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Theorem hbt 31283
Description: The Hilbert Basis Theorem - the ring of univariate polynomials over a Noetherian ring is a Noetherian ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hbt.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
hbt  |-  ( R  e. LNoeR  ->  P  e. LNoeR )

Proof of Theorem hbt
Dummy variables  a 
b  c  e  f  g  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnrring 31265 . . 3  |-  ( R  e. LNoeR  ->  R  e.  Ring )
2 hbt.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32ply1ring 18416 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( R  e. LNoeR  ->  P  e.  Ring )
5 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  (LIdeal `  R )  =  (LIdeal `  R )
75, 6islnr3 31268 . . . . . . 7  |-  ( R  e. LNoeR 
<->  ( R  e.  Ring  /\  (LIdeal `  R )  e.  (NoeACS `  ( Base `  R ) ) ) )
87simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( R  e. LNoeR  ->  (LIdeal `  R )  e.  (NoeACS `  ( Base `  R ) ) )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  (LIdeal `  R
)  e.  (NoeACS `  ( Base `  R )
) )
10 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  (LIdeal `  P )  =  (LIdeal `  P )
11 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  (ldgIdlSeq `  R
)  =  (ldgIdlSeq `  R
)
122, 10, 11, 6hbtlem7 31278 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a
) : NN0 --> (LIdeal `  R ) )
131, 12sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a
) : NN0 --> (LIdeal `  R ) )
141ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  b  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
15 simplr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  b  e.  NN0 )  ->  a  e.  (LIdeal `  P ) )
16 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  b  e.  NN0 )  ->  b  e.  NN0 )
17 peano2nn0 10857 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( b  +  1 )  e. 
NN0 )
1817adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( b  +  1 )  e. 
NN0 )
19 nn0re 10825 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
2019lep1d 10497 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  <_ 
( b  +  1 ) )
2120adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  b  e.  NN0 )  ->  b  <_  ( b  +  1 ) )
222, 10, 11, 14, 15, 16, 18, 21hbtlem4 31279 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  b
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  (
b  +  1 ) ) )
2322ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  A. b  e.  NN0  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a
) `  b )  C_  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  ( b  +  1 ) ) )
24 nacsfix 30849 . . . . 5  |-  ( ( (LIdeal `  R )  e.  (NoeACS `  ( Base `  R ) )  /\  ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) : NN0 --> (LIdeal `  R )  /\  A. b  e.  NN0  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  b
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  (
b  +  1 ) ) )  ->  E. c  e.  NN0  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) )
259, 13, 23, 24syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  E. c  e.  NN0  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) )
26 fzfi 12085 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... c )  e. 
Fin
27 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  (RSpan `  P )  =  (RSpan `  P )
28 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  e  e.  ( 0 ... c
) )  ->  R  e. LNoeR )
29 simplr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  e  e.  ( 0 ... c
) )  ->  a  e.  (LIdeal `  P )
)
30 elfznn0 11797 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  ( 0 ... c )  ->  e  e.  NN0 )
3130adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  e  e.  ( 0 ... c
) )  ->  e  e.  NN0 )
322, 10, 11, 27, 28, 29, 31hbtlem6 31282 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  e  e.  ( 0 ... c
) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  e
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  b ) ) `  e ) )
3332ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  A. e  e.  ( 0 ... c
) E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  e
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  b ) ) `  e ) )
34 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( f `  e )  ->  (
(RSpan `  P ) `  b )  =  ( (RSpan `  P ) `  ( f `  e
) ) )
3534fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( f `  e )  ->  (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  b ) )  =  ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  e )
) ) )
3635fveq1d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( f `  e )  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  b )
) `  e )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  (
(RSpan `  P ) `  ( f `  e
) ) ) `  e ) )
3736sseq2d 3527 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( f `  e )  ->  (
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  b )
) `  e )  <->  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )
3837ac6sfi 7782 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0 ... c
)  e.  Fin  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  b )
) `  e )
)  ->  E. f
( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a  i^i 
Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )
3926, 33, 38sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  E. f
( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a  i^i 
Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )
4039adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  ( c  e.  NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  ->  E. f ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )
41 frn 5743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ran  f  C_  ( ~P a  i^i  Fin )
)
4241ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ran  f  C_  ( ~P a  i^i  Fin ) )
43 inss1 3714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P a  i^i  Fin )  C_ 
~P a
4442, 43syl6ss 3511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ran  f  C_  ~P a )
4544unissd 4275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  C_ 
U. ~P a )
46 unipw 4706 . . . . . . . . . 10  |-  U. ~P a  =  a
4745, 46syl6sseq 3545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  C_  a )
48 simpllr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  a  e.  (LIdeal `  P ) )
49 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
5049, 10lidlss 17983 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  (LIdeal `  P
)  ->  a  C_  ( Base `  P )
)
5148, 50syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  a  C_  ( Base `  P )
)
5247, 51sstrd 3509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  C_  ( Base `  P
) )
53 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  P )  e.  _V
5453elpw2 4620 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  f  e.  ~P ( Base `  P )  <->  U.
