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Theorem hbtlem6 36059
Description: There is a finite set of polynomials matching any single stage of the image. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
hbtlem.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
hbtlem.s  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
hbtlem6.n  |-  N  =  (RSpan `  P )
hbtlem6.r  |-  ( ph  ->  R  e. LNoeR )
hbtlem6.i  |-  ( ph  ->  I  e.  U )
hbtlem6.x  |-  ( ph  ->  X  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
hbtlem6  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
)
Distinct variable groups:    ph, k    k, I    R, k    S, k   
k, X
Allowed substitution hints:    P( k)    U( k)    N( k)

Proof of Theorem hbtlem6
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem6.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e. LNoeR )
2 lnrring 36042 . . . . 5  |-  ( R  e. LNoeR  ->  R  e.  Ring )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 hbtlem6.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  U )
5 hbtlem6.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  NN0 )
6 hbtlem.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
7 hbtlem.u . . . . 5  |-  U  =  (LIdeal `  P )
8 hbtlem.s . . . . 5  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
9 eqid 2471 . . . . 5  |-  (LIdeal `  R )  =  (LIdeal `  R )
106, 7, 8, 9hbtlem2 36054 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )
)
113, 4, 5, 10syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  I ) `  X
)  e.  (LIdeal `  R ) )
12 eqid 2471 . . . 4  |-  (RSpan `  R )  =  (RSpan `  R )
139, 12lnr2i 36046 . . 3  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  (
( S `  I
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )
)  ->  E. a  e.  ( ~P ( ( S `  I ) `
 X )  i^i 
Fin ) ( ( S `  I ) `
 X )  =  ( (RSpan `  R
) `  a )
)
141, 11, 13syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( ~P ( ( S `
 I ) `  X )  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  =  ( (RSpan `  R ) `  a ) )
15 elfpw 7894 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( ~P (
( S `  I
) `  X )  i^i  Fin )  <->  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )
16 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( (coe1 `  b ) `  X
)  e.  _V
17 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  =  ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)
1816, 17fnmpti 5716 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  Fn 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  Fn  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } )
20 simprl 772 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  a  C_  ( ( S `  I ) `  X
) )
21 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
226, 7, 8, 21hbtlem1 36053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  =  { d  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
231, 4, 5, 22syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S `  I ) `  X
)  =  { d  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) } )
2417rnmpt 5086 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { d  |  E. b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } d  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }
25 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  b  ->  (
( deg1  `
 R ) `  c )  =  ( ( deg1  `  R ) `  b ) )
2625breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  b  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X  <->  ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X
) )
2726rexrab 3190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } d  =  ( (coe1 `  b ) `  X )  <->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) )
2827abbii 2587 . . . . . . . . . . 11  |-  { d  |  E. b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } d  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }  =  { d  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }
2924, 28eqtri 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { d  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }
3023, 29syl6eqr 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S `  I ) `  X
)  =  ran  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) )
3130adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  (
( S `  I
) `  X )  =  ran  ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
3220, 31sseqtrd 3454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  a  C_ 
ran  ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
33 simprr 774 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  a  e.  Fin )
34 fipreima 7898 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  Fn  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  /\  a  C_  ran  ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  /\  a  e.  Fin )  ->  E. k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin ) ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a )
3519, 32, 33, 34syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  E. k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin ) ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a )
36 elfpw 7894 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ~P {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin )  <->  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )
37 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  C_  I
38 sstr2 3425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  ( { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  C_  I  ->  k  C_  I ) )
3937, 38mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  k  C_  I )
4039adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } )  ->  k  C_  I )
41 selpw 3949 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ~P I  <->  k  C_  I )
4240, 41sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } )  ->  k  e.  ~P I )
4342adantrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  e.  ~P I
)
44 simprr 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  e.  Fin )
4543, 44elind 3609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )
)
463adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  R  e.  Ring )
476ply1ring 18918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
483, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
4948adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  P  e.  Ring )
50 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  { c  e.  I  |  (
( deg1  `
 R ) `  c )  <_  X } )
5150, 37syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  I )
52 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
5352, 7lidlss 18511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  U  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
544, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  I  C_  ( Base `  P ) )
5554adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
5651, 55sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  ( Base `  P ) )
57 hbtlem6.n . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  N  =  (RSpan `  P )
5857, 52, 7rspcl 18523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  k  C_  ( Base `  P
) )  ->  ( N `  k )  e.  U )
5949, 56, 58syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( N `  k
)  e.  U )
605adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  X  e.  NN0 )
616, 7, 8, 9hbtlem2 36054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  k )  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )
)
6246, 59, 60, 61syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  e.  (LIdeal `  R
) )
63 df-ima 4852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  ran  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )
