Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbtlem2 Structured version   Unicode version

Theorem hbtlem2 31277
 Description: Leading coefficient ideals are ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p Poly1
hbtlem.u LIdeal
hbtlem.s ldgIdlSeq
hbtlem2.t LIdeal
Assertion
Ref Expression
hbtlem2

Proof of Theorem hbtlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem.p . . 3 Poly1
2 hbtlem.u . . 3 LIdeal
3 hbtlem.s . . 3 ldgIdlSeq
4 eqid 2457 . . 3 deg1 deg1
51, 2, 3, 4hbtlem1 31276 . 2 deg1 coe1
6 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
76, 2lidlss 17983 . . . . . . . . . . 11
873ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10
98sselda 3499 . . . . . . . . 9
10 eqid 2457 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
11 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
1210, 6, 1, 11coe1f 18377 . . . . . . . . 9 coe1
139, 12syl 16 . . . . . . . 8 coe1
14 simpl3 1001 . . . . . . . 8
1513, 14ffvelrnd 6033 . . . . . . 7 coe1
16 eleq1a 2540 . . . . . . 7 coe1 coe1
1715, 16syl 16 . . . . . 6 coe1
1817adantld 467 . . . . 5 deg1 coe1
1918rexlimdva 2949 . . . 4 deg1 coe1
2019abssdv 3570 . . 3 deg1 coe1
211ply1ring 18416 . . . . . . . 8
22213ad2ant1 1017 . . . . . . 7
23 simp2 997 . . . . . . 7
24 eqid 2457 . . . . . . . 8
252, 24lidl0cl 17986 . . . . . . 7
2622, 23, 25syl2anc 661 . . . . . 6
274, 1, 24deg1z 22613 . . . . . . . 8 deg1
28273ad2ant1 1017 . . . . . . 7 deg1
29 nn0ssre 10820 . . . . . . . . . 10
30 ressxr 9654 . . . . . . . . . 10
3129, 30sstri 3508 . . . . . . . . 9
32 simp3 998 . . . . . . . . 9
3331, 32sseldi 3497 . . . . . . . 8
34 mnfle 11367 . . . . . . . 8
3533, 34syl 16 . . . . . . 7
3628, 35eqbrtrd 4476 . . . . . 6 deg1
37 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
381, 24, 37coe1z 18431 . . . . . . . . 9 coe1
39383ad2ant1 1017 . . . . . . . 8 coe1
4039fveq1d 5874 . . . . . . 7 coe1
41 fvex 5882 . . . . . . . . 9
4241fvconst2 6128 . . . . . . . 8
43423ad2ant3 1019 . . . . . . 7
4440, 43eqtr2d 2499 . . . . . 6 coe1
45 fveq2 5872 . . . . . . . . 9 deg1 deg1
4645breq1d 4466 . . . . . . . 8 deg1 deg1
47 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
4847fveq1d 5874 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
4948eqeq2d 2471 . . . . . . . 8 coe1 coe1
5046, 49anbi12d 710 . . . . . . 7 deg1 coe1 deg1 coe1
5150rspcev 3210 . . . . . 6 deg1 coe1 deg1 coe1
5226, 36, 44, 51syl12anc 1226 . . . . 5 deg1 coe1
53 eqeq1 2461 . . . . . . . 8 coe1 coe1
5453anbi2d 703 . . . . . . 7 deg1 coe1 deg1 coe1
5554rexbidv 2968 . . . . . 6 deg1 coe1 deg1 coe1
5641, 55elab 3246 . . . . 5 deg1 coe1 deg1 coe1
5752, 56sylibr 212 . . . 4 deg1 coe1
58 ne0i 3799 . . . 4 deg1 coe1 deg1 coe1
5957, 58syl 16 . . 3 deg1 coe1
6022adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1
61 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1
62 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 algSc algSc
631, 62, 11, 6ply1sclf 18453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 algSc
64633ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 algSc
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 deg1 deg1 algSc
66 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 deg1 deg1
6765, 66ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1 algSc
68 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 deg1 deg1
6968adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1
70 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
712, 6, 70lidlmcl 17992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 algSc algSc
7260, 61, 67, 69, 71syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1 algSc
73 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1
75 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
762, 75lidlacl 17987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 algSc algSc
7760, 61, 72, 74, 76syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 deg1 deg1 algSc
78 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1
798adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 deg1 deg1
8079, 69sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1
816, 70ringcl 17339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 algSc algSc
8260, 67, 80, 81syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1 algSc
8379, 74sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1
84 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1
8531, 84sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1
864, 1, 6deg1xrcl 22608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 algSc deg1 algSc
8782, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1 deg1 algSc
884, 1, 6deg1xrcl 22608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 deg1
8980, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1 deg1
904, 1, 11, 6, 70, 62deg1mul3le 22643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 deg1 algSc deg1
9178, 66, 80, 90syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1 deg1 algSc deg1
92 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 deg1 deg1 deg1
9392adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1 deg1
9487, 89, 85, 91, 93xrletrd 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1 deg1 algSc
95 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1 deg1
9695adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1 deg1
971, 4, 78, 6, 75, 82, 83, 85, 94, 96deg1addle2 22629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 deg1 deg1 deg1 algSc
98 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
991, 6, 75, 98coe1addfv 18433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 algSc coe1algSc coe1algSc coe1
10078, 82, 83, 84, 99syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1 coe1algSc coe1algSc coe1
101 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1021, 6, 11, 62, 70, 101coe1sclmulfv 18451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 coe1algSc coe1
10378, 66, 80, 84, 102syl121anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1 coe1algSc coe1
104103oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1 coe1algSc coe1 coe1 coe1
