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Theorem hbtlem2 31277
Description: Leading coefficient ideals are ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
hbtlem.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
hbtlem.s  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
hbtlem2.t  |-  T  =  (LIdeal `  R )
Assertion
Ref Expression
hbtlem2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  e.  T )

Proof of Theorem hbtlem2
Dummy variables  a 
b  c  d  e  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 hbtlem.u . . 3  |-  U  =  (LIdeal `  P )
3 hbtlem.s . . 3  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
4 eqid 2457 . . 3  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
51, 2, 3, 4hbtlem1 31276 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  =  { a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
6 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
76, 2lidlss 17983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  U  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
873ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
98sselda 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  b  e.  I )  ->  b  e.  ( Base `  P ) )
10 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  (coe1 `  b
)  =  (coe1 `  b
)
11 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
1210, 6, 1, 11coe1f 18377 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( Base `  P
)  ->  (coe1 `  b
) : NN0 --> ( Base `  R ) )
139, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  b  e.  I )  ->  (coe1 `  b ) : NN0 --> ( Base `  R
) )
14 simpl3 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  b  e.  I )  ->  X  e.  NN0 )
1513, 14ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  b  e.  I )  ->  ( (coe1 `  b ) `  X )  e.  (
Base `  R )
)
16 eleq1a 2540 . . . . . . 7  |-  ( ( (coe1 `  b ) `  X )  e.  (
Base `  R )  ->  ( a  =  ( (coe1 `  b ) `  X )  ->  a  e.  ( Base `  R
) ) )
1715, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  b  e.  I )  ->  ( a  =  ( (coe1 `  b ) `  X )  ->  a  e.  ( Base `  R
) ) )
1817adantld 467 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  b  e.  I )  ->  ( ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  ->  a  e.  ( Base `  R
) ) )
1918rexlimdva 2949 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  -> 
a  e.  ( Base `  R ) ) )
2019abssdv 3570 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  C_  ( Base `  R )
)
211ply1ring 18416 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
22213ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  P  e.  Ring )
23 simp2 997 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  I  e.  U )
24 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
252, 24lidl0cl 17986 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( 0g `  P )  e.  I )
2622, 23, 25syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( 0g `  P )  e.  I )
274, 1, 24deg1z 22613 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( deg1  `  R ) `  ( 0g `  P ) )  = -oo )
28273ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  ( 0g `  P ) )  = -oo )
29 nn0ssre 10820 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  C_  RR
30 ressxr 9654 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
3129, 30sstri 3508 . . . . . . . . 9  |-  NN0  C_  RR*
32 simp3 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  X  e.  NN0 )
3331, 32sseldi 3497 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  X  e.  RR* )
34 mnfle 11367 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  RR*  -> -oo  <_  X )
3533, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  -> -oo  <_  X )
3628, 35eqbrtrd 4476 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  ( 0g `  P ) )  <_  X )
37 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
381, 24, 37coe1z 18431 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  (coe1 `  ( 0g `  P ) )  =  ( NN0  X.  { ( 0g `  R ) } ) )
39383ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (coe1 `  ( 0g `  P ) )  =  ( NN0 
X.  { ( 0g
`  R ) } ) )
4039fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( 0g `  P ) ) `  X )  =  ( ( NN0  X.  {
( 0g `  R
) } ) `  X ) )
41 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
4241fvconst2 6128 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  NN0  ->  ( ( NN0  X.  { ( 0g `  R ) } ) `  X
)  =  ( 0g
`  R ) )
43423ad2ant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( NN0  X.  { ( 0g `  R ) } ) `  X
)  =  ( 0g
`  R ) )
4440, 43eqtr2d 2499 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( 0g `  R )  =  ( (coe1 `  ( 0g `  P ) ) `  X ) )
45 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( 0g `  P )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  b )  =  ( ( deg1  `  R ) `  ( 0g `  P ) ) )
4645breq1d 4466 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( 0g `  P )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  <->  ( ( deg1  `  R ) `  ( 0g `  P ) )  <_  X )
)
47 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( 0g `  P )  ->  (coe1 `  b )  =  (coe1 `  ( 0g `  P
) ) )
4847fveq1d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( 0g `  P )  ->  (
(coe1 `  b ) `  X )  =  ( (coe1 `  ( 0g `  P ) ) `  X ) )
4948eqeq2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( 0g `  P )  ->  (
( 0g `  R
)  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  ( 0g `  R )  =  ( (coe1 `  ( 0g `  P ) ) `  X ) ) )
5046, 49anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( 0g `  P )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  ( 0g
`  R )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  ( 0g `  P ) )  <_  X  /\  ( 0g `  R )  =  ( (coe1 `  ( 0g `  P ) ) `
 X ) ) ) )
5150rspcev 3210 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0g `  P
)  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  ( 0g `  P ) )  <_  X  /\  ( 0g `  R )  =  ( (coe1 `  ( 0g `  P ) ) `  X ) ) )  ->  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  ( 0g
`  R )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
5226, 36, 44, 51syl12anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  ( 0g `  R
)  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
53 eqeq1 2461 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( 0g `  R )  ->  (
a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  ( 0g `  R )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
5453anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( 0g `  R )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  ( 0g `  R
)  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) ) )
5554rexbidv 2968 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( 0g `  R )  ->  ( E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  ( 0g `  R
)  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) ) )
