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Theorem hbtlem6 29488
Description: There is a finite set of polynomials matching any single stage of the image. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
hbtlem.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
hbtlem.s  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
hbtlem6.n  |-  N  =  (RSpan `  P )
hbtlem6.r  |-  ( ph  ->  R  e. LNoeR )
hbtlem6.i  |-  ( ph  ->  I  e.  U )
hbtlem6.x  |-  ( ph  ->  X  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
hbtlem6  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
)
Distinct variable groups:    ph, k    k, I    R, k    S, k   
k, X
Allowed substitution hints:    P( k)    U( k)    N( k)

Proof of Theorem hbtlem6
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem6.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e. LNoeR )
2 lnrrng 29471 . . . . 5  |-  ( R  e. LNoeR  ->  R  e.  Ring )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 hbtlem6.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  U )
5 hbtlem6.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  NN0 )
6 hbtlem.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
7 hbtlem.u . . . . 5  |-  U  =  (LIdeal `  P )
8 hbtlem.s . . . . 5  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
9 eqid 2443 . . . . 5  |-  (LIdeal `  R )  =  (LIdeal `  R )
106, 7, 8, 9hbtlem2 29483 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )
)
113, 4, 5, 10syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  I ) `  X
)  e.  (LIdeal `  R ) )
12 eqid 2443 . . . 4  |-  (RSpan `  R )  =  (RSpan `  R )
139, 12lnr2i 29475 . . 3  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  (
( S `  I
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )
)  ->  E. a  e.  ( ~P ( ( S `  I ) `
 X )  i^i 
Fin ) ( ( S `  I ) `
 X )  =  ( (RSpan `  R
) `  a )
)
141, 11, 13syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( ~P ( ( S `
 I ) `  X )  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  =  ( (RSpan `  R ) `  a ) )
15 elfpw 7616 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( ~P (
( S `  I
) `  X )  i^i  Fin )  <->  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )
16 fvex 5704 . . . . . . . . 9  |-  ( (coe1 `  b ) `  X
)  e.  _V
17 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  =  ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)
1816, 17fnmpti 5542 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  Fn 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  Fn  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } )
20 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  a  C_  ( ( S `  I ) `  X
) )
21 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
226, 7, 8, 21hbtlem1 29482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  =  { d  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
231, 4, 5, 22syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S `  I ) `  X
)  =  { d  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) } )
2417rnmpt 5088 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { d  |  E. b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } d  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }
25 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  b  ->  (
( deg1  `
 R ) `  c )  =  ( ( deg1  `  R ) `  b ) )
2625breq1d 4305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  b  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X  <->  ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X
) )
2726rexrab 3126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } d  =  ( (coe1 `  b ) `  X )  <->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) )
2827abbii 2558 . . . . . . . . . . 11  |-  { d  |  E. b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } d  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }  =  { d  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }
2924, 28eqtri 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { d  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }
3023, 29syl6eqr 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S `  I ) `  X
)  =  ran  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) )
3130adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  (
( S `  I
) `  X )  =  ran  ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
3220, 31sseqtrd 3395 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  a  C_ 
ran  ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
33 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  a  e.  Fin )
34 fipreima 7620 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  Fn  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  /\  a  C_  ran  ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  /\  a  e.  Fin )  ->  E. k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin ) ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a )
3519, 32, 33, 34syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  E. k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin ) ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a )
36 elfpw 7616 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ~P {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin )  <->  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )
37 ssrab2 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  C_  I
38 sstr2 3366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  ( { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  C_  I  ->  k  C_  I ) )
3937, 38mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  k  C_  I )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } )  ->  k  C_  I )
41 selpw 3870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ~P I  <->  k  C_  I )
4240, 41sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } )  ->  k  e.  ~P I )
4342adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  e.  ~P I
)
44 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  e.  Fin )
4543, 44elind 3543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )
)
463adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  R  e.  Ring )
476ply1rng 17706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
483, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  P  e.  Ring )
50 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  { c  e.  I  |  (
( deg1  `
 R ) `  c )  <_  X } )
5150, 37syl6ss 3371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  I )
52 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
5352, 7lidlss 17294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  U  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
544, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  I  C_  ( Base `  P ) )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
5651, 55sstrd 3369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  ( Base `  P ) )
57 hbtlem6.n . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  N  =  (RSpan `  P )
5857, 52, 7rspcl 17307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  k  C_  ( Base `  P
) )  ->  ( N `  k )  e.  U )
5949, 56, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( N `  k
)  e.  U )
605adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  X  e.  NN0 )
616, 7, 8, 9hbtlem2 29483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  k )  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )
)
6246, 59, 60, 61syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  e.  (LIdeal `  R
) )
63 df-ima 4856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  ran  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )
6457, 52rspssid 17308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  k  C_  ( Base `  P
) )  ->  k  C_  ( N `  k
) )
6549, 56, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  ( N `  k ) )
66 ssrab 3433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  <->  ( k  C_  I  /\  A. c  e.  k  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X
) )
6766simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  A. c  e.  k  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X
