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Theorem hbt 27202
Description: The Hilbert Basis Theorem - the ring of univariate polynomials over a Noetherian ring is a Noetherian ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hbt.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
hbt  |-  ( R  e. LNoeR  ->  P  e. LNoeR )

Proof of Theorem hbt
Dummy variables  a 
b  c  e  f  g  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnrrng 27184 . . 3  |-  ( R  e. LNoeR  ->  R  e.  Ring )
2 hbt.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32ply1rng 16597 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( R  e. LNoeR  ->  P  e.  Ring )
5 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  (LIdeal `  R )  =  (LIdeal `  R )
75, 6islnr3 27187 . . . . . . 7  |-  ( R  e. LNoeR 
<->  ( R  e.  Ring  /\  (LIdeal `  R )  e.  (NoeACS `  ( Base `  R ) ) ) )
87simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( R  e. LNoeR  ->  (LIdeal `  R )  e.  (NoeACS `  ( Base `  R ) ) )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  (LIdeal `  R
)  e.  (NoeACS `  ( Base `  R )
) )
10 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  (LIdeal `  P )  =  (LIdeal `  P )
11 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  (ldgIdlSeq `  R
)  =  (ldgIdlSeq `  R
)
122, 10, 11, 6hbtlem7 27197 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a
) : NN0 --> (LIdeal `  R ) )
131, 12sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a
) : NN0 --> (LIdeal `  R ) )
141ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  b  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
15 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  b  e.  NN0 )  ->  a  e.  (LIdeal `  P ) )
16 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  b  e.  NN0 )  ->  b  e.  NN0 )
17 peano2nn0 10216 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( b  +  1 )  e. 
NN0 )
1817adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( b  +  1 )  e. 
NN0 )
19 nn0re 10186 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
2019lep1d 9898 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  <_ 
( b  +  1 ) )
2120adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  b  e.  NN0 )  ->  b  <_  ( b  +  1 ) )
222, 10, 11, 14, 15, 16, 18, 21hbtlem4 27198 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  b
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  (
b  +  1 ) ) )
2322ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  A. b  e.  NN0  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a
) `  b )  C_  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  ( b  +  1 ) ) )
24 nacsfix 26656 . . . . 5  |-  ( ( (LIdeal `  R )  e.  (NoeACS `  ( Base `  R ) )  /\  ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) : NN0 --> (LIdeal `  R )  /\  A. b  e.  NN0  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  b
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  (
b  +  1 ) ) )  ->  E. c  e.  NN0  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) )
259, 13, 23, 24syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  E. c  e.  NN0  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) )
26 fzfi 11266 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... c )  e. 
Fin
27 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  (RSpan `  P )  =  (RSpan `  P )
28 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  e  e.  ( 0 ... c
) )  ->  R  e. LNoeR )
29 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  e  e.  ( 0 ... c
) )  ->  a  e.  (LIdeal `  P )
)
30 elfznn0 11039 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  ( 0 ... c )  ->  e  e.  NN0 )
3130adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  e  e.  ( 0 ... c
) )  ->  e  e.  NN0 )
322, 10, 11, 27, 28, 29, 31hbtlem6 27201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  e  e.  ( 0 ... c
) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  e
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  b ) ) `  e ) )
3332ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  A. e  e.  ( 0 ... c
) E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  e
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  b ) ) `  e ) )
34 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( f `  e )  ->  (
(RSpan `  P ) `  b )  =  ( (RSpan `  P ) `  ( f `  e
) ) )
3534fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( f `  e )  ->  (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  b ) )  =  ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  e )
) ) )
3635fveq1d 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( f `  e )  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  b )
) `  e )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  (
(RSpan `  P ) `  ( f `  e
) ) ) `  e ) )
3736sseq2d 3336 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( f `  e )  ->  (
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  b )
) `  e )  <->  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )
3837ac6sfi 7310 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0 ... c
)  e.  Fin  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  b )
) `  e )
)  ->  E. f
( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a  i^i 
Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )
3926, 33, 38sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  E. f
( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a  i^i 
Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )
4039adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  ( c  e.  NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  ->  E. f ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )
41 frn 5556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ran  f  C_  ( ~P a  i^i  Fin )
)
4241ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ran  f  C_  ( ~P a  i^i  Fin ) )
43 inss1 3521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P a  i^i  Fin )  C_ 
~P a
4442, 43syl6ss 3320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ran  f  C_  ~P a )
4544unissd 3999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  C_ 
U. ~P a )
46 unipw 4374 . . . . . . . . . 10  |-  U. ~P a  =  a
4745, 46syl6sseq 3354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  C_  a )
48 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  a  e.  (LIdeal `  P ) )
49 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
5049, 10lidlss 16235 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  (LIdeal `  P
)  ->  a  C_  ( Base `  P )
)
5148, 50syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  a  C_  ( Base `  P )
)
5247, 51sstrd 3318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  C_  ( Base `  P
) )
53 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  P )  e.  _V
5453elpw2 4324 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  f  e.  ~P ( Base `  P )  <->  U.