6457, 52rspssid 18524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  k  C_  ( Base `  P
) )  ->  k  C_  ( N `  k
) )
6549, 56, 64syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  ( N `  k ) )
66 ssrab 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  <->  ( k  C_  I  /\  A. c  e.  k  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X
) )
6766simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  A. c  e.  k  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X
)
6867ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  A. c  e.  k 
( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X
)
69 ssrab 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k 
C_  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  <->  ( k  C_  ( N `  k )  /\  A. c  e.  k  (
( deg1  `
 R ) `  c )  <_  X
) )
7065, 68, 69sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }
)
7170resmptd 5162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( b  e.  k  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
72 resmpt 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( b  e.  k  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
7372ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( b  e.  k  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
7471, 73eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k ) )
75 resss 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )  C_  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)
7674, 75syl6eqssr 3469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  C_  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
77 rnss 5069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )  C_  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  ->  ran  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )  C_  ran  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  ran  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  C_  ran  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
7963, 78syl5eqss 3462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  C_  ran  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
806, 7, 8, 21hbtlem1 36053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  k )  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k ) ( ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
8146, 59, 60, 80syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k ) ( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } )
82 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  =  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)
8382rnmpt 5086 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { e  |  E. b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }
8426rexrab 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } e  =  ( (coe1 `  b ) `  X )  <->  E. b  e.  ( N `  k
) ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
8584abbii 2587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { e  |  E. b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k ) ( ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }
8683, 85eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k
) ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }
8781, 86syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  =  ran  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
8879, 87sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
8912, 9rspssp 18527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )  /\  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )  -> 
( (RSpan `  R
) `  ( (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
9046, 62, 88, 89syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( (RSpan `  R
) `  ( (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
9145, 90jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  /\  ( (RSpan `  R ) `  (
( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
92 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a  ->  (
(RSpan `  R ) `  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
) )  =  ( (RSpan `  R ) `  a ) )
9392sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a  ->  (
( (RSpan `  R
) `  ( (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  <->  ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
9493anbi2d 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a  ->  (
( k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  /\  ( (RSpan `  R ) `  (
( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )  <->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
9591, 94syl5ibcom 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) "
k )  =  a  ->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
9636, 95sylan2b 483 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  i^i  Fin ) )  -> 
( ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) "
k )  =  a  ->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
9796expimpd 614 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin )  /\  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  =  a )  ->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
9897adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  (
( k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  i^i  Fin )  /\  (
( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a )  -> 
( k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  /\  ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) ) )
9998reximdv2 2855 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  ( E. k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  i^i  Fin ) ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) "
k )  =  a  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
10035, 99mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
10115, 100sylan2b 483 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( ( S `
 I ) `  X )  i^i  Fin ) )  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
102 sseq1 3439 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  I
) `  X )  =  ( (RSpan `  R ) `  a
)  ->  ( (
( S `  I
) `  X )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  <-> 
( (RSpan `  R
) `  a )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
103102rexbidv 2892 . . . 4  |-  ( ( ( S `  I
) `  X )  =  ( (RSpan `  R ) `  a
)  ->  ( E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `  I
) `  X )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  <->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )
( (RSpan `  R
) `  a )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
104101, 103syl5ibrcom 230 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( ( S `
 I ) `  X )  i^i  Fin ) )  ->  (
( ( S `  I ) `  X
)  =  ( (RSpan `  R ) `  a
)  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) ( ( S `  I ) `
 X )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
105104rexlimdva 2871 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P ( ( S `  I ) `
 X )  i^i 
Fin ) ( ( S `  I ) `
 X )  =  ( (RSpan `  R
) `  a )  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) )
10614, 105mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842    Fn wfn 5584   ` cfv 5589   Fincfn 7587    <_ cle 9694   NN0cn0 10893   Basecbs 15199   Ringcrg 17858  LIdealclidl 18471  RSpancrsp 18472  Poly1cpl1 18847  coe1cco1 18848   deg1 cdg1 23082  LNoeRclnr 36039  ldgIdlSeqcldgis 36051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-ascl 18615  df-psr 18657  df-mvr 18658  df-mpl 18659  df-opsr 18661  df-psr1 18850  df-vr1 18851  df-ply1 18852  df-coe1 18853  df-cnfld 19048  df-mdeg 23083  df-deg1 23084  df-lfig 35997  df-lnm 36005  df-lnr 36040  df-ldgis 36052
This theorem is referenced by:  hbt  36060
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