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Theorem hbtlem5 27200
Description: The leading ideal function is strictly monotone. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
hbtlem.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
hbtlem.s  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
hbtlem3.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
hbtlem3.i  |-  ( ph  ->  I  e.  U )
hbtlem3.j  |-  ( ph  ->  J  e.  U )
hbtlem3.ij  |-  ( ph  ->  I  C_  J )
hbtlem5.e  |-  ( ph  ->  A. x  e.  NN0  ( ( S `  J ) `  x
)  C_  ( ( S `  I ) `  x ) )
Assertion
Ref Expression
hbtlem5  |-  ( ph  ->  I  =  J )
Distinct variable groups:    x, I    x, J    x, S
Allowed substitution hints:    ph( x)    P( x)    R( x)    U( x)

Proof of Theorem hbtlem5
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem3.ij . 2  |-  ( ph  ->  I  C_  J )
2 hbtlem3.j . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  U )
3 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
4 hbtlem.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  (LIdeal `  P )
53, 4lidlss 16235 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  U  ->  J  C_  ( Base `  P
) )
62, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  C_  ( Base `  P ) )
76sselda 3308 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  a  e.  ( Base `  P
) )
8 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
9 hbtlem.p . . . . . . . 8  |-  P  =  (Poly1 `  R )
108, 9, 3deg1cl 19959 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( Base `  P
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  a
)  e.  ( NN0 
u.  {  -oo } ) )
117, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  a )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } ) )
12 elun 3448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } )  <->  ( ( ( deg1  `  R ) `  a
)  e.  NN0  \/  ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  {  -oo } ) )
13 nnssnn0 10180 . . . . . . . . 9  |-  NN  C_  NN0
14 nn0re 10186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  NN0  ->  ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  RR )
15 arch 10174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  RR  ->  E. b  e.  NN  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
)
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  NN0  ->  E. b  e.  NN  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
)
17 ssrexv 3368 . . . . . . . . 9  |-  ( NN  C_  NN0  ->  ( E. b  e.  NN  (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
) )
1813, 16, 17mpsyl 61 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  NN0  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
)
19 elsni 3798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  {  -oo }  ->  ( ( deg1  `  R ) `  a
)  =  -oo )
20 0nn0 10192 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
21 0re 9047 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
22 mnflt 10678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  <  0
24 breq2 4176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  0  ->  (  -oo  <  b  <->  -oo  <  0
) )
2524rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  -oo 
<  0 )  ->  E. b  e.  NN0  -oo 
<  b )
2620, 23, 25mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  E. b  e.  NN0  -oo  <  b
27 breq1 4175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  =  -oo  ->  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  <->  -oo  <  b )
)
2827rexbidv 2687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  =  -oo  ->  ( E. b  e. 
NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  <->  E. b  e.  NN0  -oo 
<  b ) )
2926, 28mpbiri 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  =  -oo  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
)
3019, 29syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  {  -oo }  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b )
3118, 30jaoi 369 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  NN0  \/  ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  {  -oo } )  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b )
3212, 31sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } )  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b )
3311, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b )
34 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  0  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  c  <->  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0
) )
3534imbi1d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  0  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) ) )
3635ralbidv 2686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  0  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) ) )
3736imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  0  ->  (
( ph  ->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  c  ->  a  e.  I ) )  <->  ( ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) ) ) )
38 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  b  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  c  <->  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
) )
3938imbi1d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  b  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
4039ralbidv 2686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  b  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
4140imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  b  ->  (
( ph  ->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  c  ->  a  e.  I ) )  <->  ( ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) ) )
42 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  c  <->  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  (
b  +  1 ) ) )
4342imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  (
b  +  1 )  ->  a  e.  I
) ) )
4443ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  (
b  +  1 )  ->  a  e.  I
) ) )
45 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  d  ->  (
( deg1  `
 R ) `  a )  =  ( ( deg1  `  R ) `  d ) )
4645breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  (
b  +  1 )  <-> 
( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 ) ) )
47 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  d  ->  (
a  e.  I  <->  d  e.  I ) )
4846, 47imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  ( b  +  1 )  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) ) )
4948cbvralv 2892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  (
b  +  1 )  ->  a  e.  I
)  <->  A. d  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  d )  <  ( b  +  1 )  ->  d  e.  I ) )
5044, 49syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  A. d  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) ) )
5150imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  c  ->  a  e.  I ) )  <->  ( ph  ->  A. d  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) ) ) )
52 hbtlem3.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5352adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  R  e.  Ring )
54 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
558, 9, 54, 3deg1lt0 19967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0  <->  a  =  ( 0g `  P ) ) )
5653, 7, 55syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0  <->  a  =  ( 0g `  P ) ) )