ran  f  C_  ( Base `  P ) )
5552, 54sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  e.  ~P ( Base `  P
) )
56 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  f :
( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin ) )
57 ffn 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a  i^i  Fin )  ->  f  Fn  ( 0 ... c ) )
58 fniunfv 5953 . . . . . . . . 9  |-  ( f  Fn  ( 0 ... c )  ->  U_ g  e.  ( 0 ... c
) ( f `  g )  =  U. ran  f )
5956, 57, 583syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U_ g  e.  ( 0 ... c
) ( f `  g )  =  U. ran  f )
60 inss2 3522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P a  i^i  Fin )  C_ 
Fin
6156ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e.  ( 0 ... c
) )  ->  (
f `  g )  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) )
6260, 61sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e.  ( 0 ... c
) )  ->  (
f `  g )  e.  Fin )
6362ralrimiva 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  A. g  e.  ( 0 ... c
) ( f `  g )  e.  Fin )
64 iunfi 7353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0 ... c
)  e.  Fin  /\  A. g  e.  ( 0 ... c ) ( f `  g )  e.  Fin )  ->  U_ g  e.  (
0 ... c ) ( f `  g )  e.  Fin )
6526, 63, 64sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U_ g  e.  ( 0 ... c
) ( f `  g )  e.  Fin )
6659, 65eqeltrrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  e.  Fin )
67 elin 3490 . . . . . . 7  |-  ( U. ran  f  e.  ( ~P ( Base `  P
)  i^i  Fin )  <->  ( U. ran  f  e. 
~P ( Base `  P
)  /\  U. ran  f  e.  Fin ) )
6855, 66, 67sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) )
691ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  R  e.  Ring )
704ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  P  e.  Ring )
7127, 49, 10rspcl 16248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  U. ran  f  C_  ( Base `  P ) )  -> 
( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
)  e.  (LIdeal `  P ) )
7270, 52, 71syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f )  e.  (LIdeal `  P ) )
7327, 10rspssp 16252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  a  e.  (LIdeal `  P )  /\  U. ran  f  C_  a )  ->  (
(RSpan `  P ) `  U. ran  f ) 
C_  a )
7470, 48, 47, 73syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f )  C_  a
)
75 nn0re 10186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  NN0  ->  g  e.  RR )
7675adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  ->  g  e.  RR )
77 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  c  e.  NN0 )
7877adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  ->  c  e.  NN0 )
7978nn0red 10231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  ->  c  e.  RR )
80 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
g  e.  NN0 )
81 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
g  <_  c )
8277adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
c  e.  NN0 )
83 fznn0 11069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  NN0  ->  ( g  e.  ( 0 ... c )  <->  ( g  e.  NN0  /\  g  <_ 
c ) ) )
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( g  e.  ( 0 ... c )  <-> 
( g  e.  NN0  /\  g  <_  c )
) )
8580, 81, 84mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
g  e.  ( 0 ... c ) )
86 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  ->  A. e  e.  (
0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) )
87 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  =  g  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  e
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
) )
88 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  =  g  ->  (
f `  e )  =  ( f `  g ) )
8988fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( e  =  g  ->  (
(RSpan `  P ) `  ( f `  e
) )  =  ( (RSpan `  P ) `  ( f `  g
) ) )
9089fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  =  g  ->  (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  ( f `  e
) ) )  =  ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  g )
) ) )
91 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  =  g  ->  e  =  g )
9290, 91fveq12d 5693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  =  g  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  g )
) ) `  g
) )
9387, 92sseq12d 3337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  g  ->  (
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e )  <->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  ( f `  g
) ) ) `  g ) ) )
9493rspcva 3010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  e.  ( 0 ... c )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) )  ->  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a
) `  g )  C_  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  g )
) ) `  g
) )
9585, 86, 94syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  g ) ) ) `
 g ) )
9669adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  ->  R  e.  Ring )
97 fvssunirn 5713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f `
