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Theorem hbtlem6 35914
Description: There is a finite set of polynomials matching any single stage of the image. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
hbtlem.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
hbtlem.s  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
hbtlem6.n  |-  N  =  (RSpan `  P )
hbtlem6.r  |-  ( ph  ->  R  e. LNoeR )
hbtlem6.i  |-  ( ph  ->  I  e.  U )
hbtlem6.x  |-  ( ph  ->  X  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
hbtlem6  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
)
Distinct variable groups:    ph, k    k, I    R, k    S, k   
k, X
Allowed substitution hints:    P( k)    U( k)    N( k)

Proof of Theorem hbtlem6
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem6.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e. LNoeR )
2 lnrring 35897 . . . . 5  |-  ( R  e. LNoeR  ->  R  e.  Ring )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 hbtlem6.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  U )
5 hbtlem6.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  NN0 )
6 hbtlem.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
7 hbtlem.u . . . . 5  |-  U  =  (LIdeal `  P )
8 hbtlem.s . . . . 5  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
9 eqid 2423 . . . . 5  |-  (LIdeal `  R )  =  (LIdeal `  R )
106, 7, 8, 9hbtlem2 35909 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )
)
113, 4, 5, 10syl3anc 1265 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  I ) `  X
)  e.  (LIdeal `  R ) )
12 eqid 2423 . . . 4  |-  (RSpan `  R )  =  (RSpan `  R )
139, 12lnr2i 35901 . . 3  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  (
( S `  I
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )
)  ->  E. a  e.  ( ~P ( ( S `  I ) `
 X )  i^i 
Fin ) ( ( S `  I ) `
 X )  =  ( (RSpan `  R
) `  a )
)
141, 11, 13syl2anc 666 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( ~P ( ( S `
 I ) `  X )  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  =  ( (RSpan `  R ) `  a ) )
15 elfpw 7880 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( ~P (
( S `  I
) `  X )  i^i  Fin )  <->  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )
16 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( (coe1 `  b ) `  X
)  e.  _V
17 eqid 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  =  ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)
1816, 17fnmpti 5722 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  Fn 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  Fn  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } )
20 simprl 763 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  a  C_  ( ( S `  I ) `  X
) )
21 eqid 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
226, 7, 8, 21hbtlem1 35908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  =  { d  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
231, 4, 5, 22syl3anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S `  I ) `  X
)  =  { d  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) } )
2417rnmpt 5097 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { d  |  E. b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } d  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }
25 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  b  ->  (
( deg1  `
 R ) `  c )  =  ( ( deg1  `  R ) `  b ) )
2625breq1d 4431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  b  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X  <->  ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X
) )
2726rexrab 3236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } d  =  ( (coe1 `  b ) `  X )  <->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) )
2827abbii 2557 . . . . . . . . . . 11  |-  { d  |  E. b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } d  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }  =  { d  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }
2924, 28eqtri 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { d  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }
3023, 29syl6eqr 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S `  I ) `  X
)  =  ran  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) )
3130adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  (
( S `  I
) `  X )  =  ran  ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
3220, 31sseqtrd 3501 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  a  C_ 
ran  ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
33 simprr 765 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  a  e.  Fin )
34 fipreima 7884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  Fn  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  /\  a  C_  ran  ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  /\  a  e.  Fin )  ->  E. k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin ) ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a )
3519, 32, 33, 34syl3anc 1265 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  E. k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin ) ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a )
36 elfpw 7880 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ~P {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin )  <->  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )
37 ssrab2 3547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  C_  I
38 sstr2 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  ( { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  C_  I  ->  k  C_  I ) )
3937, 38mpi 21 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  k  C_  I )
4039adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } )  ->  k  C_  I )
41 selpw 3987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ~P I  <->  k  C_  I )
4240, 41sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } )  ->  k  e.  ~P I )
4342adantrr 722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  e.  ~P I
)
44 simprr 765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  e.  Fin )
4543, 44elind 3651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )
)
463adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  R  e.  Ring )
476ply1ring 18834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
483, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
4948adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  P  e.  Ring )
50 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  { c  e.  I  |  (
( deg1  `
 R ) `  c )  <_  X } )
5150, 37syl6ss 3477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  I )
52 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
5352, 7lidlss 18426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  U  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
544, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  I  C_  ( Base `  P ) )
5554adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
5651, 55sstrd 3475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  ( Base `  P ) )
57 hbtlem6.n . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  N  =  (RSpan `  P )
5857, 52, 7rspcl 18439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  k  C_  ( Base `  P
) )  ->  ( N `  k )  e.  U )
5949, 56, 58syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( N `  k
)  e.  U )
605adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  X  e.  NN0 )
616, 7, 8, 9hbtlem2 35909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  k )  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )
)
6246, 59, 60, 61syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  e.  (LIdeal `  R
) )
63 df-ima 4864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  ran  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )
6457, 52rspssid 18440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  k  C_  ( Base `  P
) )  ->  k  C_  ( N `  k
) )
6549, 56, 64syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  ( N `  k ) )