579ply1rng 16597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
5852, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
59 hbtlem3.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  I  e.  U )
604, 54lidl0cl 16238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( 0g `  P )  e.  I )
6158, 59, 60syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  e.  I )
62 eleq1a 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0g `  P )  e.  I  ->  (
a  =  ( 0g
`  P )  -> 
a  e.  I ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( a  =  ( 0g `  P )  ->  a  e.  I
) )
6463adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
a  =  ( 0g
`  P )  -> 
a  e.  I ) )
6556, 64sylbid 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) )
6665ralrimiva 2749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) )
6763ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  J  C_  ( Base `  P
) )
6867sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  d  e.  ( Base `  P
) )
698, 9, 3deg1cl 19959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  ( Base `  P
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  d
)  e.  ( NN0 
u.  {  -oo } ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  d )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } ) )
71 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  b  e.  NN0 )
7271nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  b  e.  ZZ )
73 degltp1le 19949 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( deg1  `  R ) `  d )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } )  /\  b  e.  ZZ )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  <-> 
( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
) )
7470, 72, 73syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  <-> 
( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
) )
75 hbtlem5.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A. x  e.  NN0  ( ( S `  J ) `  x
)  C_  ( ( S `  I ) `  x ) )
76 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  b  ->  (
( S `  J
) `  x )  =  ( ( S `
 J ) `  b ) )
77 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  b  ->  (
( S `  I
) `  x )  =  ( ( S `
 I ) `  b ) )
7876, 77sseq12d 3337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  b  ->  (
( ( S `  J ) `  x
)  C_  ( ( S `  I ) `  x )  <->  ( ( S `  J ) `  b )  C_  (
( S `  I
) `  b )
) )
7978rspcva 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
( S `  J
) `  x )  C_  ( ( S `  I ) `  x
) )  ->  (
( S `  J
) `  b )  C_  ( ( S `  I ) `  b
) )
8075, 79sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( S `  J ) `  b )  C_  (
( S `  I
) `  b )
)
8152adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  R  e.  Ring )
822adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  J  e.  U )
83 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  b  e.  NN0 )
84 hbtlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
859, 4, 84, 8hbtlem1 27195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  J  e.  U  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( S `  J
) `  b )  =  { c  |  E. e  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
8681, 82, 83, 85syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( S `  J ) `  b )  =  {
c  |  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
8759adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  I  e.  U )
889, 4, 84, 8hbtlem1 27195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  b )  =  { c  |  E. e  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
8981, 87, 83, 88syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( S `  I ) `  b )  =  {
c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
9080, 86, 893sstr3d 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  { c  |  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) } 
C_  { c  |  E. e  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) } )
91903adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  { c  |  E. e  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } 
C_  { c  |  E. e  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) } )
9291adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  { c  |  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) }  C_  { c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
93 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  d  e.  J )
94 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  d
)  <_  b )
95 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  d ) `  b
) )
96 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( e  =  d  ->  (
( deg1  `
 R ) `  e )  =  ( ( deg1  `  R ) `  d ) )
9796breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( e  =  d  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  e )  <_  b  <->  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
) )
98 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( e  =  d  ->  (coe1 `  e )  =  (coe1 `  d ) )
9998fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( e  =  d  ->  (
(coe1 `  e ) `  b )  =  ( (coe1 `  d ) `  b ) )
10099eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( e  =  d  ->  (
( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b )  <->  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  d ) `  b
) ) )
10197, 100anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( e  =  d  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  d ) `  b ) ) ) )
102101rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  d )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  d ) `  b
) ) )  ->  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) )
10393, 94, 95, 102syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) )
104 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (coe1 `  d ) `  b
)  e.  _V
105 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( c  =  ( (coe1 `  d
) `  b )  ->  ( c  =  ( (coe1 `  e ) `  b )  <->  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) )
106105anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( c  =  ( (coe1 `  d
) `  b )  ->  ( ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) ) )
107106rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  =  ( (coe1 `  d
) `  b )  ->  ( E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  <->  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) ) )
108104, 107elab 3042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) }  <->  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) )
109103, 108sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  ( (coe1 `  d ) `  b
)  e.  { c  |  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) } )
110109adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  (
(coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
11192, 110sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  (
(coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
112106rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( (coe1 `  d
) `  b )  ->  ( E. e  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  <->  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) ) )
113104, 112elab 3042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) }  <->  E. e  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) )