 g )  C_  U.
ran  f
9897, 52syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( f `  g )  C_  ( Base `  P ) )
9927, 49, 10rspcl 16248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
f `  g )  C_  ( Base `  P
) )  ->  (
(RSpan `  P ) `  ( f `  g
) )  e.  (LIdeal `  P ) )
10070, 98, 99syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  g )
)  e.  (LIdeal `  P ) )
101100adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( (RSpan `  P
) `  ( f `  g ) )  e.  (LIdeal `  P )
)
10272adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
)  e.  (LIdeal `  P ) )
10369, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  P  e.  Ring )
104103adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  ->  P  e.  Ring )
10527, 49rspssid 16249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  U. ran  f  C_  ( Base `  P ) )  ->  U. ran  f  C_  (
(RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
10670, 52, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  C_  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) )
107106adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  ->  U. ran  f  C_  (
(RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
10897, 107syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( f `  g
)  C_  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
10927, 10rspssp 16252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
(RSpan `  P ) `  U. ran  f )  e.  (LIdeal `  P
)  /\  ( f `  g )  C_  (
(RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )  ->  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  g )
)  C_  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
110104, 102, 108, 109syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( (RSpan `  P
) `  ( f `  g ) )  C_  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
1112, 10, 11, 96, 101, 102, 110, 80hbtlem3 27199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  g )
) ) `  g
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  g ) )
11295, 111sstrd 3318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) )
113112anassrs 630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  ( c  e.  NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  /\  g  <_  c )  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  g ) )
114 nn0z 10260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  NN0  ->  c  e.  ZZ )
115114adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  NN0  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g )
)  ->  c  e.  ZZ )
116 nn0z 10260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  NN0  ->  g  e.  ZZ )
117116ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  NN0  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g )
)  ->  g  e.  ZZ )
118 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  NN0  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g )
)  ->  c  <_  g )
119 eluz2 10450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( ZZ>= `  c
)  <->  ( c  e.  ZZ  /\  g  e.  ZZ  /\  c  <_ 
g ) )
120115, 117, 118, 119syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  NN0  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g )
)  ->  g  e.  ( ZZ>= `  c )
)
12177, 120sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
g  e.  ( ZZ>= `  c ) )
122 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  ( c  e.  NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  ->  A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) )
123122ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  ->  A. d  e.  ( ZZ>=
`  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) )
124 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  g  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  d
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
) )
125124eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  g  ->  (
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c )  <->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
) ) )
126125rspcva 3010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  e.  ( ZZ>= `  c )  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  d
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
) )  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
) )
127121, 123, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) )
12877nn0red 10231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  c  e.  RR )
129128leidd 9549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  c  <_  c )
130112expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  ->  (
g  <_  c  ->  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) ) )
131130ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  A. g  e.  NN0  ( g  <_ 
c  ->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  g ) ) )
132 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  c  ->  (
g  <_  c  <->  c  <_  c ) )
133 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  c  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