ran  f  C_  ( Base `  P ) )
5552, 54sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  e.  ~P ( Base `  P
) )
56 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  f :
( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin ) )
57 ffn 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a  i^i  Fin )  ->  f  Fn  ( 0 ... c ) )
58 fniunfv 6160 . . . . . . . . 9  |-  ( f  Fn  ( 0 ... c )  ->  U_ g  e.  ( 0 ... c
) ( f `  g )  =  U. ran  f )
5956, 57, 583syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U_ g  e.  ( 0 ... c
) ( f `  g )  =  U. ran  f )
60 inss2 3715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P a  i^i  Fin )  C_ 
Fin
6156ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e.  ( 0 ... c
) )  ->  (
f `  g )  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) )
6260, 61sseldi 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e.  ( 0 ... c
) )  ->  (
f `  g )  e.  Fin )
6362ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  A. g  e.  ( 0 ... c
) ( f `  g )  e.  Fin )
64 iunfi 7826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0 ... c
)  e.  Fin  /\  A. g  e.  ( 0 ... c ) ( f `  g )  e.  Fin )  ->  U_ g  e.  (
0 ... c ) ( f `  g )  e.  Fin )
6526, 63, 64sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U_ g  e.  ( 0 ... c
) ( f `  g )  e.  Fin )
6659, 65eqeltrrd 2546 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  e.  Fin )
6755, 66elind 3684 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) )
681ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  R  e.  Ring )
694ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  P  e.  Ring )
7027, 49, 10rspcl 17997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  U. ran  f  C_  ( Base `  P ) )  -> 
( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
)  e.  (LIdeal `  P ) )
7169, 52, 70syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f )  e.  (LIdeal `  P ) )
7227, 10rspssp 18001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  a  e.  (LIdeal `  P )  /\  U. ran  f  C_  a )  ->  (
(RSpan `  P ) `  U. ran  f ) 
C_  a )
7369, 48, 47, 72syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f )  C_  a
)
74 nn0re 10825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  NN0  ->  g  e.  RR )
7574adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  ->  g  e.  RR )
76 simplrl 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  c  e.  NN0 )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  ->  c  e.  NN0 )
7877nn0red 10874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  ->  c  e.  RR )
79 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
g  e.  NN0 )
80 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
g  <_  c )
8176adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
c  e.  NN0 )
82 fznn0 11796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  NN0  ->  ( g  e.  ( 0 ... c )  <->  ( g  e.  NN0  /\  g  <_ 
c ) ) )
8381, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( g  e.  ( 0 ... c )  <-> 
( g  e.  NN0  /\  g  <_  c )
) )
8479, 80, 83mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
g  e.  ( 0 ... c ) )
85 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  ->  A. e  e.  (
0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) )
86 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  =  g  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  e
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
) )
87 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  =  g  ->  (
f `  e )  =  ( f `  g ) )
8887fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( e  =  g  ->  (
(RSpan `  P ) `  ( f `  e
) )  =  ( (RSpan `  P ) `  ( f `  g
) ) )
8988fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  =  g  ->  (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  ( f `  e
) ) )  =  ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  g )
) ) )
90 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  =  g  ->  e  =  g )
9189, 90fveq12d 5878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  =  g  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  g )
) ) `  g
) )
9286, 91sseq12d 3528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  g  ->  (
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e )  <->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  ( f `  g
) ) ) `  g ) ) )
9392rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  e.  ( 0 ... c )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) )  ->  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a
) `  g )  C_  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  g )
) ) `  g
) )
9484, 85, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  g ) ) ) `
 g ) )
9568adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  ->  R  e.  Ring )
96 fvssunirn 5895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f `
 g )  C_  U.
