Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbt Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hbt 35989
 Description: The Hilbert Basis Theorem - the ring of univariate polynomials over a Noetherian ring is a Noetherian ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hbt.p Poly1
Assertion
Ref Expression
hbt LNoeR LNoeR

Proof of Theorem hbt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnrring 35971 . . 3 LNoeR
2 hbt.p . . . 4 Poly1
32ply1ring 18841 . . 3
41, 3syl 17 . 2 LNoeR
5 eqid 2451 . . . . . . . 8
6 eqid 2451 . . . . . . . 8 LIdeal LIdeal
75, 6islnr3 35974 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal NoeACS
87simprbi 466 . . . . . 6 LNoeR LIdeal NoeACS
98adantr 467 . . . . 5 LNoeR LIdeal LIdeal NoeACS
10 eqid 2451 . . . . . . 7 LIdeal LIdeal
11 eqid 2451 . . . . . . 7 ldgIdlSeq ldgIdlSeq
122, 10, 11, 6hbtlem7 35984 . . . . . 6 LIdeal ldgIdlSeqLIdeal
131, 12sylan 474 . . . . 5 LNoeR LIdeal ldgIdlSeqLIdeal
141ad2antrr 732 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal
15 simplr 762 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal LIdeal
16 simpr 463 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal
17 peano2nn0 10910 . . . . . . . 8
1817adantl 468 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal
19 nn0re 10878 . . . . . . . . 9
2019lep1d 10538 . . . . . . . 8
2120adantl 468 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal
222, 10, 11, 14, 15, 16, 18, 21hbtlem4 35985 . . . . . 6 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq
2322ralrimiva 2802 . . . . 5 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq
24 nacsfix 35554 . . . . 5 LIdeal NoeACS ldgIdlSeqLIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq
259, 13, 23, 24syl3anc 1268 . . . 4 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq
26 fzfi 12185 . . . . . . 7
27 eqid 2451 . . . . . . . . 9 RSpan RSpan
28 simpll 760 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal LNoeR
29 simplr 762 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal LIdeal
30 elfznn0 11887 . . . . . . . . . 10
3130adantl 468 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal
322, 10, 11, 27, 28, 29, 31hbtlem6 35988 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
3332ralrimiva 2802 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
34 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11 RSpan RSpan
3534fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10 ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
3635fveq1d 5867 . . . . . . . . 9 ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
3736sseq2d 3460 . . . . . . . 8 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
3837ac6sfi 7815 . . . . . . 7 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
3926, 33, 38sylancr 669 . . . . . 6 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
4039adantr 467 . . . . 5 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
41 frn 5735 . . . . . . . . . . . . 13
4241ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . 12 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
43 inss1 3652 . . . . . . . . . . . 12
4442, 43syl6ss 3444 . . . . . . . . . . 11 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
4544unissd 4222 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
46 unipw 4650 . . . . . . . . . 10
4745, 46syl6sseq 3478 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
48 simpllr 769 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan LIdeal
49 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11
5049, 10lidlss 18433 . . . . . . . . . 10 LIdeal
5148, 50syl 17 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
5247, 51sstrd 3442 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
53 fvex 5875 . . . . . . . . 9
5453elpw2 4567 . . . . . . . 8
5552, 54sylibr 216 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
56 simprl 764 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
57 ffn 5728 . . . . . . . . 9
58 fniunfv 6152 . . . . . . . . 9
5956, 57, 583syl 18 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
60 inss2 3653 . . . . . . . . . . 11
6156ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . 11 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
6260, 61sseldi 3430 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
6362ralrimiva 2802 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
64 iunfi 7862 . . . . . . . . 9
6526, 63, 64sylancr 669 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
6659, 65eqeltrrd 2530 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
6755, 66elind 3618 . . . . . 6 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
681ad3antrrr 736 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
694ad3antrrr 736 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
7027, 49, 10rspcl 18446 . . . . . . . . 9 RSpan LIdeal
7169, 52, 70syl2anc 667 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan LIdeal
7227, 10rspssp 18450 . . . . . . . . 9 LIdeal RSpan
7369, 48, 47, 72syl3anc 1268 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
74 nn0re 10878 . . . . . . . . . . 11
7574adantl 468 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
76 simplrl 770 . . . . . . . . . . . 12 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
7776adantr 467 . . . . . . . . . . 11 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
7877nn0red 10926 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
79 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
80 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
8176adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
82 fznn0 11886 . . . . . . . . . . . . . . 15
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
8479, 80, 83mpbir2and 933 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
85 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
86 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15 ldgIdlSeq ldgIdlSeq
87 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8887fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RSpan RSpan
8988fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
90 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9189, 90fveq12d 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15 ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