114 simpll2 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ph )
115114, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  P  e.  Ring )
116 rnggrp 15624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  P  e.  Grp )
118114, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  J  C_  ( Base `  P ) )
119 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  d  e.  J
)
120118, 119sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  d  e.  (
Base `  P )
)
1213, 4lidlss 16235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( I  e.  U  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
12259, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  I  C_  ( Base `  P ) )
123114, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  I  C_  ( Base `  P ) )
124 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  e  e.  I
)
125123, 124sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  e  e.  (
Base `  P )
)
126 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
127 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -g `  P )  =  (
-g `  P )
1283, 126, 127grpnpcan 14835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  d  e.  ( Base `  P )  /\  e  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( d ( -g `  P ) e ) ( +g  `  P
) e )  =  d )
129117, 120, 125, 128syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( d ( -g `  P
) e ) ( +g  `  P ) e )  =  d )
130593ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  I  e.  U )
131130ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  I  e.  U
)
132 simpll1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  b  e.  NN0 )
133114, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
134 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  d )  <_  b )
135 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b )
136 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (coe1 `  d
)  =  (coe1 `  d
)
137 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (coe1 `  e
)  =  (coe1 `  e
)
138 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( (coe1 `  d
) `  b )  =  ( (coe1 `  e
) `  b )
)
1398, 9, 3, 127, 132, 133, 120, 134, 125, 135, 136, 137, 138deg1sublt 19986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  ( d
( -g `  P ) e ) )  < 
b )
140114, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  J  e.  U
)
14113ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  I  C_  J )
142141ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  I  C_  J
)
143142, 124sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  e  e.  J
)
1444, 127lidlsubcl 16242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( P  e.  Ring  /\  J  e.  U )  /\  ( d  e.  J  /\  e  e.  J ) )  -> 
( d ( -g `  P ) e )  e.  J )
145115, 140, 119, 143, 144syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( d (
-g `  P )
e )  e.  J
)
146 simpll3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )
147 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  =  ( d (
-g `  P )
e )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  a )  =  ( ( deg1  `  R ) `  ( d ( -g `  P ) e ) ) )
148147breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  =  ( d (
-g `  P )
e )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  <->  ( ( deg1  `  R ) `  ( d ( -g `  P ) e ) )  <  b ) )
149 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  =  ( d (
-g `  P )
e )  ->  (
a  e.  I  <->  ( d
( -g `  P ) e )  e.  I
) )
150148, 149imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  =  ( d (
-g `  P )
e )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  ( d ( -g `  P ) e ) )  <  b  -> 
( d ( -g `  P ) e )  e.  I ) ) )
151150rspcva 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( d ( -g `  P ) e )  e.  J  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  ( (
( deg1  `
 R ) `  ( d ( -g `  P ) e ) )  <  b  -> 
( d ( -g `  P ) e )  e.  I ) )
152145, 146, 151syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( ( deg1  `  R ) `  (
d ( -g `  P
) e ) )  <  b  ->  (
d ( -g `  P
) e )  e.  I ) )
153139, 152mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( d (
-g `  P )
e )  e.  I
)
1544, 126lidlacl 16239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( ( d ( -g `  P
) e )  e.  I  /\  e  e.  I ) )  -> 
( ( d (
-g `  P )
e ) ( +g  `  P ) e )  e.  I )
155115, 131, 153, 124, 154syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( d ( -g `  P
) e ) ( +g  `  P ) e )  e.  I
)
156129, 155eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  d  e.  I
)
157156rexlimdvaa 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  ( E. e  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  ->  d  e.  I ) )
158113, 157syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  (
( (coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) }  ->  d  e.  I
) )
159111, 158mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  d  e.  I )
160159expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b  ->  d  e.  I ) )
16174, 160sylbid 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) )
162161ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  A. d  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  d )  <  ( b  +  1 )  ->  d  e.  I ) )
1631623exp 1152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  a
)  <  b  ->  a  e.  I )  ->  A. d  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  d )  <  ( b  +  1 )  ->  d  e.  I ) ) ) )
164163a2d 24 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  -> 
( ph  ->  A. d  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) ) ) )
16537, 41, 51, 41, 66, 164nn0ind 10322 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
166 rsp 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I )  ->  ( a  e.  J  ->  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
167165, 166syl6com 33 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( b  e.  NN0  ->  ( a  e.  J  ->  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) ) )
168167com23 74 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( a  e.  J  ->  ( b  e.  NN0  ->  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) ) )
169168imp 419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
b  e.  NN0  ->  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
170169rexlimdv 2789 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  ( E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )
17133, 170mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  a  e.  I )
172171ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  J  ->  a  e.  I ) )
173172ssrdv 3314 . 2  |-  ( ph  ->  J  C_  I )
1741, 173eqssd 3325 1  |-  ( ph  ->  I  =  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   E.wrex 2667    u. cun 3278    C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    -oocmnf 9074    < clt 9076    <_ cle 9077   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640   -gcsg 14643   Ringcrg 15615  LIdealclidl 16197  Poly1cpl1 16526  coe1cco1 16529   deg1 cdg1 19930  ldgIdlSeqcldgis 27193
This theorem is referenced by:  hbt  27202
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rlreg 16298  df-psr 16372  df-mpl 16374  df-opsr 16380  df-psr1 16531  df-ply1 16533  df-coe1 16536  df-cnfld 16659  df-mdeg 19931  df-deg1 19932  df-ldgis 27194
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