ran  f
9796, 52syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( f `  g )  C_  ( Base `  P ) )
9827, 49, 10rspcl 17997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
f `  g )  C_  ( Base `  P
) )  ->  (
(RSpan `  P ) `  ( f `  g
) )  e.  (LIdeal `  P ) )
9969, 97, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  g )
)  e.  (LIdeal `  P ) )
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( (RSpan `  P
) `  ( f `  g ) )  e.  (LIdeal `  P )
)
10171adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
)  e.  (LIdeal `  P ) )
10268, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  P  e.  Ring )
103102adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  ->  P  e.  Ring )
10427, 49rspssid 17998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  U. ran  f  C_  ( Base `  P ) )  ->  U. ran  f  C_  (
(RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
10569, 52, 104syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  U. ran  f  C_  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) )
106105adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  ->  U. ran  f  C_  (
(RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
10796, 106syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( f `  g
)  C_  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
10827, 10rspssp 18001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
(RSpan `  P ) `  U. ran  f )  e.  (LIdeal `  P
)  /\  ( f `  g )  C_  (
(RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )  ->  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  g )
)  C_  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
109103, 101, 107, 108syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( (RSpan `  P
) `  ( f `  g ) )  C_  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
1102, 10, 11, 95, 100, 101, 109, 79hbtlem3 31280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  (
f `  g )
) ) `  g
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  g ) )
11194, 110sstrd 3509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  g  <_  c ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) )
112111anassrs 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  ( c  e.  NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  /\  g  <_  c )  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  g ) )
113 nn0z 10908 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  NN0  ->  c  e.  ZZ )
114113adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  NN0  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g )
)  ->  c  e.  ZZ )
115 nn0z 10908 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  NN0  ->  g  e.  ZZ )
116115ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  NN0  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g )
)  ->  g  e.  ZZ )
117 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  NN0  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g )
)  ->  c  <_  g )
118 eluz2 11112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( ZZ>= `  c
)  <->  ( c  e.  ZZ  /\  g  e.  ZZ  /\  c  <_ 
g ) )
119114, 116, 117, 118syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  NN0  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g )
)  ->  g  e.  ( ZZ>= `  c )
)
12076, 119sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
g  e.  ( ZZ>= `  c ) )
121 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  ( c  e.  NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  ->  A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) )
122121ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  ->  A. d  e.  ( ZZ>=
`  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) )
123 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  g  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  d
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
) )
124123eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  g  ->  (
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c )  <->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
) ) )
125124rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  e.  ( ZZ>= `  c )  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  d
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
) )  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
) )
126120, 122, 125syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) )
12776nn0red 10874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  c  e.  RR )
128127leidd 10140 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  c  <_  c )
129111expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  ->  (
g  <_  c  ->  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) ) )
130129ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  A. g  e.  NN0  ( g  <_ 
c  ->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  g ) ) )
131 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  c  ->  (
g  <_  c  <->  c  <_  c ) )
132 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  c  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
) )
133 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  c  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
)  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  c
) )
134132, 133sseq12d 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  c  ->  (
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
)  <->  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a
) `  c )  C_  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  c ) ) )
135131, 134imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  c  ->  (
( g  <_  c  ->  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) )  <->  ( c  <_  c  ->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  c ) ) ) )
136135rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  e.  NN0  /\  A. g  e.  NN0  (
g  <_  c  ->  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) ) )  -> 
( c  <_  c  ->  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  c
) ) )
13776, 130, 136syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( c  <_  c  ->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  c ) ) )
138128, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  c
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  c ) )
139138adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  c
) )
14068adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  ->  R  e.  Ring )
14171adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
)  e.  (LIdeal `  P ) )
14276adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
c  e.  NN0 )
143 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
g  e.  NN0 )
144 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
c  <_  g )
1452, 10, 11, 140, 141, 142, 143, 144hbtlem4 31279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  c )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) )
146139, 145sstrd 3509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) )
147126, 146eqsstrd 3533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  ( g  e.  NN0  /\  c  <_  g ) )  -> 
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  g )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  U. ran  f
) ) `  g
) )
148147anassrs 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  ( c  e.  NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  /\  c  <_  g )  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  g ) )
14975, 78, 112, 148lecasei 9707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e. 
NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  /\  g  e. 
NN0 )  ->  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  a ) `  g
)  C_  ( (
(ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  g ) )
150149ralrimiva 2871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  A. g  e.  NN0  ( ( (ldgIdlSeq `  R ) `  a
) `  g )  C_  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) `  g ) )
1512, 10, 11, 68, 71, 48, 73, 150hbtlem5 31281 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f )  =  a )
152151eqcomd 2465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  a  =  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
153 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  U. ran  f  ->  ( (RSpan `  P
) `  b )  =  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )
154153eqeq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( b  =  U. ran  f  ->  ( a  =  ( (RSpan `  P ) `  b )  <->  a  =  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) ) )
155154rspcev 3210 . . . . . 6  |-  ( ( U. ran  f  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin )  /\  a  =  ( (RSpan `  P ) `  U. ran  f ) )  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) a  =  ( (RSpan `  P ) `  b ) )
15667, 152, 155syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P ) )  /\  ( c  e.  NN0  /\ 
A. d  e.  (
ZZ>= `  c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  /\  ( f : ( 0 ... c
) --> ( ~P a  i^i  Fin )  /\  A. e  e.  ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  e )  C_  (
( (ldgIdlSeq `  R ) `  ( (RSpan `  P
) `  ( f `  e ) ) ) `
 e ) ) )  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) a  =  ( (RSpan `  P ) `  b ) )
15740, 156exlimddv 1727 . . . 4  |-  ( ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  /\  ( c  e.  NN0  /\  A. d  e.  ( ZZ>= `  c )
( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  d )  =  ( ( (ldgIdlSeq `  R
) `  a ) `  c ) ) )  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  P
)  i^i  Fin )
a  =  ( (RSpan `  P ) `  b
) )
15825, 157rexlimddv 2953 . . 3  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  a  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) a  =  ( (RSpan `  P ) `  b ) )
159158ralrimiva 2871 . 2  |-  ( R  e. LNoeR  ->  A. a  e.  (LIdeal `  P ) E. b  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) a  =  ( (RSpan `  P ) `  b ) )
16049, 10, 27islnr2 31267 . 2  |-  ( P  e. LNoeR 
<->  ( P  e.  Ring  /\ 
A. a  e.  (LIdeal `  P ) E. b  e.  ( ~P ( Base `  P )  i^i  Fin ) a  =  ( (RSpan `  P ) `  b ) ) )
1614, 159, 160sylanbrc 664 1  |-  ( R  e. LNoeR  ->  P  e. LNoeR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   U_ciun 4332   class class class wbr 4456   ran crn 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    <_ cle 9646   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   Basecbs 14644   Ringcrg 17325  LIdealclidl 17943  RSpancrsp 17944  Poly1cpl1 18343  NoeACScnacs 30839  LNoeRclnr 31262  ldgIdlSeqcldgis 31274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ocomp 14733  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-preset 15684  df-drs 15685  df-poset 15702  df-ipo 15909  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-lidl 17947  df-rsp 17948  df-rlreg 18058  df-ascl 18090  df-psr 18132  df-mvr 18133  df-mpl 18134  df-opsr 18136  df-psr1 18346  df-vr1 18347  df-ply1 18348  df-coe1 18349  df-cnfld 18548  df-mdeg 22579  df-deg1 22580  df-nacs 30840  df-lfig 31218  df-lnm 31226  df-lnr 31263  df-ldgis 31275
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