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Theorem hbtlem2 30705
Description: Leading coefficient ideals are ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
hbtlem.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
hbtlem.s  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
hbtlem2.t  |-  T  =  (LIdeal `  R )
Assertion
Ref Expression
hbtlem2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  e.  T )

Proof of Theorem hbtlem2
Dummy variables  a 
b  c  d  e  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 hbtlem.u . . 3  |-  U  =  (LIdeal `  P )
3 hbtlem.s . . 3  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
4 eqid 2467 . . 3  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
51, 2, 3, 4hbtlem1 30704 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  =  { a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
6 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
76, 2lidlss 17656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  U  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
873ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
98sselda 3504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  b  e.  I )  ->  b  e.  ( Base `  P ) )
10 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  (coe1 `  b
)  =  (coe1 `  b
)
11 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
1210, 6, 1, 11coe1f 18049 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( Base `  P
)  ->  (coe1 `  b
) : NN0 --> ( Base `  R ) )
139, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  b  e.  I )  ->  (coe1 `  b ) : NN0 --> ( Base `  R
) )
14 simpl3 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  b  e.  I )  ->  X  e.  NN0 )
1513, 14ffvelrnd 6022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  b  e.  I )  ->  ( (coe1 `  b ) `  X )  e.  (
Base `  R )
)
16 eleq1a 2550 . . . . . . 7  |-  ( ( (coe1 `  b ) `  X )  e.  (
Base `  R )  ->  ( a  =  ( (coe1 `  b ) `  X )  ->  a  e.  ( Base `  R
) ) )
1715, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  b  e.  I )  ->  ( a  =  ( (coe1 `  b ) `  X )  ->  a  e.  ( Base `  R
) ) )
1817adantld 467 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  b  e.  I )  ->  ( ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  ->  a  e.  ( Base `  R
) ) )
1918rexlimdva 2955 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  -> 
a  e.  ( Base `  R ) ) )
2019abssdv 3574 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  C_  ( Base `  R )
)
211ply1rng 18088 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
22213ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  P  e.  Ring )
23 simp2 997 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  I  e.  U )
24 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
252, 24lidl0cl 17659 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( 0g `  P )  e.  I )
2622, 23, 25syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( 0g `  P )  e.  I )
274, 1, 24deg1z 22250 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( deg1  `  R ) `  ( 0g `  P ) )  = -oo )
28273ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  ( 0g `  P ) )  = -oo )
29 nn0ssre 10799 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  C_  RR
30 ressxr 9637 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
3129, 30sstri 3513 . . . . . . . . 9  |-  NN0  C_  RR*
32 simp3 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  X  e.  NN0 )
3331, 32sseldi 3502 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  X  e.  RR* )
34 mnfle 11342 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  RR*  -> -oo  <_  X )
3533, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  -> -oo  <_  X )
3628, 35eqbrtrd 4467 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  ( 0g `  P ) )  <_  X )
37 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
381, 24, 37coe1z 18103 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  (coe1 `  ( 0g `  P ) )  =  ( NN0  X.  { ( 0g `  R ) } ) )
39383ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (coe1 `  ( 0g `  P ) )  =  ( NN0 
X.  { ( 0g
`  R ) } ) )
4039fveq1d 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( 0g `  P ) ) `  X )  =  ( ( NN0  X.  {
( 0g `  R
) } ) `  X ) )
41 fvex 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
4241fvconst2 6116 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  NN0  ->  ( ( NN0  X.  { ( 0g `  R ) } ) `  X
)  =  ( 0g
`  R ) )
43423ad2ant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( NN0  X.  { ( 0g `  R ) } ) `  X
)  =  ( 0g
`  R ) )
4440, 43eqtr2d 2509 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( 0g `  R )  =  ( (coe1 `  ( 0g `  P ) ) `  X ) )
45 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( 0g `  P )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  b )  =  ( ( deg1  `  R ) `  ( 0g `  P ) ) )
4645breq1d 4457 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( 0g `  P )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  <->  ( ( deg1  `  R ) `  ( 0g `  P ) )  <_  X )
)
47 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( 0g `  P )  ->  (coe1 `  b )  =  (coe1 `  ( 0g `  P
) ) )
4847fveq1d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( 0g `  P )  ->  (
(coe1 `  b ) `  X )  =  ( (coe1 `  ( 0g `  P ) ) `  X ) )
4948eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( 0g `  P )  ->  (
( 0g `  R
)  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  ( 0g `  R )  =  ( (coe1 `  ( 0g `  P ) ) `  X ) ) )
5046, 49anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( 0g `  P )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  ( 0g
`  R )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  ( 0g `  P ) )  <_  X  /\  ( 0g `  R )  =  ( (coe1 `  ( 0g `  P ) ) `
 X ) ) ) )
5150rspcev 3214 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0g `  P
)  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  ( 0g `  P ) )  <_  X  /\  ( 0g `  R )  =  ( (coe1 `  ( 0g `  P ) ) `  X ) ) )  ->  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  ( 0g
`  R )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
5226, 36, 44, 51syl12anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  ( 0g `  R
)  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
53 eqeq1 2471 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( 0g `  R )  ->  (
a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  ( 0g `  R )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
5453anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( 0g `  R )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  ( 0g `  R
)  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) ) )
5554rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( 0g `  R )  ->  ( E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  ( 0g `  R
)  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) ) )
5641, 55elab 3250 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  R )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  <->  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  ( 0g
`  R )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
5752, 56sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( 0g `  R )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
58 ne0i 3791 . . . 4  |-  ( ( 0g `  R )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  ->  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  =/=  (/) )
5957, 58syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  =/=  (/) )
6022adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  P  e.  Ring )
61 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  I  e.  U
)
62 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
631, 62, 11, 6ply1sclf 18125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( R  e.  Ring  ->  (algSc `  P ) : (
Base `  R ) --> ( Base `  P )
)
64633ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (algSc `  P ) : (
Base `  R ) --> ( Base `  P )
)
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  (algSc `  P
) : ( Base `  R ) --> ( Base `  P ) )
66 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  c  e.  (
Base `  R )
)
6765, 66ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( (algSc `  P ) `  c
)  e.  ( Base `  P ) )
68 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  ( Base `  R )  /\  (
( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  /\  ( g  e.  I  /\  (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X
) ) )  -> 
f  e.  I )
6968adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  f  e.  I
)
70 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
712, 6, 70lidlmcl 17664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( P  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( ( (algSc `  P ) `  c
)  e.  ( Base `  P )  /\  f  e.  I ) )  -> 
( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f )  e.  I )
7260, 61, 67, 69, 71syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f )  e.  I )
73 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( c  e.  ( Base `  R )  /\  (
( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  /\  ( g  e.  I  /\  (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X
) ) )  -> 
g  e.  I )
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  g  e.  I
)
75 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
762, 75lidlacl 17660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f )  e.  I  /\  g  e.  I )
)  ->  ( (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) ( +g  `  P ) g )  e.  I
)
7760, 61, 72, 74, 76syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  e.  I )
78 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
798adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  I  C_  ( Base `  P ) )
8079, 69sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  f  e.  (
Base `  P )
)
816, 70rngcl 17013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
(algSc `  P ) `  c )  e.  (
Base `  P )  /\  f  e.  ( Base `  P ) )  ->  ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f )  e.  ( Base `  P
) )
8260, 67, 80, 81syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f )  e.  ( Base `  P
) )
8379, 74sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  g  e.  (
Base `  P )
)
84 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  X  e.  NN0 )
8531, 84sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  X  e.  RR* )
864, 1, 6deg1xrcl 22245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f )  e.  ( Base `  P
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) )  e.  RR* )
8782, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  ( (
(algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) )  e.  RR* )
884, 1, 6deg1xrcl 22245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  e.  ( Base `  P
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  e.  RR* )
8980, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  f )  e.  RR* )
904, 1, 11, 6, 70, 62deg1mul3le 22280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
)  /\  f  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) )  <_  ( ( deg1  `  R
) `  f )
)
9178, 66, 80, 90syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  ( (
(algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) )  <_  (
( deg1  `
 R ) `  f ) )
92 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  ( Base `  R )  /\  (
( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  /\  ( g  e.  I  /\  (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X
) ) )  -> 
( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)
9392adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  f )  <_  X )
9487, 89, 85, 91, 93xrletrd 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  ( (
(algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) )  <_  X
)
95 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( c  e.  ( Base `  R )  /\  (
( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  /\  ( g  e.  I  /\  (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X
) ) )  -> 
( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
)
9695adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  g )  <_  X )
971, 4, 78, 6, 75, 82, 83, 85, 94, 96deg1addle2 22266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  ( (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) ( +g  `  P ) g ) )  <_  X )
98 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
991, 6, 75, 98coe1addfv 18105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f )  e.  ( Base `  P
)  /\  g  e.  ( Base `  P )
)  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X )  =  ( ( (coe1 `  (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) ) `
 X ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) ) )
10078, 82, 83, 84, 99syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( (coe1 `  (
( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X )  =  ( ( (coe1 `  (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) ) `
 X ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) ) )
101 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
1021, 6, 11, 62, 70, 101coe1sclmulfv 18123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
c  e.  ( Base `  R )  /\  f  e.  ( Base `  P
) )  /\  X  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ) `  X )  =  ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) )
10378, 66, 80, 84, 102syl121anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( (coe1 `  (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) ) `
 X )  =  ( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) )
104103oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( (coe1 `  ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ) `  X ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  =  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) ) )