5641, 55elab 3246 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  R )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  <->  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  ( 0g
`  R )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
5752, 56sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( 0g `  R )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
58 ne0i 3799 . . . 4  |-  ( ( 0g `  R )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  ->  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  =/=  (/) )
5957, 58syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  =/=  (/) )
6022adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  P  e.  Ring )
61 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  I  e.  U
)
62 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
631, 62, 11, 6ply1sclf 18453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( R  e.  Ring  ->  (algSc `  P ) : (
Base `  R ) --> ( Base `  P )
)
64633ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (algSc `  P ) : (
Base `  R ) --> ( Base `  P )
)
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  (algSc `  P
) : ( Base `  R ) --> ( Base `  P ) )
66 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  c  e.  (
Base `  R )
)
6765, 66ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( (algSc `  P ) `  c
)  e.  ( Base `  P ) )
68 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  ( Base `  R )  /\  (
( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  /\  ( g  e.  I  /\  (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X
) ) )  -> 
f  e.  I )
6968adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  f  e.  I
)
70 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
712, 6, 70lidlmcl 17992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( P  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( ( (algSc `  P ) `  c
)  e.  ( Base `  P )  /\  f  e.  I ) )  -> 
( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f )  e.  I )
7260, 61, 67, 69, 71syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f )  e.  I )
73 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( c  e.  ( Base `  R )  /\  (
( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  /\  ( g  e.  I  /\  (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X
) ) )  -> 
g  e.  I )
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  g  e.  I
)
75 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
762, 75lidlacl 17987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f )  e.  I  /\  g  e.  I )
)  ->  ( (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) ( +g  `  P ) g )  e.  I
)
7760, 61, 72, 74, 76syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  e.  I )
78 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
798adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  I  C_  ( Base `  P ) )
8079, 69sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  f  e.  (
Base `  P )
)
816, 70ringcl 17339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
(algSc `  P ) `  c )  e.  (
Base `  P )  /\  f  e.  ( Base `  P ) )  ->  ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f )  e.  ( Base `  P
) )
8260, 67, 80, 81syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f )  e.  ( Base `  P
) )
8379, 74sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  g  e.  (
Base `  P )
)
84 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  X  e.  NN0 )
8531, 84sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  X  e.  RR* )
864, 1, 6deg1xrcl 22608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f )  e.  ( Base `  P
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) )  e.  RR* )
8782, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  ( (
(algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) )  e.  RR* )
884, 1, 6deg1xrcl 22608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  e.  ( Base `  P
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  e.  RR* )
8980, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  f )  e.  RR* )
904, 1, 11, 6, 70, 62deg1mul3le 22643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
)  /\  f  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) )  <_  ( ( deg1  `  R
) `  f )
)
9178, 66, 80, 90syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  ( (
(algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) )  <_  (
( deg1  `
 R ) `  f ) )
92 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  ( Base `  R )  /\  (
( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  /\  ( g  e.  I  /\  (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X
) ) )  -> 
( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)
9392adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  f )  <_  X )
9487, 89, 85, 91, 93xrletrd 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  ( (
(algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) )  <_  X
)
95 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( c  e.  ( Base `  R )  /\  (
( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  /\  ( g  e.  I  /\  (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X
) ) )  -> 
( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
)
9695adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  g )  <_  X )
971, 4, 78, 6, 75, 82, 83, 85, 94, 96deg1addle2 22629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  ( (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) ( +g  `  P ) g ) )  <_  X )
98 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
991, 6, 75, 98coe1addfv 18433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f )  e.  ( Base `  P
)  /\  g  e.  ( Base `  P )
)  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X )  =  ( ( (coe1 `  (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) ) `
 X ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) ) )
10078, 82, 83, 84, 99syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( (coe1 `  (
( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X )  =  ( ( (coe1 `  (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) ) `
 X ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) ) )
101 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
1021, 6, 11, 62, 70, 101coe1sclmulfv 18451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
c  e.  ( Base `  R )  /\  f  e.  ( Base `  P
) )  /\  X  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ) `  X )  =  ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) )
10378, 66, 80, 84, 102syl121anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( (coe1 `  (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) ) `
 X )  =  ( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) )
104103oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( (coe1 `  ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ) `  X ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  =  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) ) )