) )
134 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  c  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  c
) )
135133, 134sseq12d 3337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  c  ->  (
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
)  <->  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a
) `  c )  C_  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  c ) ) )
136132, 135imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  c  ->  (
( g  <_  c  ->  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) )  <->  ( c  <_  c  ->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  c ) ) ) )
137136rspcva 3010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  e.  NN0  /\  A. g  e.  NN0  (
g  <_  c  ->  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) ) )  -> 
( c  <_  c  ->  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  c
) ) )
13877, 131, 137syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( c  <_  c  ->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  c ) ) )
139129, 138mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  c ) )
140139adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  c
) )
14169adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  ->  R  e.  Ring )
14272adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
)  e.  (LIdeal `  P ) )
14377adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
c  e.  NN0 )
144 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
g  e.  NN0 )
145 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
c  <_  g )
1462, 10, 11, 141, 142, 143, 144, 145hbtlem4 27198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  c )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) )
147140, 146sstrd 3318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) )
148127, 147eqsstrd 3342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) )
149148anassrs 630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  ( c  e.  NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  /\  c  <_  g )  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  g ) )
15076, 79, 113, 149lecasei 9135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  g ) )
151150ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  A. g  e.  NN0  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a
) `  g )  C_  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  g ) )
1522, 10, 11, 69, 72, 48, 74, 151hbtlem5 27200 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f )  =  a )
153152eqcomd 2409 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  a  =  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
154 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  U. ran  f  ->  ( (RSpan `  P
) `  b )  =  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
155154eqeq2d 2415 . . . . . . 7  |-  ( b  =  U. ran  f  ->  ( a  =  ( (RSpan `  P ) `  b )  <->  a  =  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) )
156155rspcev 3012 . . . . . 6  |-  ( ( U. ran  f  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin )  /\  a  =  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) a  =  ( (RSpan `  P ) `  b ) )
15768, 153, 156syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) a  =  ( (RSpan `  P ) `  b ) )
15840, 157exlimddv 1645 . . . 4  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  ( c  e.  NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  P
)  i^i  Fin )
a  =  ( (RSpan `  P ) `  b
) )
15925, 158rexlimddv 2794 . . 3  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) a  =  ( (RSpan `  P ) `  b ) )
160159ralrimiva 2749 . 2  |-  ( R  e. LNoeR  ->  A. a  e.  (LIdeal `  P ) E. b  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) a  =  ( (RSpan `  P ) `  b ) )
16149, 10, 27islnr2 27186 . 2  |-  ( P  e. LNoeR 
<->  ( P  e.  Ring  /\ 
A. a  e.  (LIdeal `  P ) E. b  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) a  =  ( (RSpan `  P ) `  b ) ) )
1624, 160, 161sylanbrc 646 1  |-  ( R  e. LNoeR  ->  P  e. LNoeR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   U_ciun 4053   class class class wbr 4172   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    <_ cle 9077   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   Basecbs 13424   Ringcrg 15615  LIdealclidl 16197  RSpancrsp 16198  Poly1cpl1 16526  NoeACScnacs 26646  LNoeRclnr 27181  ldgIdlSeqcldgis 27193
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ocomp 13505  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-preset 14340  df-drs 14341  df-poset 14358  df-ipo 14533  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-rlreg 16298  df-ascl 16329  df-psr 16372  df-mvr 16373  df-mpl 16374  df-opsr 16380  df-psr1 16531  df-vr1 16532  df-ply1 16533  df-coe1 16536  df-cnfld 16659  df-mdeg 19931  df-deg1 19932  df-nacs 26647  df-lfig 27034  df-lnm 27042  df-lnr 27182  df-ldgis 27194
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