105100, 104eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  =  ( (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X ) )
106 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  =  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  -> 
( ( deg1  `  R ) `  b )  =  ( ( deg1  `  R ) `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) )
107106breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  -> 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  <->  ( ( deg1  `  R
) `  ( (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) ( +g  `  P ) g ) )  <_  X ) )
108 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  =  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  -> 
(coe1 `  b )  =  (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) )
109108fveq1d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  =  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  -> 
( (coe1 `  b ) `  X )  =  ( (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X ) )
110109eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  -> 
( ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  =  ( (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X ) ) )
111107, 110anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( b  =  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  -> 
( ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) )  <_  X  /\  (
( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X ) ) ) )
112111rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R ) `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) )  <_  X  /\  (
( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X ) ) )  ->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
11377, 97, 105, 112syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
114 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) )  e.  _V
115 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  =  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  ->  ( a  =  ( (coe1 `  b
) `  X )  <->  ( ( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
116115anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  =  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  ->  ( (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) ) )
117116rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  =  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  ->  ( E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) ) )
118114, 117elab 3250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  <->  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
119113, 118sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  e.  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) } )
120119exp45 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
c  e.  ( Base `  R )  ->  (
( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  ->  ( (
g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
)  ->  ( (
c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) ) ) )
121120imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  ->  ( ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g
)  <_  X )  ->  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) ) )
122121exp5c 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( f  e.  I  ->  ( ( ( deg1  `  R
) `  f )  <_  X  ->  ( g  e.  I  ->  ( ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X  ->  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) ) ) ) )
123122imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  (
Base `  R )
)  /\  f  e.  I )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X  ->  ( g  e.  I  ->  ( ( ( deg1  `  R
) `  g )  <_  X  ->  ( (
c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) ) ) )
124123imp41 593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  /\  f  e.  I )  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  /\  g  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X
)  ->  ( (
c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
125 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  =  ( (coe1 `  g
) `  X )  ->  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  =  ( ( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) ) )
126125eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  ( (coe1 `  g
) `  X )  ->  ( ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) e )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  <-> 
( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
127124, 126syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  /\  f  e.  I )  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  /\  g  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X
)  ->  ( e  =  ( (coe1 `  g
) `  X )  ->  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
128127expimpd 603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  /\  f  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X
)  /\  g  e.  I )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  g )  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  g ) `  X ) )  -> 
( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
129128rexlimdva 2955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  /\  f  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X
)  ->  ( E. g  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  g ) `  X ) )  -> 
( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
130129alrimiv 1695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  /\  f  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X
)  ->  A. e
( E. g  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  g
)  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  g ) `  X
) )  ->  (
( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
131 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  e  ->  (
a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
132131anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  e  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) ) )
133132rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  e  ->  ( E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) ) )
134 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  g  ->  (
( deg1  `
 R ) `  b )  =  ( ( deg1  `  R ) `  g ) )
135134breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  g  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  <->  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) )
136 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  g  ->  (coe1 `  b )  =  (coe1 `  g ) )
137136fveq1d 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  g  ->  (
(coe1 `  b ) `  X )  =  ( (coe1 `  g ) `  X ) )
138137eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  g  ->  (