105100, 104eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  =  ( (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X ) )
106 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  =  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  -> 
( ( deg1  `  R ) `  b )  =  ( ( deg1  `  R ) `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) )
107106breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  -> 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  <->  ( ( deg1  `  R
) `  ( (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) ( +g  `  P ) g ) )  <_  X ) )
108 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  =  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  -> 
(coe1 `  b )  =  (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) )
109108fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  =  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  -> 
( (coe1 `  b ) `  X )  =  ( (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X ) )
110109eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  -> 
( ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  =  ( (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X ) ) )
111107, 110anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( b  =  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  -> 
( ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) )  <_  X  /\  (
( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X ) ) ) )
112111rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R ) `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) )  <_  X  /\  (
( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X ) ) )  ->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
11377, 97, 105, 112syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
114 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) )  e.  _V
115 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  =  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  ->  ( a  =  ( (coe1 `  b
) `  X )  <->  ( ( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
116115anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  =  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  ->  ( (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) ) )
117116rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  =  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  ->  ( E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) ) )
118114, 117elab 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  <->  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
119113, 118sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  e.  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) } )
120119exp45 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
c  e.  ( Base `  R )  ->  (
( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  ->  ( (
g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
)  ->  ( (
c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) ) ) )
121120imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  ->  ( ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g
)  <_  X )  ->  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) ) )
122121exp5c 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( f  e.  I  ->  ( ( ( deg1  `  R
) `  f )  <_  X  ->  ( g  e.  I  ->  ( ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X  ->  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) ) ) ) )
123122imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  (
Base `  R )
)  /\  f  e.  I )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X  ->  ( g  e.  I  ->  ( ( ( deg1  `  R
) `  g )  <_  X  ->  ( (
c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) ) ) )
124123imp41 593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  /\  f  e.  I )  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  /\  g  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X
)  ->  ( (
c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
125 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  =  ( (coe1 `  g
) `  X )  ->  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  =  ( ( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) ) )
126125eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  ( (coe1 `  g
) `  X )  ->  ( ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) e )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  <-> 
( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
127124, 126syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  /\  f  e.  I )  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  /\  g  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X
)  ->  ( e  =  ( (coe1 `  g
) `  X )  ->  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
128127expimpd 603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  /\  f  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X
)  /\  g  e.  I )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  g )  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  g ) `  X ) )  -> 
( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
129128rexlimdva 2949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  /\  f  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X
)  ->  ( E. g  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  g ) `  X ) )  -> 
( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
130129alrimiv 1720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  /\  f  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X
)  ->  A. e
( E. g  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  g
)  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  g ) `  X
) )  ->  (
( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
131 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  e  ->  (
a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
132131anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  e  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) ) )
133132rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  e  ->  ( E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) ) )
134 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  g  ->  (
( deg1  `
 R ) `  b )  =  ( ( deg1  `  R ) `  g ) )
135134breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  g  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  <->  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) )
136 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  g  ->  (coe1 `  b )  =  (coe1 `  g ) )
137136fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  g  ->  (
(coe1 `  b ) `  X )  =  ( (coe1 `  g ) `  X ) )
138137eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  g  ->  (
e  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  e  =  ( (coe1 `  g ) `  X ) ) )
139135, 138anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  g  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  g ) `  X ) ) ) )
140139cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. g  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  g ) `  X ) ) )
141133, 140syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  e  ->  ( E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. g  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  g ) `  X ) ) ) )
142141ralab 3260 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  <->  A. e ( E. g  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  g ) `  X ) )  -> 
( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
143130, 142sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  /\  f  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X
)  ->  A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
144 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( (coe1 `  f
) `  X )  ->  ( c ( .r
`  R ) d )  =  ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) )
145144oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( (coe1 `  f
) `  X )  ->  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  =  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) e ) )
146145eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( (coe1 `  f
) `  X )  ->  ( ( ( c ( .r `  R
) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  <-> 
( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
147146ralbidv 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( (coe1 `  f
) `  X )  ->  ( A. e  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  <->  A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  (
( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
148143, 147syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  /\  f  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X
)  ->  ( d  =  ( (coe1 `  f
) `  X )  ->  A. e  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
149148expimpd 603 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  (
Base `  R )
)  /\  f  e.  I )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  f )  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  f ) `  X ) )  ->  A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  (
( c ( .r
`  R ) d ) ( +g  `  R
) e )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
150149rexlimdva 2949 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( E. f  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  f ) `  X
) )  ->  A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
151150alrimiv 1720 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  ->  A. d ( E. f  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  f ) `  X ) )  ->  A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  (
( c ( .r
`  R ) d ) ( +g  `  R
) e )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
152 eqeq1 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  d  ->  (
a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  d  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
153152anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) ) )
154153rexbidv 2968 . . . . . . 7  |-  ( a  =  d  ->  ( E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) ) )
155 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  f  ->  (
( deg1  `
 R ) `  b )  =  ( ( deg1  `  R ) `  f ) )
156155breq1d 4466 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  f  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  <->  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
) )
157 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  f  ->  (coe1 `  b )  =  (coe1 `  f ) )
158157fveq1d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  f  ->  (
(coe1 `  b ) `  X )  =  ( (coe1 `  f ) `  X ) )
159158eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  f  ->  (
d  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  d  =  ( (coe1 `  f ) `  X ) ) )
160156, 159anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  f  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  f ) `  X ) ) ) )
161160cbvrexv 3085 . . . . . . 7  |-  ( E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. f  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  f ) `  X ) ) )
162154, 161syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( a  =  d  ->  ( E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. f  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  f ) `  X ) ) ) )
163162ralab 3260 . . . . 5  |-  ( A. d  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } A. e  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  <->  A. d ( E. f  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  f ) `  X ) )  ->  A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  (
( c ( .r
`  R ) d ) ( +g  `  R
) e )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
164151, 163sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  ->  A. d  e.  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) } A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } )
165164ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  A. c  e.  ( Base `  R
) A. d  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } A. e  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } )
166 hbtlem2.t . . . 4  |-  T  =  (LIdeal `  R )
167166, 11, 98, 101islidl 17985 . . 3  |-  ( { a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  e.  T  <->  ( {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } 
C_  ( Base `  R
)  /\  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  =/=  (/)  /\  A. c  e.  ( Base `  R
) A. d  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } A. e  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
16820, 59, 165, 167syl3anbrc 1180 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  e.  T )
1695, 168eqeltrd 2545 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  e.  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1393    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   class class class wbr 4456    X. cxp 5006   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    <_ cle 9646   NN0cn0 10816   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   .rcmulr 14713   0gc0g 14857   Ringcrg 17325  LIdealclidl 17943  algSccascl 18087  Poly1cpl1 18343  coe1cco1 18344   deg1 cdg1 22578  ldgIdlSeqcldgis 31274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-lidl 17947  df-ascl 18090  df-psr 18132  df-mvr 18133  df-mpl 18134  df-opsr 18136  df-psr1 18346  df-vr1 18347  df-ply1 18348  df-coe1 18349  df-cnfld 18548  df-mdeg 22579  df-deg1 22580  df-ldgis 31275
This theorem is referenced by:  hbtlem7  31278  hbtlem6  31282
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