9286, 91sseq12d 3461 . . . . . . . . . . . . . 14 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
9392rspcva 3148 . . . . . . . . . . . . 13 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
9484, 85, 93syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
9568adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
96 fvssunirn 5888 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9796, 52syl5ss 3443 . . . . . . . . . . . . . . 15 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
9827, 49, 10rspcl 18446 . . . . . . . . . . . . . . 15 RSpan LIdeal
9969, 97, 98syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan LIdeal
10099adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan LIdeal
10171adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan LIdeal
10268, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
103102adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
10427, 49rspssid 18447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RSpan
10569, 52, 104syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
106105adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
10796, 106syl5ss 3443 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
10827, 10rspssp 18450 . . . . . . . . . . . . . 14 RSpan LIdeal RSpan RSpan RSpan
109103, 101, 107, 108syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan RSpan
1102, 10, 11, 95, 100, 101, 109, 79hbtlem3 35986 . . . . . . . . . . . 12 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
11194, 110sstrd 3442 . . . . . . . . . . 11 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
112111anassrs 654 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
113 nn0z 10960 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114113adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15
115 nn0z 10960 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116115ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . . . . 15
117 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15
118 eluz2 11165 . . . . . . . . . . . . . . 15
119114, 116, 117, 118syl3anbrc 1192 . . . . . . . . . . . . . 14
12076, 119sylan 474 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
121 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq
122121ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeq
123 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15 ldgIdlSeq ldgIdlSeq
124123eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . 14 ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq
125124rspcva 3148 . . . . . . . . . . . . 13 ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq
126120, 122, 125syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeq
12776nn0red 10926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
128127leidd 10180 . . . . . . . . . . . . . . 15 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
129111expr 620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
130129ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . . . . 16 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
131 breq1 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ldgIdlSeq ldgIdlSeq
133 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
134132, 133sseq12d 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
135131, 134imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
136135rspcva 3148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
13776, 130, 136syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
138128, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
139138adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
14068adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
14171adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan LIdeal
14276adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
143 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
144 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
1452, 10, 11, 140, 141, 142, 143, 144hbtlem4 35985 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
146139, 145sstrd 3442 . . . . . . . . . . . 12 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
147126, 146eqsstrd 3466 . . . . . . . . . . 11 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
148147anassrs 654 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
14975, 78, 112, 148lecasei 9740 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
150149ralrimiva 2802 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
1512, 10, 11, 68, 71, 48, 73, 150hbtlem5 35987 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
152151eqcomd 2457 . . . . . 6 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
153 fveq2 5865 . . . . . . . 8 RSpan RSpan
154153eqeq2d 2461 . . . . . . 7 RSpan RSpan
155154rspcev 3150 . . . . . 6 RSpan RSpan
15667, 152, 155syl2anc 667 . . . . 5 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
15740, 156exlimddv 1781 . . . 4 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq RSpan
15825, 157rexlimddv 2883 . . 3 LNoeR LIdeal RSpan
159158ralrimiva 2802 . 2 LNoeR LIdeal RSpan
16049, 10, 27islnr2 35973 . 2 LNoeR LIdeal RSpan
1614, 159, 160sylanbrc 670 1 LNoeR LNoeR
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444  wex 1663   wcel 1887  wral 2737  wrex 2738   cin 3403   wss 3404  cpw 3951  cuni 4198  ciun 4278   class class class wbr 4402   crn 4835   wfn 5577  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  cfn 7569  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cle 9676  cn0 10869  cz 10937  cuz 11159  cfz 11784  cbs 15121  crg 17780  LIdealclidl 18393  RSpancrsp 18394  Poly1cpl1 18770  NoeACScnacs 35544  LNoeRclnr 35968  ldgIdlSeqcldgis 35980 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ocomp 15211  df-ds 15212  df-unif 15213  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-preset 16173  df-drs 16174  df-poset 16191  df-ipo 16398  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-lidl 18397  df-rsp 18398  df-rlreg 18507  df-ascl 18538  df-psr 18580  df-mvr 18581  df-mpl 18582  df-opsr 18584  df-psr1 18773  df-vr1 18774  df-ply1 18775  df-coe1 18776  df-cnfld 18971  df-mdeg 23004  df-deg1 23005  df-nacs 35545  df-lfig 35926  df-lnm 35934  df-lnr 35969  df-ldgis 35981 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator