, 41sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14 deg1
4342adantrr 731 . . . . . . . . . . . . 13 deg1
44 simprr 774 . . . . . . . . . . . . 13 deg1
4543, 44elind 3609 . . . . . . . . . . . 12 deg1
463adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 deg1
476ply1ring 18918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
483, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4948adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg1
50 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg1 deg1
5150, 37syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg1
52 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5352, 7lidlss 18511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
544, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5554adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg1
5651, 55sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg1
57 hbtlem6.n . . . . . . . . . . . . . . . 16 RSpan
5857, 52, 7rspcl 18523 . . . . . . . . . . . . . . 15
5949, 56, 58syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14 deg1
605adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 deg1
616, 7, 8, 9hbtlem2 36054 . . . . . . . . . . . . . 14 LIdeal
6246, 59, 60, 61syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13 deg1 LIdeal
63 df-ima 4852 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg1 coe1 deg1 coe1
6457, 52rspssid 18524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6549, 56, 64syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 deg1
66 ssrab 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1
6766simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 deg1 deg1
6867ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 deg1 deg1
69 ssrab 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 deg1 deg1
7065, 68, 69sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 deg1 deg1
7170resmptd 5162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 deg1 deg1 coe1 coe1
72 resmpt 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 deg1 deg1 coe1 coe1
7372ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 deg1 deg1 coe1 coe1
7471, 73eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg1 deg1 coe1 deg1 coe1
75 resss 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg1 coe1 deg1 coe1
7674, 75syl6eqssr 3469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg1 deg1 coe1 deg1 coe1
77 rnss 5069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg1 deg1 coe1 deg1 coe1
7963, 78syl5eqss 3462 . . . . . . . . . . . . . 14 deg1 deg1 coe1 deg1 coe1
806, 7, 8, 21hbtlem1 36053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg1 coe1
8146, 59, 60, 80syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg1 deg1 coe1
82 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg1 coe1 deg1 coe1
8382rnmpt 5086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg1 coe1 deg1 coe1
8426rexrab 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg1 coe1 deg1 coe1
8584abbii 2587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg1 coe1 deg1 coe1
8683, 85eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg1 coe1 deg1 coe1
8781, 86syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . 14 deg1 deg1 coe1
8879, 87sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . 13 deg1 deg1 coe1
8912, 9rspssp 18527 . . . . . . . . . . . . 13 LIdeal deg1 coe1 RSpan deg1 coe1
9046, 62, 88, 89syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12 deg1 RSpan deg1 coe1
9145, 90jca 541 . . . . . . . . . . 11 deg1 RSpan deg1 coe1
92 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13 deg1 coe1 RSpan deg1 coe1 RSpan
9392sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . 12 deg1 coe1 RSpan deg1 coe1 RSpan
9493anbi2d 718 . . . . . . . . . . 11 deg1 coe1 RSpan deg1 coe1 RSpan
9591, 94syl5ibcom 228 . . . . . . . . . 10 deg1 deg1 coe1 RSpan
9636, 95sylan2b 483 . . . . . . . . 9 deg1 deg1 coe1 RSpan
9796expimpd 614 . . . . . . . 8 deg1 deg1 coe1 RSpan
9897adantr 472 . . . . . . 7 deg1 deg1 coe1 RSpan
9998reximdv2 2855 . . . . . 6 deg1 deg1 coe1 RSpan
10035, 99mpd 15 . . . . 5 RSpan
10115, 100sylan2b 483 . . . 4 RSpan
102 sseq1 3439 . . . . 5 RSpan RSpan
103102rexbidv 2892 . . . 4 RSpan RSpan
104101, 103syl5ibrcom 230 . . 3 RSpan
105104rexlimdva 2871 . 2 RSpan
10614, 105mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cab 2457  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   cin 3389   wss 3390  cpw 3942   class class class wbr 4395   cmpt 4454   crn 4840   cres 4841  cima 4842   wfn 5584  cfv 5589  cfn 7587   cle 9694  cn0 10893  cbs 15199  crg 17858  LIdealclidl 18471  RSpancrsp 18472  Poly1cpl1 18847  coe1cco1 18848   deg1 cdg1 23082  LNoeRclnr 36039  ldgIdlSeqcldgis 36051 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-ascl 18615  df-psr 18657  df-mvr 18658  df-mpl 18659  df-opsr 18661  df-psr1 18850  df-vr1 18851  df-ply1 18852  df-coe1 18853  df-cnfld 19048  df-mdeg 23083  df-deg1 23084  df-lfig 35997  df-lnm 36005  df-lnr 36040  df-ldgis 36052 This theorem is referenced by:  hbt  36060
 Copyright terms: Public domain W3C validator