66 ssrab 3540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  <->  ( k  C_  I  /\  A. c  e.  k  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X
) )
6766simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  A. c  e.  k  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X
)
6867ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  A. c  e.  k 
( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X
)
69 ssrab 3540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k 
C_  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  <->  ( k  C_  ( N `  k )  /\  A. c  e.  k  (
( deg1  `
 R ) `  c )  <_  X
) )
7065, 68, 69sylanbrc 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }
)
7170resmptd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( b  e.  k  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
72 resmpt 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( b  e.  k  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
7372ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( b  e.  k  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
7471, 73eqtr4d 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k ) )
75 resss 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )  C_  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)
7674, 75syl6eqssr 3516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  C_  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
77 rnss 5080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )  C_  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  ->  ran  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )  C_  ran  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  ran  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  C_  ran  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
7963, 78syl5eqss 3509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  C_  ran  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
806, 7, 8, 21hbtlem1 35908 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  k )  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k ) ( ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
8146, 59, 60, 80syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k ) ( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } )
82 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  =  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)
8382rnmpt 5097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { e  |  E. b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }
8426rexrab 3236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } e  =  ( (coe1 `  b ) `  X )  <->  E. b  e.  ( N `  k
) ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
8584abbii 2557 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { e  |  E. b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k ) ( ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }
8683, 85eqtri 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k
) ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }
8781, 86syl6eqr 2482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  =  ran  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
8879, 87sseqtr4d 3502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
8912, 9rspssp 18443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )  /\  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )  -> 
( (RSpan `  R
) `  ( (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
9046, 62, 88, 89syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( (RSpan `  R
) `  ( (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
9145, 90jca 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  /\  ( (RSpan `  R ) `  (
( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
92 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a  ->  (
(RSpan `  R ) `  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
) )  =  ( (RSpan `  R ) `  a ) )
9392sseq1d 3492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a  ->  (
( (RSpan `  R
) `  ( (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  <->  ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
9493anbi2d 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a  ->  (
( k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  /\  ( (RSpan `  R ) `  (
( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )  <->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
9591, 94syl5ibcom 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) "
k )  =  a  ->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
9636, 95sylan2b 478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  i^i  Fin ) )  -> 
( ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) "
k )  =  a  ->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
9796expimpd 607 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin )  /\  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  =  a )  ->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
9897adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  (
( k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  i^i  Fin )  /\  (
( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a )  -> 
( k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  /\  ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) ) )
9998reximdv2 2897 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  ( E. k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  i^i  Fin ) ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) "
k )  =  a  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
10035, 99mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
10115, 100sylan2b 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( ( S `
 I ) `  X )  i^i  Fin ) )  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
102 sseq1 3486 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  I
) `  X )  =  ( (RSpan `  R ) `  a
)  ->  ( (
( S `  I
) `  X )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  <-> 
( (RSpan `  R
) `  a )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
103102rexbidv 2940 . . . 4  |-  ( ( ( S `  I
) `  X )  =  ( (RSpan `  R ) `  a
)  ->  ( E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `  I
) `  X )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  <->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )
( (RSpan `  R
) `  a )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
104101, 103syl5ibrcom 226 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( ( S `
 I ) `  X )  i^i  Fin ) )  ->  (
( ( S `  I ) `  X
)  =  ( (RSpan `  R ) `  a
)  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) ( ( S `  I ) `
 X )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
105104rexlimdva 2918 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P ( ( S `  I ) `
 X )  i^i 
Fin ) ( ( S `  I ) `
 X )  =  ( (RSpan `  R
) `  a )  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) )
10614, 105mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   {cab 2408   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780    i^i cin 3436    C_ wss 3437   ~Pcpw 3980   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   ran crn 4852    |` cres 4853   "cima 4854    Fn wfn 5594   ` cfv 5599   Fincfn 7575    <_ cle 9678   NN0cn0 10871   Basecbs 15114   Ringcrg 17773  LIdealclidl 18386  RSpancrsp 18387  Poly1cpl1 18763  coe1cco1 18764   deg1 cdg1 22995  LNoeRclnr 35894  ldgIdlSeqcldgis 35906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-ofr 6544  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-sup 7960  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-hash 12517  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-ghm 16874  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-subrg 17999  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-lidl 18390  df-rsp 18391  df-ascl 18531  df-psr 18573  df-mvr 18574  df-mpl 18575  df-opsr 18577  df-psr1 18766  df-vr1 18767  df-ply1 18768  df-coe1 18769  df-cnfld 18964  df-mdeg 22996  df-deg1 22997  df-lfig 35852  df-lnm 35860  df-lnr 35895  df-ldgis 35907
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