105100, 104eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 deg1 deg1 coe1 coe1 coe1algSc
106 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 algSc deg1 deg1 algSc
107106breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 algSc deg1 deg1 algSc
108 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 algSc coe1 coe1algSc
109108fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 algSc coe1 coe1algSc
110109eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 algSc coe1 coe1 coe1 coe1 coe1 coe1algSc
111107, 110anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 algSc deg1 coe1 coe1 coe1 deg1 algSc coe1 coe1 coe1algSc
112111rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 algSc deg1 algSc coe1 coe1 coe1algSc deg1 coe1 coe1 coe1
11377, 97, 105, 112syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 deg1 deg1 deg1 coe1 coe1 coe1
114 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 coe1 coe1
115 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 coe1 coe1 coe1 coe1 coe1 coe1
116115anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 coe1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 coe1 coe1
117116rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 coe1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 coe1 coe1
118114, 117elab 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 coe1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 coe1 coe1
119113, 118sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
120119exp45 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
121120imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
122121exp5c 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
123122imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
124123imp41 593 . . . . . . . . . . . . . 14 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
125 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15 coe1 coe1 coe1 coe1
126125eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1 coe1 deg1 coe1 coe1 coe1 deg1 coe1
127124, 126syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
128127expimpd 603 . . . . . . . . . . . 12 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
129128rexlimdva 2949 . . . . . . . . . . 11 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
130129alrimiv 1720 . . . . . . . . . 10 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
131 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1 coe1
132131anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13 deg1 coe1 deg1 coe1
133132rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . 12 deg1 coe1 deg1 coe1
134 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg1 deg1
135134breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . 14 deg1 deg1
136 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16 coe1 coe1
137136fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15 coe1 coe1
138137eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1 coe1
139135, 138anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13 deg1 coe1 deg1 coe1
140139cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . 12 deg1 coe1 deg1 coe1
141133, 140syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11 deg1 coe1 deg1 coe1
142141ralab 3260 . . . . . . . . . 10 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
143130, 142sylibr 212 . . . . . . . . 9 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
144 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12 coe1 coe1
145144oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1
146145eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10 coe1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
147146ralbidv 2896 . . . . . . . . 9 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
148143, 147syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1
149148expimpd 603 . . . . . . 7 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1
150149rexlimdva 2949 . . . . . 6 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1
151150alrimiv 1720 . . . . 5 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1
152 eqeq1 2461 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
153152anbi2d 703 . . . . . . . 8 deg1 coe1 deg1 coe1
154153rexbidv 2968 . . . . . . 7 deg1 coe1 deg1 coe1
155 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10 deg1 deg1
156155breq1d 4466 . . . . . . . . 9 deg1 deg1
157 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1
158157fveq1d 5874 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
159158eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
160156, 159anbi12d 710 . . . . . . . 8 deg1 coe1 deg1 coe1
161160cbvrexv 3085 . . . . . . 7 deg1 coe1 deg1 coe1
162154, 161syl6bb 261 . . . . . 6 deg1 coe1 deg1 coe1
163162ralab 3260 . . . . 5 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1
164151, 163sylibr 212 . . . 4 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1
165164ralrimiva 2871 . . 3 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1
166 hbtlem2.t . . . 4 LIdeal
167166, 11, 98, 101islidl 17985 . . 3 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1
16820, 59, 165, 167syl3anbrc 1180 . 2 deg1 coe1
1695, 168eqeltrd 2545 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973  wal 1393   wceq 1395   wcel 1819  cab 2442   wne 2652  wral 2807  wrex 2808   wss 3471  c0 3793  csn 4032   class class class wbr 4456   cxp 5006  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  cr 9508   cmnf 9643  cxr 9644   cle 9646  cn0 10816  cbs 14644   cplusg 14712  cmulr 14713  c0g 14857  crg 17325  LIdealclidl 17943  algSccascl 18087  Poly1cpl1 18343  coe1cco1 18344   deg1 cdg1 22578  ldgIdlSeqcldgis 31274 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-lidl 17947  df-ascl 18090  df-psr 18132  df-mvr 18133  df-mpl 18134  df-opsr 18136  df-psr1 18346  df-vr1 18347  df-ply1 18348  df-coe1 18349  df-cnfld 18548  df-mdeg 22579  df-deg1 22580  df-ldgis 31275 This theorem is referenced by:  hbtlem7  31278  hbtlem6  31282
 Copyright terms: Public domain W3C validator