e  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  e  =  ( (coe1 `  g ) `  X ) ) )
139135, 138anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  g  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  g ) `  X ) ) ) )
140139cbvrexv 3089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. g  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  g ) `  X ) ) )
141133, 140syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  e  ->  ( E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. g  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  g ) `  X ) ) ) )
142141ralab 3264 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  <->  A. e ( E. g  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  g ) `  X ) )  -> 
( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
143130, 142sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  /\  f  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X
)  ->  A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
144 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( (coe1 `  f
) `  X )  ->  ( c ( .r
`  R ) d )  =  ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) )
145144oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( (coe1 `  f
) `  X )  ->  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  =  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) e ) )
146145eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( (coe1 `  f
) `  X )  ->  ( ( ( c ( .r `  R
) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  <-> 
( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
147146ralbidv 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( (coe1 `  f
) `  X )  ->  ( A. e  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  <->  A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  (
( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
148143, 147syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  /\  f  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X
)  ->  ( d  =  ( (coe1 `  f
) `  X )  ->  A. e  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
149148expimpd 603 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  (
Base `  R )
)  /\  f  e.  I )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  f )  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  f ) `  X ) )  ->  A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  (
( c ( .r
`  R ) d ) ( +g  `  R
) e )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
150149rexlimdva 2955 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( E. f  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  f ) `  X
) )  ->  A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
151150alrimiv 1695 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  ->  A. d ( E. f  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  f ) `  X ) )  ->  A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  (
( c ( .r
`  R ) d ) ( +g  `  R
) e )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
152 eqeq1 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  d  ->  (
a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  d  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
153152anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) ) )
154153rexbidv 2973 . . . . . . 7  |-  ( a  =  d  ->  ( E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) ) )
155 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  f  ->  (
( deg1  `
 R ) `  b )  =  ( ( deg1  `  R ) `  f ) )
156155breq1d 4457 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  f  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  <->  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
) )
157 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  f  ->  (coe1 `  b )  =  (coe1 `  f ) )
158157fveq1d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  f  ->  (
(coe1 `  b ) `  X )  =  ( (coe1 `  f ) `  X ) )
159158eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  f  ->  (
d  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  d  =  ( (coe1 `  f ) `  X ) ) )
160156, 159anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  f  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  f ) `  X ) ) ) )
161160cbvrexv 3089 . . . . . . 7  |-  ( E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. f  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  f ) `  X ) ) )
162154, 161syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( a  =  d  ->  ( E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. f  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  f ) `  X ) ) ) )
163162ralab 3264 . . . . 5  |-  ( A. d  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } A. e  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  <->  A. d ( E. f  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  f ) `  X ) )  ->  A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  (
( c ( .r
`  R ) d ) ( +g  `  R
) e )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
164151, 163sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  ->  A. d  e.  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) } A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } )
165164ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  A. c  e.  ( Base `  R
) A. d  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } A. e  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } )
166 hbtlem2.t . . . 4  |-  T  =  (LIdeal `  R )
167166, 11, 98, 101islidl 17658 . . 3  |-  ( { a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  e.  T  <->  ( {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } 
C_  ( Base `  R
)  /\  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  =/=  (/)  /\  A. c  e.  ( Base `  R
) A. d  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } A. e  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
16820, 59, 165, 167syl3anbrc 1180 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  e.  T )
1695, 168eqeltrd 2555 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  e.  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   -oocmnf 9626   RR*cxr 9627    <_ cle 9629   NN0cn0 10795   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   .rcmulr 14556   0gc0g 14695   Ringcrg 17000  LIdealclidl 17616  algSccascl 17759  Poly1cpl1 18015  coe1cco1 18016   deg1 cdg1 22215  ldgIdlSeqcldgis 30702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-ofr 6525  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-subrg 17227  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-lidl 17620  df-ascl 17762  df-psr 17804  df-mvr 17805  df-mpl 17806  df-opsr 17808  df-psr1 18018  df-vr1 18019  df-ply1 18020  df-coe1 18021  df-cnfld 18220  df-mdeg 22216  df-deg1 22217  df-ldgis 30703
This theorem is referenced by:  hbtlem7  30706  hbtlem6  30710
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