)
6867ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  A. c  e.  k 
( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X
)
69 ssrab 3433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k 
C_  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  <->  ( k  C_  ( N `  k )  /\  A. c  e.  k  (
( deg1  `
 R ) `  c )  <_  X
) )
7065, 68, 69sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }
)
71 resmpt 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k 
C_  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  ( ( b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( b  e.  k  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( b  e.  k  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
73 resmpt 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( b  e.  k  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
7473ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( b  e.  k  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
7572, 74eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k ) )
76 resss 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )  C_  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)
7775, 76syl6eqssr 3410 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  C_  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
78 rnss 5071 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )  C_  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  ->  ran  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )  C_  ran  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  ran  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  C_  ran  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
8063, 79syl5eqss 3403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  C_  ran  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
816, 7, 8, 21hbtlem1 29482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  k )  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k ) ( ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
8246, 59, 60, 81syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k ) ( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } )
83 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  =  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)
8483rnmpt 5088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { e  |  E. b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }
8526rexrab 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } e  =  ( (coe1 `  b ) `  X )  <->  E. b  e.  ( N `  k
) ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
8685abbii 2558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { e  |  E. b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k ) ( ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }
8784, 86eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k
) ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }
8882, 87syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  =  ran  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
8980, 88sseqtr4d 3396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
9012, 9rspssp 17311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )  /\  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )  -> 
( (RSpan `  R
) `  ( (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
9146, 62, 89, 90syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( (RSpan `  R
) `  ( (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
9245, 91jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  /\  ( (RSpan `  R ) `  (
( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
93 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a  ->  (
(RSpan `  R ) `  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
) )  =  ( (RSpan `  R ) `  a ) )
9493sseq1d 3386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a  ->  (
( (RSpan `  R
) `  ( (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  <->  ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
9594anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a  ->  (
( k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  /\  ( (RSpan `  R ) `  (
( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )  <->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
9692, 95syl5ibcom 220 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) "
k )  =  a  ->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
9736, 96sylan2b 475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  i^i  Fin ) )  -> 
( ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) "
k )  =  a  ->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
9897expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin )  /\  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  =  a )  ->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
9998adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  (
( k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  i^i  Fin )  /\  (
( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a )  -> 
( k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  /\  ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) ) )
10099reximdv2 2828 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  ( E. k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  i^i  Fin ) ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) "
k )  =  a  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
10135, 100mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
10215, 101sylan2b 475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( ( S `
 I ) `  X )  i^i  Fin ) )  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
103 sseq1 3380 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  I
) `  X )  =  ( (RSpan `  R ) `  a
)  ->  ( (
( S `  I
) `  X )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  <-> 
( (RSpan `  R
) `  a )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
104103rexbidv 2739 . . . 4  |-  ( ( ( S `  I
) `  X )  =  ( (RSpan `  R ) `  a
)  ->  ( E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `  I
) `  X )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  <->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )
( (RSpan `  R
) `  a )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
105102, 104syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( ( S `
 I ) `  X )  i^i  Fin ) )  ->  (
( ( S `  I ) `  X
)  =  ( (RSpan `  R ) `  a
)  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) ( ( S `  I ) `
 X )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
106105rexlimdva 2844 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P ( ( S `  I ) `
 X )  i^i 
Fin ) ( ( S `  I ) `
 X )  =  ( (RSpan `  R
) `  a )  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) )
10714, 106mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2718   E.wrex 2719   {crab 2722    i^i cin 3330    C_ wss 3331   ~Pcpw 3863   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353   ran crn 4844    |` cres 4845   "cima 4846    Fn wfn 5416   ` cfv 5421   Fincfn 7313    <_ cle 9422   NN0cn0 10582   Basecbs 14177   Ringcrg 16648  LIdealclidl 17254  RSpancrsp 17255  Poly1cpl1 17636  coe1cco1 17637   deg1 cdg1 21526  LNoeRclnr 29468  ldgIdlSeqcldgis 29480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-ofr 6324  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-seq 11810  df-hash 12107  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-mhm 15467  df-submnd 15468  df-grp 15548  df-minusg 15549  df-sbg 15550  df-mulg 15551  df-subg 15681  df-ghm 15748  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-abl 16283  df-mgp 16595  df-ur 16607  df-rng 16650  df-cring 16651  df-subrg 16866  df-lmod 16953  df-lss 17017  df-lsp 17056  df-sra 17256  df-rgmod 17257  df-lidl 17258  df-rsp 17259  df-ascl 17389  df-psr 17426  df-mvr 17427  df-mpl 17428  df-opsr 17430  df-psr1 17639  df-vr1 17640  df-ply1 17641  df-coe1 17642  df-cnfld 17822  df-mdeg 21527  df-deg1 21528  df-lfig 29424  df-lnm 29432  df-lnr 29469  df-ldgis 29481
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